2021-2022学年四川省成都市第七中学高二上学期12月阶段性测试数学（文）试题含解析

这是一份2021-2022学年四川省成都市第七中学高二上学期12月阶段性测试数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省成都市第七中学高二上学期12月阶段性测试数学（文）试题一、单选题1．已知两直线与，则与间的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.【详解】直线的方程化为：，显然，，所以与间的距离为.故选：B2．命题“，”的否定是（       ）A．，  B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据全称命题的否定的规则即可直接写出.【详解】全称命题“，”的否定是把量词“”改为“”，并把结论否定，即为“，”，故选：.3．双曲线 的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】A【详解】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.4．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解.【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，则，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，所以M点的轨迹围成区域的面积为.故选：D5．下列命题中，结论为真命题的组合是（       ）①“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件②若命题“”为假命题，则命题一定是假命题③是的必要不充分条件④双曲线被点平分的弦所在的直线方程为⑤已知过点的直线与圆的交点个数有2个.A．①③④ B．②③④ C．①③⑤ D．①②⑤【答案】C【分析】求出两直线垂直时m值判断①；由复合命题真值表可判断②；化简不等式结合充分条件、必要条件定义判断③；联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断④；判定点与圆的位置关系判断⑤作答.【详解】若直线与直线相互垂直，则，解得或，则“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件，①正确；命题“”为假命题，则与至少一个是假命题，不能推出一定是假命题，②不正确；，，则是的必要不充分条件，③正确；由消去y并整理得：，，即直线与双曲线没有公共点，④不正确；点在圆上，则直线与圆至少有一个公共点，而过点与圆相切的直线为，直线不包含，因此，直线与圆相交，有两个交点，⑤正确，所以所有真命题的序号是①③⑤.故选：C6．若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（       ）A．8或-2 B．6或-4 C．4或-6 D．2或-8【答案】A【分析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.【详解】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，因直线与圆相切，从而得，即，解得或，所以c的值为8或-2.故选：A7．若圆与圆外切，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得．故选：C.8．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是A． B． C． D．【答案】D【详解】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.【解析】椭圆的简单性质9．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（       ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去得到关于的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的的值；当已知直线位于直线及直线的位置时，分别求出对应的的值，写出满足题意得的范围，综上，得到所有满足题意得的取值范围．【详解】根据曲线，得到，解得：；，画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线代入椭圆方程得：，得到，即，化简得：，解得或(舍去)，则时，直线与曲线只有一个公共点；当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，则当时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得的范围是或．故选：D．10．已知双曲线（，）的左､右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形正弦定理结合，用a，c表示出，再由点P的位置列出不等式求解即得.【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以双曲线M的离心率的取值范围为.故选：A11．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，则，解得，即.根据椭圆的定义可知，，当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，由且，得，因此椭圆C的短轴的最小值为.故选：B.12．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，，直线BD方程为，同理得：，则有，当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A二、填空题13．双曲线上一点P到的距离最小值为___________.【答案】2【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答.【详解】设，则，即，于是得，而，则当时，，所以双曲线上一点P到的距离最小值为2.故答案为：214．若命题P：对于任意，使不等式为真命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意，结合指数函数不等式，将原问题转化为关于的不等式，对于任意恒成立，即可求解.【详解】根据题意，知对于任意，恒成立，即，化简得，令，，则恒成立，即，解得，故.故答案为：.15．已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．【答案】【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意，椭圆方程为，所以，所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，根据椭圆的定义可知，，所以的最大值为.故答案为：16．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，且直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为，，则的值为___________.【答案】0.25【分析】求出点A，B坐标，设出直线l的方程，联立直线l与椭圆方程，借助韦达定理即可计算作答.【详解】依题意，点，直线AB斜率为，因直线l直线AB，则设直线l方程为：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，设，则，有，因此，，所以的值为.故答案为：三、解答题17．已知p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：当时，函数恒成立.(1)若p为真，求实数t的取值范围；(2)若为假命题，且为真命题，求实数t的取值范围【答案】(1)(2)【分析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.(2)求命题q真时的t值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.(1)因方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则有，解得，所以实数t的取值范围是.(2)，则有，当且仅当，即时取“=”，即，因当时，函数恒成立，则，解得，命题q为真命题有，因为假命题，且为真命题，则与一真一假，当p真q假时，，当p假q真时，，所以实数t的取值范围是.18．在三角形ABC中，三个顶点的坐标分别为，，，且D为AC的中点.(1)求三角形ABC的外接圆M方程；(2)求直线BD与外接圆M相交产生的相交弦的长度.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解；（2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解.(1)根据题意，易知是以BC为斜边的直角三角形，故外接圆圆心是B，C的中点，半径为BC长度的一半为，故三角形ABC的外接圆M方程为.(2)因为D为AC的中点，所以易求.故直线BD的方程为，圆心到直线的距离，故相交弦的长度为.19．已知双曲线C的方程为（），离心率为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解；（2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解.(1)根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以，故双曲线的标准方程为.(2)当直线斜率存在时，设直线的方程为，则由消去，得到，∵直线与双曲线交于M､N两点，，解得.设，则有，，因此，∵，∴且，故或，故；②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.综上所述，所求的取值范围是.20．在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，．(1)求动点Q的轨迹的方程E；(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）由图中的几何关系可知,故可知动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；（2）设出直线AB的方程，把点、的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，同理求出点的坐标，即可求出直线MN的方程，最后可求出直线MN过哪一定点.(1)∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，∴RQ是线段FP的垂直平分线,∵,     ∴是点Q到直线l的距离,∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即动点Q的轨迹的方程为.(2)设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点M的坐标为，同理设，，直线的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点的坐标为，则直线MN的斜率为，即方程为，整理得， 故直线MN恒过定点.21．已知椭圆与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且(O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)与焦点相同可求出c，将代入方程结合a、b、c关系即可求a和b；(2)直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，联立AB方程与椭圆方程，得到根与系数的关系；由得，结合韦达定理得k与m的关系；再由圆与直线相切，即可求其半径；最后再验证AB斜率不存在时的情况即可.(1)，由题可知，解得点，所以椭圆的方程为；(2)设，设，代入，整理得，由得，即，由韦达定理化简得，即，设存在圆与直线相切，则，解得，所以圆的方程为，又若轴时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意．22．已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.(1)求曲线C的焦点在轴上的标准方程；(2)过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.【答案】(1)；(2)﹒【分析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；(2)分为l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒(1)以OA中点G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：∴可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为；(2)设，，则的周长为．当轴时，l的方程为，，，当l与x轴不垂直时，设，由得，∵＞0，∴，，，令，则，，∵，∴，∴.综上可知，S的取值范围是．