2021北京市延庆区高一下学期期中考试数学试题含答案

延庆区2020-2021学年第二学期期中试卷

高一数学          2021.05

 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。

  第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）的终边在                                                （    ）

（A）第一象限    （B）第二象限   （C）第三象限     （D）第四象限

（2）已知，在第二象限，则                       （    ）

（A）            （B）       （C）          （D）

（3）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是                 （    ）

（A）  （B）    （C）   （D）

（4） 已知三角形的三个顶点的坐标分别是，，，则                                               （     ）

（A）        （B）      （C）       （D）

（5）的图像是由的图像经过怎样的变换得到的 （     ）

（A）向左平移                     （B）向右平移 

（C）向左平移                    （D）向右平移

（6）下列函数中，在区间上是单调增函数的是                （    ）

（A）                 （B）

（C）                 （D）

（7）下列各式的值等于的是（    ）

    （A）                   （B）  

（C）                   （D）

（8） 下列各式的值不等于1的一个是                                （     ）                                                                                       

（A）      

（B）

（C）            （D）  

（9）函数在一个

周期上的简图如右，则的值分别是 （     ）

（A）   （B）      

（C）   （D）

（10） 直角三角形中， ，若，分别是和

的中点，则                                    （     ）

（A）          （B）          （C）         （D）

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。

（11）已知角的终边经过的一点的坐标为, 则                 .

（12）弧度的角是指                                                     ；建立了度量角的弧度制后，弧度与角度的换算关系为：rad，这是因为

                                                                     .

（13）直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，

角的终边与的终边关于                  对称；

角的终边与的终边关于                  对称．

（14）已知，.

若，则          ；若，则        .

（15）给出下列命题：

①         ②

③        ④

其中正确命题的序号是                 ．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

作图题.

（Ⅰ）已知，在所给坐标系中作出并指出角的正弦线和余弦线；

（Ⅱ）用五点法作出函数在一个周期内的简图.

（17）（本小题14分）

在中，已知，.

（Ⅰ）求；               （Ⅱ）求.

（18）（本小题14分）

已知.

（Ⅰ）求的零点；         （Ⅱ）求的单调递增区间.

（19）（本小题14分）

已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；   （Ⅱ）求在区间上的最值及相应的的值.

（20）（本小题14分）

如图，为半圆的直径，，为圆心，是

半圆上的一点，,将射线绕

逆时针旋转到，过分别作于,

于.

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；    

（Ⅱ）求四边形的面积的最大值.

（21）（本小题15分）

已知是两个单位向量, , ，，

.

（Ⅰ）若，求；     （Ⅱ）若，求的最大值及相应的值；

（Ⅲ）若，，求证：.

延庆区2019-2020学年度高一数学试卷评分参考

一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.  A     2．B．   3．D    4．A      5.  C  

6． D    7．C     8.  B    9.  B    10.  D 

二、填空题: （每小题5分，共6小题，共25分）

11．；        

12. 圆周上长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角；圆周长等于.

13．轴；  直线.       14．；.         15．② ③.

说明：（1）两个空的题目，前3后2；

（2）12题第一空，把握两个关键词“长度等于半径的弧”“圆心角”，第二空答不给分；

（3）13题第二空答成角的终边所在的直线也给满分；

（4）15题选对一个给3分，选对两个给5分，错选得零分。

三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）

16. （本小题满分14分）

（Ⅰ）做出正弦线和余弦线                          …………4分

指出正弦线和余弦线                          …………6分

（Ⅱ）列表                                       …………10分

描点作图                                   …………14分

17．（本小题满分14分）

计算题，结果正确，有大致过程，给满分；结果正确，无过程，给1分或2分；

结果不正确，按步骤采分点给分。

（Ⅰ），  ……………1分

 ，                                   ……………4分

        ……………6分

（Ⅱ）       ……………8分

            ……………10分  

                      ……………12分

                    ……………13分

                              ……………14分

18．（本小题满分14分）

（Ⅰ）

                                   ……………6分

      令 ，   则，

，

，

函数的零点是 .        ……………10分

（Ⅱ） 令 ，

则 ，

的单调增区间是 . ………14分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）

                ……………1分

                         ……………5分

                             ……………7分

         函数的最小正周期是.             ……………………8分

（Ⅱ）  ，

，                 ……………………10分

，          

                    ……………………12分

此时，，           ……………………13分

此时，             ……………………14分

20. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）如图， 以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，…1分

          ， 圆的半径为，

点坐标为，                     ……………3分

点的坐标为，           ……………5分

坐标为.                      ……………6分

（Ⅱ）四边形的面积   ………9分

                          ……………11分

，

当时，即时，，  

四边形的面积的最大值为.         ……………14分

21. （本小题满分15分）

解：（Ⅰ），     ，                       

， 

， 或.    ……………4分

（Ⅱ）  ，     ，   

，

是单位向量，， 

，

，

，   ，

当时，即时，的最大值等于.

当时，的最大值等于.            ……………9分

（Ⅲ）证明： ，    ，

，

，

令，

则，，

  ，或 ，

，

，  舍，

 ，

，

当时，上式不成立，  ，

.                                   ……………15分