2021-2022学年四川省绵阳市江油市江油中学高一上学期12月月考数学试题含解析

2021-2022学年四川省绵阳市江油市江油中学高一上学期

12月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求，再求交集即可.

【详解】由题意可知：

，

故选：D.

【点睛】本题考查集合的补运算、交运算，属基础题.

2．已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：利用任意角三角函数的定义，分别计算sinα和cosα，再代入所求即可.根据定义，任意角三角函数的定义即有，故可知答案为C.

【解析】任意角的三角函数

点评：本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的三要素进行判断，判断定义域及对应关系是否都相同，即可得到答案.

【详解】选项：因为函数的定义域为，

函数的定义域为，

所以二者的定义域不同，故不是同一个函数，故错误；

选项：因为，所以，

所以与函数解析式不同，故不是同一个函数，故错误；

选项：因为函数的定义域为，函数的定义域为，

所以二者的定义域不同，故不是同一个函数，故错误；

选项：

函数的定义域都是，

又函数，所以二者的解析式也相同，

所以它们是同一个函数，故正确.

故选：D.

【点睛】本题考查两个函数相等的判断，关键抓住定义域、对应关系是否都相同，属于基础题.

4．已知是第三象限的角，且，那么为（       ）的角

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由是第三象限角，写出其范围，计算后，结合可确定所在象限．

【详解】∵是第三象限的角，∴，

∴，，是第二或四象限角，

又，∴是第二象限角．

故选：B．

【点睛】本题考查象限角的概念，考查各象限角的三角函数符号，属于基础题．

5．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用进行分段，比较出三者的大小关系.

【详解】依题意，

所以.

故选:A

【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.

6．函数的定义域（       ）

A．（﹣2，1） B．（﹣2，1]

C．（﹣1，1] D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]

【答案】D

【分析】使函数表达式有意义，即，解不等式组即可求解.

【详解】函数有意义，即，

解得，且，

所以函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1].

故选：D

【点睛】本题考查了求具体函数的定义域，属于基础题.

7．若角为第四象限角，且，则（       ）

A． B． C．2 D．-2

【答案】D

【分析】根据角是第四象限的角，，利用平方关系得到，然后再利用诱导公式求解.

【详解】∵角是第四象限的角，，

∴，

∴.

故选：D.

【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8．函数的零点所在的大致区间为　　

A． B． C． D．与

【答案】B

【分析】利用函数的零点存在性定理判断大致区间.

【详解】易知的定义域为，且在定义域上是连续函数，

∵

，

；

∴；

故函数的零点所在的大致区间为．

故选B．

【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理的应用，涉及了指数的运算性质；判断函数的零点所在区间的常用方法有：①直接法，求 ，然后判断方程的根所在区间；②图象法；③定理法，应用函数的零点存在性定理判断.

9．若函数在[﹣2，+∞）上为减函数，则的取值范围为（       ）

A．（﹣∞，﹣1]{0} B．[﹣1，0] C．（﹣1，0] D．[﹣1，2]

【答案】B

【分析】通过的取值，利用函数的单调性，转化求解即可.

【详解】当，，由指数函数的单调性

可知函数在[﹣2，+∞）上为减函数，满足题意；

当，只需满足在[﹣2，+∞）上为减函数，

即，即

综上，.

故选：B

【点睛】本题考查了函数的单调性求参数的取值范围、二次函数的图像与性质，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

10．函数的大致图象为（        ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将函数解析式变形为，根据函数的平移规则即可判断.

【详解】解：

函数是由函数向左移1个单位，向上移1个单位得到，

故满足条件的为

故选：

【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的平移变换，属于基础题.

11．函数，则使不等式成立的的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得的定义域为，判断为偶函数，且在递增，原不等式即，可得，即有，两边平方转化为二次不等式求解即可．

【详解】解：函数，

定义域为，，

可得为偶函数，

当时，，

由，在都递增，可得在递增，

由，即，

可得，

即有，即为，

解得或，

故选：D．

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用：解不等式，考查绝对值不等式和二次不等式的转化和解法，考查运算能力，属于中档题．

12．已知函数，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】当时，方程有四个不同的实数根，，，，不妨依次由小到大，则由二次函数图像得对称性知，由对数函数性质知，且

，所以，所以，故选B．

点睛：本题是涉及函数零点的问题，一般可以考虑数形结合的思想来处理，从图像可以看出，其中两个零点关于对称，从而和为定值，另外两个零点之积等于1，根据图像能确定其范围，从而求出四个零点和的范围，此类问题特别要重视数形结合的应用．

二、填空题

13．若扇形的半径为1，周长为4，则扇形的面积为_____.

【答案】1

【分析】根据扇形周长和半径，算出它的弧长，再用扇形面积公式即可算出该扇形的面积．

【详解】解：设扇形的半径为，弧长为，可得

半径，周长为，

，

因此，扇形的面积为

故答案为：1

【点睛】本题给出扇形周长和半径，求扇形的面积，着重考查了扇形的性质和扇形面积公式等知识，属于基础题．

14．幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.

【答案】2

【分析】由幂函数系数为1得或，再检验对称性即可.

【详解】函数是幂函数，

∴，解得或，

当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；

当时，函数的图象关于轴对称；

∴实数．

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了求解幂函数的解析式，解题的关键是熟悉幂函数的性质，属于基础题.

15．已知，，则______．

【答案】

【解析】由可解得，，进而求解.

【详解】，且，

又，则可解得，，

故．

故答案为：.

【点睛】本题考查同角三角函数的关系，属于基础题.

16．设函数是定义在上的奇函数，，若对任意两个不相等的正数都有，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】根据题意分析函数的奇偶性单调性求解即可.

【详解】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是 的偶函数,又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.

又,故.

综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.

且.故即.

根据函数性质解得

故答案为：

【点睛】本题主要考查了构造抽象函数,根据函数的单调性与奇偶性与零点等求解不等式的问题.属于中档题.

三、解答题

17．（1）已知，求的值；

（2）

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知得，求值式化为关于的二次齐次式，再弦化切求值．

（2）由对数计算直接求解．

【详解】（1）由得，所以

；

（2）．

18．17.已知全集,集合，.

(1)当时，求集合;

(2)若,求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分别解出集合A，B，再由集合交集的概念得到结果；（2）由补集的概念得到集合B的补集，再由交集为空集列出不等式，即可得到结果.

【详解】（1）当a=2时，，

．

（2）

，即

故实数的取值范围是.

【点睛】本题考查集合交，补的运算，以及由集合的关系求参数的范围．属于基础题.

19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设，则，进而根据偶函数性质求解析式即可；

（2）由题知，进而分，，三种情况讨论求解.

【详解】解:(1)设，则，

因为是定义在上的偶函数，且当时，，

所以，

所以

(2)，对称轴方程为，

当，即时，在上单调递增,为最小值；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，为最小值；

当，即时，在上单调递减,为最小值．

综上，

20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.

(1)当时，求关于的函数表达式.

(2)当养殖密度为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.

【答案】(1)

(2)当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.

【分析】（1）在时，设出一次函数的解析式，代入已知数据可得；；

（2）由（1）求出鱼的年生长量的函数，从而可得最大值．

【详解】(1)时，设，则，解得，

所以；；

(2)由（1）得鱼的年生长量，

，时，；

，时，，

所以当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.

21．已知函数是奇函数.

（1）求函数的解析式；

（2）设，用函数的单调性定义证明：函数在区间上单调递减.

（3）解不等式

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）由题意结合奇函数的性质可得，再由对数的运算法则即可求得，求出函数定义域后即可得解；

（2）证明若且，则，由对数函数的性质可得，利用函数单调性的定义即可得证；

（3）由题意结合函数的定义域、单调性可得，即可得解.

【详解】（1）函数是奇函数，

对于定义域中的都成立，

，，化简得，

，又，，

，

令，即，解得，

；

（2）证明：设且，则，，，

则

，

，即，

函数在区间上单调递减；

（3）结合（1）、（2）可知，函数的定义域为，且在定义域内单调递减，

又，，

，解得，

原不等式的解集为.

【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明与应用，考查了运算求解能力，关键是对于函数性质的熟练掌握，要注意定义域优先，属于中档题.

22．已知二次函数满足，且的最小值是．

求的解析式；

若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；

函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】（1）(2) （3）

【详解】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.

解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.

（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.

（3）由题意知.

假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.

当时，在上为增函数，，所以；

当时，，.即，解得，所以.

当时，

即解得.所以.

当时，，即，所以，综上所述，，

所以当时，使得对任意都有成立.

点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；

（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.