2021-2022学年安徽省滁州市定远县永康片八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年安徽省滁州市定远县永康片八年级（下）期末数学试卷（Word解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
若二次根式a+1在实数范围内有意义，a的取值范围是( )
A. a>1B. a≥1C. a>−1D. a≥−1
计算(3−1)(3+1)2的结果是( )
A. 23+2B. 23−2C. 2D. 3+1
如果关于x的方程(x−9)2=m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是( )
A. m>3B. m≥3C. m>−4D. m≥−4
若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是( )
A. 36B. −36C. 9D. −9
已知三角形的边长分别是5、7、8，则这个三角形的面积是( )
A. 9B. 93C. 10D. 103
在△ABC中，若AB=3，BC=5，AC=34，则下列说法正确的是( )
A. △ABC是锐角三角形B. △ABC是直角三角形且∠C=90°
C. △ABC是钝角三角形D. △ABC是直角三角形且∠B=90°
如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是( )
A. 86°B. 84°C. 76°D. 74°
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE/​/AB交AD于点E.若OA=2，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为( )
A. 16B. 32C. 36D. 40
如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB=6，EF=1，则线段AC的长为( )
A. 7B. 152C. 8D. 9
某社区计划组织以“全民健身，‘键’步如飞”为主题的踢键子比赛活动，为了了解参赛成员踢键子水平及稳定程度，在比赛前期甲、乙、丙、丁四名参赛成员分别记录了自己在规定时间内5次踢键子的数量，并计算出了各自的平均个数x−及方差S2，如表所示：
根据参赛成员踢键子的平均数量及稳定程度，你认为哪位参赛成员获胜的可能性大( )
甲B. 乙C. 丙D. 丁
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
观察下列各式：1−12=12,2−25=225,3−310=3310，4−417=4417，请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是______．
已知关于x的方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3，则(m−n)2=______．
如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，M是AB的中点，若CM=6.5，BC+CD+DA=17，则四边形ABCD的面积为______ ．
如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，AD=18，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E，F，则△GEF的面积最大值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
计算：
(1)32−18−18；
(2)(7+43)(7−43)−(3−1)2．
解方程：2(x−3)=x(3−x)．
[初步感知]在④的横线上直接写出计算结果：
①13=1；
②13+23=3；
③13+23+33=6；
④13+23+33+43=______．
…
[深入探究]观察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；
②1+2+3=(1+3)×32；
③1+2+3+4=(1+4)×42；
…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)=______．
[拓展应用]通过以上[初步感知]与[深入探究]，计算：
(1)13+23+33+…+993+1003；
(2)113+123+133+…+193+203．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程x2+x=0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程x2−5x+6=0是否是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程x2−(m−1)x−m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE=90°，连接AE．
(1)求证：△CEA≌△CDB；
(2)求证：AE2+AD2=DE2．
王老师从本校九年级质量检测中随机抽取另一些同学的数学成绩做质量分析，他先按照等级绘制这些人数学成绩的扇形统计图，如图所示，数学成绩等级标准见表1；又按分数段绘制成绩分布表，如表2．
表1：
表2：
分数段为90≤x≤100的11人中，其成绩的中位数是95分.请根据以上信息回答下面问题：
(1)王老师抽查了______ 人；m的值是______ ；
(2)小明在此考试中也正好得了95分，他说自己在这次考试中数学成绩是A等级，他说的对吗？为什么？
(3)若此次测试数学学科普高的预测线是70分，该校九年级有900名学生，求数学学科达到普高预测线的学生约有多少人？
(1)如图(1)所示，已知△OAC为等腰直角三角形OA=OC，∠AOC=90°，以点D为坐标图点建立坐标平面，作CH⊥x轴于H点，求证：
①∠AOx=∠OCH；
②若点A坐标为(3,4)，求出点C的坐标．
(2)如图(2)所示，已知△OAB，以点O为原点建立平面直角坐标系，若点A坐标为(3,4)，点B的坐标为(−1,7)，求证：△OAB是等腰直角三角形．
(3)如图(3)所示，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(3,4)，若△OAB是以OA为腰的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF=BE；连接EC并延长至G，使CG=CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
(1)若∠BAE=70°，∠DCE=20°，求∠DEC的度数；
(2)求证：四边形AFHD为平行四边形．
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.点D是边BC上一点，△BDE是等边三角形，四边形CDEF是平行四边形．
(1)如图1，若点D是BC中点，求证：四边形BDFE是菱形；
(2)一般的，设DF与CE相交于点G，如图2，连接AD，AC，AF．
①证明：AD=AF；
②求∠DAG的大小．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，a+1≥0，
解得，a≥−1，
故选：D．
根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：(3−1)×(3+1)2
=(3−1)×(3+1)×(3+1)
=(3−1)×(3+1)
=2×(3+1)
=23+2，
故选：A．
利用平方差公式进行运算，再化简即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：
m+4≥0，
∴m≥−4，
故选：D．
根据解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=62−4c=0，
解得c=9，
故选：C．
方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，可知Δ=62−4c=0，然后即可计算出c的值．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时Δ=0．
5.【答案】D
【解析】解：如图，过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB2−BD2=AD2=AC2−CD2，
∵AB=5，AC=7，BC=8，
∴52−BD2=72−(8−BD)2，
∴BD=52，
∴AD=AB2−BD2=52−(52)2=532，
∴三角形的面积=12×BC⋅AD=12×8×532=103，
故选：D．
如图，过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理得到AD=532，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AB=3，BC=5，AC=34，
∴AC2=34，AB2+BC2=9+25=34，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
故选：D．
先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
7.【答案】B
【解析】解：由题意：∠EOF=108°，∠BOC=120°，∠OEB=72°，∠OBE=60°，
∴∠BOE=180°−72°−60°=48°，
∴∠COF=360°−108°−48°−120°=84°，
故选：B．
利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，
∵OE/​/AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB=2OE，AD=2AE，
∵△AOE的周长等于10，
∴OA+AE+OE=10，
∴AE+OE=5−OA=10−2=8，
∴AB+AD=2AE+2OE=16，
∴▱ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×16=32；
故选：B．
由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，OB=OD，证OE是△ABD的中位线，则AB=2OE，AD=2AE，求出AE+OE=8，则AB+AD=2AE+2OE=16，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出AB+AD=8是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠AEB=90°，D是边AB的中点，AB=6，
∴DE=12AB=3，
∵EF=1，
∴DF=DE+EF=3+1=4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC=2DF=8．
故选：C．
根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由根据表中数据可知丁的平均成绩较高且方差小，
即成绩稳定，
故选：D．
根据表中数据可知丁的平均成绩较高且方差小，故做出判断即可．
本题主要考查可能性的大小，根据方差判断成绩的稳定性是解题的关键．
11.【答案】n−nn2+1=nnn2+1
【解析】解：∵5=22+1，
10=32+1，
17=42+1，
∴n−nn2+1=nnn2+1．
故答案为：n−nn2+1=nnn2+1．
第n个式子等式左边的被开方数的被减数是n，减数的分子是n，分母是n2+1，等式右边的系数是n，被开方数的分子是n，分母是n2+1．
本题考查了规律型：数字的变化类，算术平方根，找到第n个式子等式左边的被开方数的减数的分母是n2+1是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：由(x+m)2=3，得：
x2+2mx+m2−3=0，
∴2m=4，m2−3=n，
∴m=2，n=1，
∴(m−n)2=1，
故答案为1．
已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.【答案】30
【解析】解：延长CM、DA交于点E．
∵AD/​/BC，
∴∠MAE=∠B，∠E=∠BCM．
又AM=BM，
∴△AME≌△BMC(AAS)．
∴ME=MC=6.5，AE=BC．
又BC+CD+DA=17，∠D=90°，
∴DE+DC=17①，DE2+DC2=CE2=169②．
∴DE⋅CD=12[(DE+DC)2−DE2−DC2]=60．
∴梯形ABCD的面积为12DE⋅CD=30．
故答案为：30．
延长CM、DA交于点E.根据AAS可以证明△AME≌△BMC，则ME=MC=6.5，AE=BC；根据BC+CD+DA=17，得DE+DC=17①，根据勾股定理，得DE2+DC2=CE2=169②，联立求得DE⋅CD的值，即可求得梯形的面积．
此题综合运用了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及完全平方公式的运用．
14.【答案】30
【解析】解：如图，当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，

由折叠的性质可得，
GF=FC，∠AFE=∠EFC，
在Rt△ABF中，
AF2=AB2+BF2，
∴AF2=62+(18−AF)2，
∴AF=10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=10，
∴△GEF的面积最大值=12×6×10=30，
故答案为：30．
当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，根据折叠性质可得GF=FC，∠AFE=∠EFC，根据勾股定理可求AF=10，根据矩形的性质可得∠EFC=∠AEF=∠AFE，可得AE=AF=10，即可求△GEF的面积最大值．
本题考查了翻折变换，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理是解题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=42−32−24
=324；
(2)原式=49−48−(3−23+1)
=1−4+23
=23−3．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
16.【答案】解：2(x−3)=x(3−x)，
2(x−3)+x(x−3)=0，
(x−3)(x+2)=0，
x−3=0，x+2=0，
解得x1=3，x2=−2．
【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
17.【答案】10 (n+2)(n+1)2
【解析】解：④13+23+33+43=10，
故答案为：10；
1+2+3+⋯+n+(n+1)=(n+2)(n+1)2，
故答案为：(n+2)(n+1)2；
(1)原式=1+2+3+4+5+⋯+99+100
=(1+100)×1002
=5050；
(2)原式=13+23+33+⋯+183+193+203−(13+23+33+⋯+103)
=202×2124−102×1124
=400×4414−100×1214
=44100−3025
=41075．
④根据前三个式子的结果直接写出答案；
根据以上等式的规律直接写出答案；
(1)根据规律直接写出答案；
(2)先把原式化为13+23+33+⋯+183+193+203−(13+23+33+⋯+103)，根据规律写出算式，然后计算．
主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键．
18.【答案】解：(1)解方程x2−5x+6=0得x1=3，x2=2，
∵3比2大1，
∴方程是“邻根方程”；
(2)∵x2−(m−1)x−m=0，
∴(x−m)(x+1)=0，
∴x−m=0或x+1=0，
∴x1=m，x2=−1，
∵方程x2−(m−1)x−m=0(m是常数)是“邻根方程”，
∴m−1=−1或m+1=−1，
∴m=0或m=−2．
【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，属于新定义型题目，读懂新定义的规则是关键．
(1)先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；
(2)先利用因式分解法解一元二次方程得到x1=m，x2=−1，再根据“邻根方程”的定义得到m−1=−1或m+1=−1，然后解关于m的方程即可．
19.【答案】证明：(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=EC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACD=∠DCE−∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△CDB与△CEA中，
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=CD，
∴△CDB≌△CEA(SAS)；
(2)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
由(1)得△CDB≌△CEA，
∴∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AE2+AD2=DE2．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
(2)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质解答即可；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
20.【答案】解：(1)50；12
(2)对的，理由如下：
∵分数段在90≤x≤100的有11人，
∴这11个分数从大到小的顺序排列后，第6个分数就是这组数据的中位数，即第6个数据为95，
∵A等级的人数有：50×12%=6(人)，
∴a=95，
∴小明的数学成绩是A等级，他说的正确；
(3)12+12+11=35(人)，
35÷50=70%，
900×70%=630(人)．
答：数学学科达到普高预测线的学生约有630人．
【解析】解：(1)王老师抽查的人数是：5÷10%=50(人)，
小于80的人数有：50×(44%+10%)=27(人)，
m=27−5−10=12(人)．
故答案为：50，12；
(2)(3)见答案．
(1)根据小于60的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以小于80的人数所占的百分比求出小于80的人数，再减去小于70的人数，求出m；
(2)先求出A等级的人数，再根据在分数段为90≤x≤100的人数和中位数的定义即可推断出小明说的对不对；
(3)用样本估计总体，用总人数乘以数学学科普高的预测线的人数所占的百分比即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21.【答案】(1)解：①过A点作AG⊥x轴于G点，
∵△AOC是等腰直角三角形，
∴∠AOC=90°，AO=CO，
∴∠COH+∠AOG=90°，
∵CH⊥x轴，AG⊥x轴，
∴∠CHO=90°，∠AGO=90°，
∴∠COH+∠OCH=90°，
∴∠OCH=∠AOG，
即∠OCH=∠AOx；
②∵∠OCH=∠AOG，∠CHO=90°=∠AGO，OC=OA，
∴Rt△CHO≌Rt△OGA(AAS)，
∴HO=AG，CH=OG，
∵A(3,4)，
∴AG=4=HO，OG=CH=3，
∴C点坐标为(−4,3)；
(2)证明：∵A(3,4)，B(−1,7)，O(0,0)，
∴AB2=(3+1)2+(4−7)2=25，AO2=(3−0)2+(4−0)2=25，BO2=(−1−0)2+(7−0)2=50，
∴AB=AO=5，BO2=AB2+AO2，
∴△ABO是直角三角形，且AB=AO，
∴即△ABO是等腰直角三角形，
(3)解：①当OA=AB时，即∠BAO=90°，根据(2)的结果可知B点坐标为(−1,7)；
②当OA=OB时，即∠AOB=90°，
如图，过A点作AM⊥x轴于M点，过B点作BN⊥x轴于N点，
∵∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，
∴∠AOM=∠OBN，
∵OB=OA，
∴Rt△BNO≌Rt△OMA(AAS)，
∴BN=OM，NO=AM，
∵A(3,4)，
∴AM=4=NO，OM=BN=3，
∵B点在第二象限，
∴B点坐标为(−4,3)，
综上所述：B点坐标为(−1,7)或(−4,3)．
【解析】(1)①过A点作AG⊥x轴于G点，通过等量代换证明∠OCH=∠AOG，即可求解；
②证明Rt△CHO≌Rt△OGA，即可求点的坐标；
(2)利用勾股定理证明三角形是直角三角形；
(3)当OA=AB时，∠BAO=90°，B(−1,7)；当OA=OB时，即∠AOB=90°，过A点作AM⊥x轴于M点，过B点作BN⊥x轴于N点，通过证明Rt△BNO≌Rt△OMA，求B点坐标为(−4,3)．
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠BCD=70°，AD//BC，
∵∠DCE=20°，AB/​/CD，
∴∠CDE=180°−∠BAE=110°，
∴∠DEC=180°−∠DCE−∠CDE=50°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠BAE=∠BCD，
∵BF=BE，CG=CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC/​/FG，BC=12FG，
∵H为FG的中点，
∴FH=12FG，
∴BC/​/FH，BC=FH，
∴AD/​/FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
【解析】(1)由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
(2)由平行四边形的性质得出AD=BC，AD//BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC/​/FG，BC=12FG，证出AD//FH，AD//FH，进而解答即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵四边形CDEF是平行四边形，
∴EF/​/CD，EF=CD，
∵点D是BC中点，
∴BD=DC，
∴EF=BD，EF//BD，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∵△BDE是等边三角形，
∴BD=BE，
∴▱BDFE是菱形；
(2)∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CF/​/DE，
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BCF=∠BDE=60°，
∵AB=AC，∠BAC=120°．
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠ACF=30°=∠ABC，
在△ABD和△ACF中，
AB=AC∠ABD=∠ACFBD=CF，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴AD=AF；
(2)由①知：△ABD≌△ACF，
∴∠CAF=∠BAD，
∴∠DAF=∠BAC=120°，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DG=FG，
∵AD=AF，
∴∠DAG=12∠DAF=60°．
【解析】(1)可证出EF=BD，EF//BD得四边形BDFE是平行四边形，又BE=BD，从而▱BDFE是菱形；
(2)①通过SAS证明△ABD≌△ACF即可；
②由①中全等可证出∠DAF=∠BAC=120°，再由DG=FG，得∠DAG=12∠DAF=60°．
本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明△ABD≌△ACF是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
x−
90
103
95
108
S2
265
185
12
185
等级
A
B
C
D
分数x的范围
a≤x≤100
80≤x