2021-2022学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考数学（文）试题含解析

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2021-2022学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考数学（文）试题一、单选题1．直线的倾斜角为（       ）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】根据斜率即可得倾斜角.【详解】由已知得直线斜率为1，可得倾斜角为45°.故选：B.2．圆的圆心和半径分别是（       ）A．， B．， C．，5 D．，5【答案】A【解析】根据圆的标准方程即可求解.【详解】由圆的标准方程：，即圆心为，半径为.故选：A3．已知直线：，则直线经过哪几个象限（       ）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．二、三、四象限 D．一、三、四象限【答案】D【解析】分别求得直线的斜率和纵截距，可得直线经过的象限．【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为，所以直线经过第一、三和四象限，故选：．4．已知点，，则（       ）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】由空间两点间的距离公式即可求解.【详解】解：因为点，，所以由空间两点间的距离公式可得，故选：B.5．圆与圆的位置关系是（       ）A．外切 B．内切 C．相交 D．相离【答案】A【分析】由题意可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，根据圆与圆的位置关系分析即可得出结果.【详解】由题意知，，圆心为，半径为1；，圆心为，半径为4，所以两圆的圆心距为：，又两圆半径之和为5，所以两圆外切.故选：A6．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（       ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】由点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：由题意，的最小值为点到直线l：的距离，故选：B.7．圆和圆交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心的直线方程，根据两圆的一般方程求得圆心的坐标，利用直线方程的两点式求得直线的方程.【详解】由两圆的方程可得两圆的圆心分别为两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心的直线方程，由直线方程的两点式得到直线的方程为:,整理得：,故选：B.【点睛】关键是根据圆的公共弦的性质判定所求直线为经过两圆的圆心的直线.8．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（       ）A． B． C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值.【详解】根据题意画出图形，如图所示：设点关于直线的对称点，连接，则即为的最小值，且.故选：.【点睛】本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.9．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（       ）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能【答案】B【分析】由题意得，圆心到直线的距离小于半径，得到，故点在圆外．【详解】直线与圆有两个不同的交点，圆心到直线的距离小于半径，即，，故点在圆外，故选：B．10．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为A． B． C． D．【答案】B【分析】过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小．【详解】圆心,半径 ，圆心到直线的距离 则切线长的最小值【点睛】本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题．11．已知直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线，可得，又由，解得，即直线恒过定点，圆心，当时弦长最短，此时，解得，再由经过圆心时弦长最长为直径，所以弦长的取值范围是.故选D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值()的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xoy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论中正确的个数是(       )①圆C的方程是②过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为60°③过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为④在直线上存在异于A，B的两点D，E，使得A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】设，运用两点的距离公式，化简可得的轨迹方程，可判断①；设切点为，，利用正弦即可求出，由对称性可求得，从而判断②；根据题意设出直线方程，利用圆心到直线的距离为2，求得切线斜率，可判断③；取，，即可判断④．【详解】①．在平面直角坐标系中，，，点满足，设，则，化简可得圆的方程为，故①正确；②．圆心，半径为4，∴，过点向圆引切线，设切点为，，则，∴，∴，故②正确；③．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，可设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为2，即，解得，故③错误；④．当，时，，故④正确．故选：C．二、填空题13．若三点，，在同一条直线上，则实数___________.【答案】【分析】由题意可得，列方程可求出【详解】由题意可知，，三点所在的直线的斜率存在，所以，即，解得，故答案为：14．直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数__________．【答案】【分析】令表示出，得到直线的纵截距．令表示出，得到直线的横截距．根据题意列方程求解．【详解】令解得：，令解得，由题意得：，解得：．【点睛】本题主要考查了直线的截距问题，直线方程，令解出，得到直线的纵截距．令解出，得到直线的横截距．15．圆与圆的公共弦长等于___________.【答案】【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦所在直线的距离，利用弦长公式即可求解.【详解】解：因为圆与圆，所以两式相减，可得公共弦所在直线方程为，因为圆的圆心为，半径为1，又圆心到直线的距离，所以公共弦长为，故答案为：.16．曲线与直线有且只有一个公共点时，则实数k的取值范围是___________.【答案】【分析】作出曲线的图像，直线过定点(6，8)，数形结合即可解答.【详解】易知直线过定点A(6，8).曲线表示圆的y≥1的部分，如图所示：由图可知直线和曲线只有一个交点，则直线在AC和AB之间，或为切线.设，，则，，当直线和圆相切时：或(舍)，∴或.故答案为：.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程．【答案】（1）；（2）【详解】试题分析：（1）根据中点坐标公式求出中点的坐标，根据斜率公式可求得的斜率，利用点斜式可求边上的中线所在直线的方程；（2）先根据斜率公式求出的斜率，从而求出边上的高所在直线的斜率为，利用点斜式可求边上的高所在直线的方程.试题解析：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为（6，0）， 所以AD的斜率为k＝8， 所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)， 即8x－y－48＝0． （2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝1， 所以BC边上的高所在直线的斜率为－1， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．18．已知直线．（1）若，求实数a的值；（2）当时，求直线与之间的距离．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.【详解】（1）由知，解得．（2）当时，有，解得．此时，即，则直线与之间的距离．【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.19．已知点，求（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；     （2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．【答案】（1）；（2）【分析】(1)当为直径时，过的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程． (2) 解法1：的斜率为时，则的垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；解法2：设圆的方程为：，列方程组，求得的值，即可得到圆的方程．【详解】(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.(2) 解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)．r＝|AC|＝＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.解法2：待定系数法设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．20．已知圆C与直线相切于点，且圆心在x轴上.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l过点，且被圆C所截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意，设圆的方程为，由切点与圆心连线垂直于切线及切点与圆心两点间的距离为圆的半径即可求解；（2）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据弦长公式即可求解.【详解】(1)解：因为圆心在x轴上，所以设圆的方程为，由题可知，，解得，.故圆C的标准方程是；(2)解：因为直线l被圆C所截得的弦长为6，所以圆C的圆心到直线l的距离.①当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，所以圆C的圆心到直线l的距离，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则圆C的圆心到直线l的距离，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.21．已知一个动点在圆上运动，它与定点所连线段的中点为．（1）求点的轨迹方程；（2）若点的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）设，，用表示出，把代入已知圆方程化简后可得点轨迹方程；（2）截距均为0时，设切线，截距相等且不为0时，设切线，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程．【详解】解：（1）设，，根据中点公式得，解得．由，得∴点的轨迹方程是．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线，由相切得∴，所以切线方程为，当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线由相切有，∴，切线方程为综上：切线方程为或．【点睛】关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：1、直接法：设曲线上动点坐标为后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。2、代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。3、几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。4、参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。5、待定系数法：由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。22．在平面直角坐标系中，已知圆C的方程为.(1)求实数a的取值范围；(2)当时，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点.（i）若时，求直线l的方程；（ii）若点，分别记直线PM､PN的斜率为，，求的值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据圆的一般方程的定义即可求解；（2）（i）过圆心C作，由得到，从而可得的长，由题意，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式即可求解.（ii）对直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，利用韦达定理及斜率公式即可求解.【详解】(1)解：由题意，，解得；(2)解：（i）当时，圆C：，过圆心C作，由得到，所以，即，解得，设直线l的方程为（直线l与x轴重合时不符合题意），由，解得，所以直线l的方程为；（ii）当直线l斜率不存在时，由对称性，易知，所以；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，，，联立直线l的方程与圆C的方程可得，所以，所以，综上，.