2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期3月月考数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期3月月考数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，使”的否定为（       ）

A．，使 B．，使

C．，使 D．，使

【答案】B

【分析】将特称命题否定为全称命题即可

【详解】命题“，使”的否定为

“，使”，

故选：B

2．下列导数运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算.

【详解】，A错误；

，B错误；

，C错误，

，D正确.

故选：D

3．设，下列四个命题中真命题的是（       ）

A．“若，则” 的否命题 B．“若，则” 的逆否命题

C．若，则且 D．“若，则”的逆命题

【答案】D

【分析】对于AB，举例判断，对于C，直接解方程，对于D，由不等式的性质判断

【详解】对于A，命题“若，则”的否命题为““若，则”，若，则，所以A错误，

对于B，命题“若，则” 的逆否命题为“若，则” ，若，则，所以B错误，

对于C，若，则或，所以C错误，

对于D，“若，则”的逆命题为“若，则”，因为，所以，所以，所以D正确，

故选：D

4．自由落体运动的公式为，若，则下列说法正确的是（       ）

A．是在0~1s这段时间内的速度

B．是1s到s这段时间内的速度

C．是物体在s这一时刻的速度

D．是物体从1s到s这段时间内的平均速度

【答案】D

【分析】代入解析式，化简，由平均速度的概念判断即可.

【详解】由平均速度的概念可知，，表示1s到这段时间内的平均速度，故D正确.

故选：D

5．若命题为真，命题为真，则下列命题一定为真的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设可知p、q必有一个为真命题，一个为假命题，讨论p、q的真假分别判断各选项中复合命题的真假，即知答案.

【详解】由为真，故为假，又为真，故命题p、q必有一个为真命题，一个为假命题.

①若p为假命题，则q为真命题，此时为假命题，故A错误；

②若p为真命题，q为假命题，此时为假命题，故B错误；

③由题意，命题、必有一个为真命题，一个为假命题，故C错误，D正确.

故选：D.

6．已知函数，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】C

【分析】利用导数的定义，以及运算法则，即可求解.

【详解】，

，所以，所以

故选：C

7．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（       ）

A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台

【答案】A

【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.

【详解】设利润为y万元，则，

∴.

令，解得（舍去）或，经检验知既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.

故选：A

【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：

(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值．

(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

8．已知函数（是的导函数），则（       ）

A．21 B．20 C．16 D．11

【答案】B

【分析】根据已知求出，即得解.

【详解】解：由题得，

所以.

故选：B

9．   设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（       ）

A．有两个极值点 B．为函数的极大值

C．有两个极小值 D．为的极小值

【答案】C

【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点.

【详解】解：，并结合其图像，可得到如下情况，

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增

∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确；

在处取得极大值.

所以有3个极值点，故A错.

故选: C.

10．已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】命题p：“，”，即，然后利用对勾函数的知识求出的最大值即可.

【详解】命题p：“，”，即，

设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，

故选：B．

11．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（       ）

A．-8 B．-3 C．4 D．6

【答案】A

【分析】由题可得切线斜率为2，分别设出切点，利用斜率求出切点即可得出.

【详解】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2，

设直线与相切于，

因为，所以，解得，故直线与相切于，

设直线与相切于，

因为，则，解得，则，

所以直线的方程为，即，

在直线上，则，解得.

故选：A.

12．定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，结合题设条件，利用导数求得在定义域上单调递增，把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.

【详解】设，

可得．

因为，所以，所以，

所以在定义域上单调递增，

又因为，即，

又由，

所以，所以，所以不等式的解集为.

故选：C．

二、填空题

13．设，则“”是“”的______条件．（在充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要中选择一个填空）

【答案】必要而不充分

【分析】先解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义求解即可

【详解】由，得，

由，得，

因为当时，不一定成立，而当时，成立，

所以“”是“”的必要而不充分条件，

故答案为：必要而不充分

14．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，则______．

【答案】0

【分析】求出函数的导数，结合函数的极值点和切线斜率，可得关于a，b的方程组，求出a，b的值，检验符合题意即可得答案．

【详解】解：，

因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，

所以，解得，

经检验此时函数在处取得极大值，

所以，

故答案为：0.

15．若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为函数在区间上有两个极值点，

即在上有两个不等的实数根，

即在上有两个不等的实数根，

即函数和的图象有两个交点，

又由，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，且当时，，当时，，

所以，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数a的最小值为______．

【答案】0.5

【分析】设，原不等式等价于，即，令，则在上单调递增， 从而有在上恒成立，进而分离参数转化为最值问题即可求解.

【详解】解：设，则对任意两个不等的正实数，，都有等价于，即，

令，则在上单调递增，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，又，

所以，

所以实数a的最小值为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知p：，q：.

(1)当时，p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若是q的充分不必要条件：求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据条件及命题为真有，结合题设，即可求参数a的范围.

（2）命题间的关系有，列不等式组求a的范围.

【详解】(1)由题设，，

当时p为真命题，即，得：，又，

所以实数a的取值范围为.

(2)由（1），对应解集为，q：，解得，

因为是q的充分不必要条件，所以，且，

所以（等号不同时成立），解得，即a的取值范围是.

18．设函数．

(1)求在处的切线方程；

(2)求的极值点和极值．

【答案】(1)

(2)极大值点，极小值点，极大值是，极小值是

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，

（2）令，求得，，然后通过判断函数的单调性可求出的极值点和极值

【详解】(1)函数，函数的导数为．

，，

在处的切线方程：，即．

(2)令，，解得，．

当时，可得，即的单调递减区间，

或，可得，∴函数单调递增区间，．

∴的极大值点，极小值点，

∵，

∴极大值是，极小值是．

19．p：函数在区间是递增的；q：方程有实数解.

(1)若p为真命题，求m的取值范围；

(2)若“”为真，“”为假，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，再利用基本不等式计算可得；

（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再根据“”为真，“”为假，即可得到真假，或假真，从而得到不等式组，解得即可；

【详解】(1)解：为真命题，即函数在区间上是递增的

∴在区间上恒成立，

∴在区间上恒成立，

∵，当且仅当时等号成立，

∴的取值范围为.

(2)解：为真命题，即方程有实数解

∴

即

∴或

∵“”为真，“”为假

∴真假，或假真

∴或，解得或，

∴的取值范围为或；

20．已知函数，且在处取得极值.

(1)求的值；

(2)当，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）对函数求导，则极值点为导函数的零点，进而建立方程组解出a,b，然后讨论函数的单调区间进行验证，最后确定答案；

（2）根据（1）得到函数在上的单调区间，进而求出最小值.

【详解】(1)，因为在处取得极值，所以，则，

所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，故为函数的极值点.

于是.

(2)结合（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，而，所以.

因为，所以.

综上：的最小值为.

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)讨论函数的零点个数.

【答案】(1)当时，函数 在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

(2)当时，函数没有零点；

当或时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点.

【分析】（1）对函数，求导得出，

对进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数的单调性.

（2）由题意可知，函数的零点个数转化为函数与

图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解.

【详解】(1)函数的定义域为，.

当时，恒成立，所以在上单调递减；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

(2)令，得.

令，则，

令，得；令，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

所以；

当时，，

当时，，所以，

所以函数的图象如图所示，由图可得，

当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；

当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；

当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.

22．设函数．

(1)当时，过原点做的切线，求切线方程；

(2)不等式对于恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设出切点，根据导数的几何意义，写出切线方程，根据其经过原点，求得切点坐标，则切线方程得解；

（2）对目标式分离参数后，构造函数，利用导数求得其最大值，即可求得参数的取值范围.

【详解】(1)根据题意当时，，设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为

将代入切线方程，解得，故切线方程为.

(2)由对于恒成立，

整理得；

令则；

令；

所以单调递减，；所以；

当 ，单调递增；

当，，单调递减.

所以的最大值为；

因为，所以

所以；

故．

【点睛】本题考察导数的几何意义，以及利用导数研究恒成立问题，涉及隐零点问题的处理，解决本题的关键是利用隐零点求得的最大值，属综合中档题.