2021-2022学年安徽省滁州市定远县吴圩片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年安徽省滁州市定远县吴圩片八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县吴圩片八年级（下）期中数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）化简后，与的被开方数相同的二次根式是A.  B.  C.  D. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是A.  B.
C. 且 D. 且当时，化简的结果是A.  B.  C.  D. 如图所示：是一段楼梯，高是，斜边是，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯
A.  B.  C.  D. 下面对关于的一元二次方程的表述错误的是A. 判别式的值为 B. 方程有一根是
C. 不等于 D. 不等于是一个无理数，则下列判断正确的是A.  B.  C.  D. 如图，、、分别表示直角三角形的三边向外作的正方形的面积，下列关系正确的是A.
B.
C.
D. 一本书共页，小颖要用天把它读完，当她读了一半时，发现平均每天需多读页才能恰好在规定的时间内读完，如果读前一半时，小颖平均每天读页，则下列方程中正确的是A.  B.
C.  D. 关于的一元二次方程的根的情况是A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的最小值为A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）函数中，自变量的取值范围是______．若一元一次方程的两个实数根为，，则的值是______．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是______ ．

  如图在中，，，，它们的中点分别是点、、，则的长为______．

    三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）计算
；
．






 解下列方程：
；
．






 关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围．






 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明；
求原来的路线的长．






 已知关于的一元二次方程．
求证：方程一定有实数根；
若此方程有两个不相等的整数根，求整数的值．






 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利元，请回答：
每千克茶叶应降价多少元？
在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？






 如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点，求证：
≌；
．
  






 如图，图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．

若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由；
当，时，求的长．






 菱形中，，的顶点、分别在、上．
如图，当时，若，，求的长；

如图，若点、分别为、的中点，在点、之间，当时，若点、分别为、的中点，连接并延长交于点，求证：；

如图，在的条件下，当点与点重合时，过上一点，作于点，连接并延长至点，使得，连接交于点当时，请直接写出的值．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
 2.【答案】
 【解析】解：当时，方程为，此方程的解是，
当时，当时，方程有实数根，解得：，
所以当时，方程有实数根，
故选：．
分为两种情况，方程为一元一次方程和方程为一元二次方程，分别求出即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
先判断出的符号，的符号，进而化简即可．
考查二次根式的化简；判断出的符号是解决本题的易错点；注意二次根式的被开方数是非负数．
 4.【答案】
 【解析】解：是直角三角形，，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故选：．
先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为的高，楼梯的宽的和即为的长，再把、的长相加即可．
本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．
 5.【答案】
 【解析】解：可化为：，
方程是一元二次方程，
，
即，
，
把代入，
则方程的左右两边相等，
故A，，D正确，
故选：．
由一元二次方程的定义得到，即，求出的值，对方程进行验根，即可得到结论．
此题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
 6.【答案】
 【解析】解：，
，
，
即．
故选A．
先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间．
本题考查无理数的估算，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
 7.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是表示出三个正方形的边长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系利用勾股定理即可得出结论．
根据正方形的面积边长边长可表示出三个正方形的边长，结合勾股定理即可得出结论．
【解答】解：由正方形的面积公式可知：
左边正方形的边长，右边正方形的边长，下边正方形的边长，
由勾股定理可知：
，即．
故选A．  8.【答案】
 【解析】解：设前一半时，小颖平均每天读页，
．
故选：．
前一半时，小颖平均每天读页，根据一本书共页，小颖要用天把它读完，当她读了一半时，发现平均每天需多读页才能恰好在规定的时间内读完，可列方程．
本题考查理解题意的能力，设出原来每天读的页数，以时间作为等量关系列方程求解．
 9.【答案】
 【解析】解：，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
总结：
、一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
、一个代数式的平方是非负数．
 10.【答案】
 【解析】解：作点关于的对称点，过作交延长于点，过作交于，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
，，
，
，
，，
，
，
是的中点，
，
，，，
，
，
是的中点，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
作点关于的对称点，过作交延长于点，过作交于，当、、三点共线时，的值最小，求出即为所求
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键．
 11.【答案】且
 【解析】解：由题意得：，，
解得：且，
故答案为：且
根据分母不为、二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，掌握分母不为、二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 12.【答案】
 【解析】解：一元一次方程的两个实数根为，，
，，
则原式


，
故答案为：．
先由根与系数的关系得出，，再代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
 13.【答案】
 【解析】解：将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
当杯子中筷子最短时等于杯子的高，，
当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，，
的取值范围是：．
故答案为：．
根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：在中，，，，
，
；
又点、、分别是、、的中点，
，且，
，且，
四边形是矩形，
，
；
故答案是：．
利用勾股定理的逆定理可以推知；然后利用三角形中位线定理可以求得平行四边形是矩形、与的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理求得的长度．
本题综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理．解答该题的突破口是根据已知条件“在中，，，”利用勾股定理的逆定理推知是直角三角形．
 15.【答案】解：

；



．
 【解析】先根据平方差公式进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
先根据零指数幂和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂和平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 16.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
整理成一般式，得：，
则，
或，
解得，．
 【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
先整理成一般式，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 17.【答案】证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根；
解：，
即，
即，
，．
方程有一根小于，
，
解得：，
的取值范围为．
 【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程解答本题的关键是正确求出该方程的两个根．
根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
利用因式分解法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
 18.【答案】解：是，
理由：，
，
为直角三角形，
，
是从村庄到河边最近的路；

设千米，则千米，
，
，
解得：，
答：路线的长为千米．
 【解析】利用勾股定理逆定理证明，根据垂线段最短可得答案；
设千米，则千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
此题主要考查了勾股定理和逆定理，关键是掌握表示出直角三角形的三边长，利用勾股定理列出方程．
 19.【答案】证明：，



，
方程一定有实数根；
，
，，
当整数取，时，为整数，
方程有两个不相等的整数根，
整数为，，．
 【解析】计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；
利用求根公式计算出两根，然后利用有理数的整除性确定整数的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了有理数的整除性．
 20.【答案】解：设每千克茶叶应降价元，则平均每周可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答：每千克茶叶应降价元或元．
为尽可能让利于顾客，
，
．
答：该店应按原售价的折出售．
 【解析】设每千克茶叶应降价元，则平均每周可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
结合可得出，再由现售价及原价可求出打的折扣数．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 21.【答案】证明：和都是等腰直角三角形
，   
，
在和中，
，
≌  ．

≌，

，
，
．
 【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
根据两边及夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．
只要证明是直角三角形即可解决问题．
 22.【答案】解：，
理由：连接，

，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
过点作，垂足为，

，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
的长为．
 【解析】连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 23.【答案】解：在菱形  中，，，
为等边三角形，
，，
，
，，
又，

，
在和中，
，
≌，
，
如图，过点作，垂足为，

为等边三角形，
，
在中，
，
又，
在中，
，
；
证明：如图，在线段上取点，使，

在菱形  中，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
在线段上取点，使，
，
又是的中点，即，
，
又是的中点，即，
，
；
解：如下图，延长到，使，连接、，，

，
，
为等边三角形，
，，
又，
，
又，
≌，
，，
又，
当点  与边中点重合时，由可知，
，
又是等边三角形，
，，
，
又，
，
∽，
，
，即，
，
又，
，
，
、、、四点共圆，
又，，
，
为、、、四点共圆的直径，
，
，，
，，
，，
，，
如图，过点分别作，垂足为，垂足为，

四边形是矩形，
，
，
，，
设，，
则，，，，，
，，
，
，
整理得：，
解得：，不合题意舍去
，
．
 【解析】根据证≌，得出，过点作，垂足为，根据勾股定理求出，，即可得出的长度；
在线段上取点，使，证≌，得，在线段上取点，使，证，即可得证结论；
延长到，使，连接、，，证，，过点分别作，垂足为，垂足为，设，，用的代数式分别表示出和即可得出比值．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识是解题的关键．