2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二上学期入学考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二上学期入学考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
C．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α
D．直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
【答案】D
【分析】直线的倾斜角与斜率的关系，即倾斜角存在斜率不一定存在，斜率存在倾斜角一定存在。
【详解】A.直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故错误，B.当时斜率不存在。C.只有当时，直线的倾斜角才是α
故选：D
【点睛】本题主要考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题。
2．下列命题正确的是（ ）.
A．如果非零向量、的方向相反或相同，那么的方向必与、之一的方向相同
B．若，则、、为三角形的三个顶点
C．设，若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】根据向量的线性运算和性质，对四个选项逐一判断正误即可.
【详解】当时，A选项错，
若，则、、三点共线或、、为三角形的三个顶点，B选项错，
若与不共线，则与不共线，C选项对，
若，则或(与反向共线，且)，D选项错，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了向量的有关概念和共线定理的运用，属于基础题.
3．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<－n或x>m}B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}D．{x|－m【答案】B
【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集．
【详解】不等式变形为，方程的两根为，显然由得，
所以不等式的解为．
故选：B．
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得S6﹣S3＝16，进而由等比数列的性质可知，，即S9﹣S6＝128，变形可得答案．
【详解】解：根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，
则S6﹣S3＝18﹣2＝16，
根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，
故，即S9﹣S6＝128，
故S9＝S6+128＝146，
故选：C．
5．已知函数（且）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣2，+∞）
【答案】B
【分析】由题意知，一个根在区间（1，2）内，得关于的等式，再利用线性规划的方法求出的取值范围．
【详解】解：设，由题意得，，
∴．且．
即或，（不合题意舍去）
视为变量，作出可行域如图．
令，
设
∴，得到一簇斜率为1，截距为的平行线
∴当直线过与轴的交点时截距最大，z最小
又，∴，
∴的最小值为：0﹣1＝﹣1
∴的取值范围为：（﹣1，+∞）
故选：B．
6．给出下列四种说法：
①若平面α∥β，直线a⊂α，b⊂β，则a∥b；
②若直线a∥b，直线a∥α，直线b∥β，则α∥β；
③若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β；
④若直线a∥α，a∥β，则α∥β．
其中正确说法的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】根据直线与平面以及平面与平面的位置关系，判断所给的命题是否正确即可．
【详解】解：对于①，若平面α∥β，直线a⊂α，b⊂β，则a∥b或异面，①错误；
对于②，若直线a∥b，直线a∥α，直线b∥β，则α∥β或相交，②错误；
对于③，若平面α∥β，直线a⊂α，则a与β无公共点，即a∥β，③正确；
对于④，若直线a∥α，a∥β，则α∥β或相交，∴④错误；
综上，其中正确说法序号是③，共1个．
故选：D．
7．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N），则S2021＝（ ）
A．1009B．C．D．1010
【答案】A
【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出数列的和．
【详解】解：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N），
所以，，，，
故数列的周期为3；
所以，
所以．
故选：A．
8．已知正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【分析】根据题意，由斜二测画法分析原图为平行四边形，求出其相邻边长，计算可得答案．
【详解】解：根据题意，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原图是平行四边形如图：
该四边形的相邻边长为：1和＝3，
原图的周长是8；
故选：C．
9．若不等式x2＋ax－5>0在区间[1,2]上有解，则a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】x∈[1，2]时不等式x2＋ax－5>0化为a＞-x+；求出f（x）=-x+的最小值，即可求出a的取
值范围．
【详解】x∈[1，2]时，不等式x2＋ax－5>0化为a＞-x+，
设f（x）=-x+，x∈[1，2]，因为y=-x，y=，x∈[1，2]，都是减函数.
则f（x）的最小值为f（2）=-2+=.
所以a的取值范围是a＞．
故答案为B
【点睛】(1)本题主要考查不等式的有解问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键，其一是分离参数得到a＞-x+有解，其二是求出函数f（x）=-x+，x∈[1，2]的最小值.
10．设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为
A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4
【答案】D
【详解】因为a，b，c为连续的三个正整数，且A>B>C，可得
a＝c＋2，b＝c＋1 ①
又因为3b＝20acsA，由余弦定理可知csA＝，则
3b＝20a· ②
联立①②，化简可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－ (舍去)，则a＝6，b＝5.
又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.
11．若O，M，N在所在平面内，满足，且，则点O，M，N依次为的（ ）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】
解：因为，
所以，
所以O为的外心；
因为，
所以（）＝0，
即＝0，所以MB⊥AC，
同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，
所以M为的垂心；
因为，
所以，
设AB的中点D，则，
所以，
所以C，N，D三点共线，即N为的中线CD上的点，且，
所以N为△ABC的重心．
故选：D．
12．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：设正方体的棱长为，那么其内切球的半径，外接球的半径（对角线的一半），与各棱都相切的球的半径（面对角线的一半），所以比值是，故选C．
【解析】球与正方体
【方法点睛】考察了球与正方体的组合体的问题，属于中档题型，球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的对角线是直径．
二、填空题
13．若直线和直线垂直，则____．
【答案】0或
【分析】由，解得或，验证两条直线是否垂直由，得，解得即可得出．
【详解】若，解得或．
经过验证只有时，两条直线相互垂直．
若，
因为直线和直线垂直，
则，解得（验证分母不等于）
综上可得或0,故答案为0或．
【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，属于中档题．对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
14．已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】由且与不共线求解．
【详解】由题意得：且与不共线，即且，解得且．
故答案为：且．
15．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为________.
【答案】3
【解析】作图，设，则，，
，求出，根据图像得，底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，进而求解可得答案
【详解】
根据可知，为三角形所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则，，
，，
，，，
，当底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，此时，
故答案为：3
【点睛】关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心的位置，得出到平面的最大距离，难度属于中档题
16．已知，，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.
【详解】因为，
且，
当且仅当时，等号成立，
所以．
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、解答题
17．已知平面得量满足：，，.
（1）求与的夹角；
（2）求向量在向量上的投影.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件可以求出，根据向量夹角的余弦公式即可求出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；
（2）可求出，从而得出，并求出，这样根据投影的计算公式即可求出投影．
【详解】解：（1），，，
，
，
，
又，，
；
（2），
，
向量在向量上的投影为：
．
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积运算求向量夹角，以及向量投影的计算，考查运算能力．
18．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
（Ⅰ）求最大角的余弦值；
（Ⅱ）求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）第一步先将三边设为连续正整数，第二步，写出最大角的余弦定理，并小于0，第三步，解不等式；
（Ⅱ）第一步，先设边，根据上一问的结果，写出面积公式，第二步，根据二次函数性质求最值．
【详解】（Ⅰ）设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，
则cs θ＝，
化简得：n2－2n－3<0⇒－1∵n∈N且n＋（n＋1）>n＋2，∴n＝2．
∴cs θ＝．
（Ⅱ）设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为：
S＝a（4－a）·sin θ＝a（4－a）≤．
当且仅当a＝2时，Smax＝
【解析】1．余弦定理；2．三角形面积公式；
19．已知函数，若的解集为．
(1)求；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）把不等式变形，利用韦达定理，求得的值．
（2）把不等式变形为一元二次不等式，分类讨论的值，求得它的解集．
【详解】(1)因为函数，
所以不等式，即为，
由于不等式的解集为可得，
，且 ，求得．
(2)关于的不等式，即 ，
即．
当时，不等式即，它的解集为；
当时，不等式 的解集为；
当c＞2时，不等式的解集为．
20．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本y（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为.据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.
(1)求年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】(1)
(2)8000台，1040万元
【分析】（1）分别求出和时的解析式，即可得到年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；
（2）分别求出和时的最大值，比较大小，即可得到最大年利润.
【详解】(1)当时，；
当时，.
所以.
(2)当时，，
故当时，t取得最大值，为625，
当时，因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
即当时，t取得最大值，为1040，
综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．
(1)求证：PA⊥平面PCD；
(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取棱PC的中点N，连接DN，可得DN⊥PC，利用面面垂直的性质定理可得DN⊥平面PAC，从而得到DN⊥PA，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接AN，由线面角的定义可得，∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可．
【详解】(1)证明：取棱PC的中点N，连接DN，
由题意可知，DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，
所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，
故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN⊂平面PCD，
则PA⊥平面PCD；
(2)连接AN，由（1）可知，DN⊥平面PAC，
则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，
因为为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，
所以DN＝，又DN⊥AN，
在中，sin∠DAN＝，
故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．
22．已知数列各项都是正数，，对任意n∈N都有．数列满足，（n∈N）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足cn＝，数列的前n项和为，若不等式对一切n∈N恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，n∈N；
(2)
【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列和等差数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）由等比数列的求和公式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立思想，结合数列的单调性，计算可得所求范围．
【详解】(1)数列各项都是正数，，对任意n∈N都有，①
当时，，②
①﹣②可得，
因为数列各项都是正数，
所以可化为，
因为，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，n∈N；
数列满足，（n∈N），
可得，
当时，，又，
两式相减可得，
所以的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，
可得奇数项为1，3，5，7，...，2n﹣1，...，偶数项为2，4，6，...，2n，...，
所以；
(2)因为，
所以，
所以
两式相减可得
化为，
若不等式对一切n∈N恒成立，
即为恒成立，
设，
﹣1＝﹣1＝﹣1＝，
当时，，当时，，
所以时，取得最大值，
则﹣9，解得﹣，
即λ的取值范围是．