2022年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（含解析）

2022年浙江省宁波市中考数学模拟试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 与互为倒数，那么等于

A.  B.  C.  D.

2. 以下能够准确表示宣城市政府地理位置的是

A. 离上海市千米 B. 在上海市南偏西
C. 在上海市南偏西千米 D. 东经，北纬

3. 如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为

A.  B.  C.  D.

4. 当，函数的最大值与最小值分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 某商品每件标价为元，若按标价打折后，再降价元销售，仍获利元，则该商品每件的进价为

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

6. 如图是一张长方形的拼图卡片，它被分割成个大小不同的正方形和一个长方形，若要计算整张卡片的周长，则只需知道其中一个正方形的边长即可，这个正方形的编号是

A.  B.  C.  D.

7. 二次函数的顶点坐标为，图象如图所示，有下列四个结论：
   ；；，
   其中结论正确的个数为

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

8. 一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为

A.  B.
C.  D.

9. 下列命题：
   等腰三角形的角平分线、中线和高重合，
   等腰三角形两腰上的高相等；
   等腰三角形的最小边是底边；
   等边三角形的高、中线、角平分线都相等；
   等腰三角形都是锐角三角形．
   其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 已知点，，均在抛物线其中下列说法正确的是

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 已知直线与直线相交于点，，垂足为若，则的度数为______ 单位用度表示
     

12. 如图，在等腰中，，，则边上的高是______ ．
    
     

13. 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：

则该图象的对称轴是______．

14. 已知方程的根是和，则 ______ ．
15. 如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则______度．
     

16. 在矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿折叠，使点落在点处，若为直角三角形时，的长为______．
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程组：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 【问题】已知：直线及直线外点．
    求作：直线，使得．
    下面是小东给出的作法：如图，
    直线上任取两点、，作射线；
    分别以、为圆心，、长为半径画弧，两弧交于点与点在直线的同一侧且不与点重合；
    作直线则直线即为所求．根据小东的尺规作图过程，请你：
    用直尺和圆规补全图形；
    证明：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，中，、分别是、的中点，，过点作，交的延长线于点．
    求证：四边形是菱形．
    若，，求菱形的面积．
    
     

21. 年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋元一袋十个的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋元销售了袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋．
    求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
    为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月分销量的基础上，该口罩每袋降价元，销售量就增加袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利元？
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知反比例函数为常数的图象在第一、三象限．
    求的取值范围；
    如图，若该反比例函数的图象经过▱的顶点，点，的坐标分别为，，求出该反比例函数的解析式；
    若，都在该反比例函数的图象上，且，则和有怎样的大小关系？
    
    
    
    
    
    
     
23. 某电子公司前期投入万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出这种市场热销的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为元件，在销售过程中发现：每年的年销售量万件与销售价格元件的关系如图所示．设该电子公司销售这种电子产品的年利润为万元注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本
    请求万件与销售价格元件之间的出函数关系式；
    求出第一年这种电子产品的年利润万元与销售价格元件之间的出函数关系式，并求出第一年年利润的最大值第一年年利润总售价总成本研发费用；
    假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润万元取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格定在元以上，若年销售量与每件销售价格仍满足的关系，当第二年的年利润不低于万元时，求出第二年销售量的最大值．

24. 新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条段线叫做该平面图形的二分线．
    解决问题：
    三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是______；
    如图，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点若，则______填“是”或“不是”的一条二分线．
    如图，四边形中，平行于，点是的中点，射线交射线于点，取的中点，连接求证：是四边形的二分线．
    如图，在中，，，，，分别是线段，上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
倒数：乘积是的两数互为倒数．据此判断即可．
【解答】
解：与互为倒数，那么等于．
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】解：能够准确表示宣城市政府地理位置的是：东经，北纬．
故选：．
根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：如图，矩形的对边平行，
，
根据三角形外角性质，可得，
，
故选：．
依据平行线的性质，即可得到，再根据三角形外角性质，可得，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

4.【答案】
 

【解析】解：

，
当时，最大值是，
，
时，最小值是，
故选：．
利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、灵活运用配方法是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设该商品每件的进价为元，则
，
解得．
即该商品每件的进价为元．
故选：．
设该商品每件的进价为元，根据题意可知商品按零售价的折再降价元销售即销售价，利用售价进价利润得出方程为，求出即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到商品售价的等量关系．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，
所以整张卡片的周长，
所以只需知道正方形的边长即可．
故选：．
设正方形的边长为，正方形的边长为，再表示出正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，则可计算出整张卡片的周长为，从而可判断只需知道哪个正方形的边长．
本题考查了整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．整式的加减实质上就是合并同类项．
 

7.【答案】
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
，即，
抛物线开口向下，
，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以正确；
，，
，
即，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与的一个交点在与之间，
抛物线与的另一个交点在与之间，
当时，，
，所以正确；
，即，
而，
，即，所以正确．
故选：．
利用顶点式得到，利用抛物线开口方向得到，利用得到，利用抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对进行判断；利用得到，把，代入可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与的另一个交点在与之间，则可利用当时，可对进行判断；利用，可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】
解：等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，错误；
等腰三角形两腰上的高相等，正确；
等腰三角形的最小边不一定是底边，错误；
等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；
等腰三角形不一定是锐角三角形，错误，
其中正确的有个，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】解：，
函数的顶点坐标为，即为点，
当时，抛物线开口向下，则当越靠近时，的值越大，
当时，，
当时，，
当时，抛物线开口向上，则当越靠近时，的值越小，
当时，，
故选项A，无法确定，不符合题意；
当时，是最小值，此时，开口向上，则当越靠近时，的值越小，
，故选项D正确，符合题意．
故选：．
先将抛物线的解析式化为顶点式，然后得到函数的顶点即为点，再由的正负分情况讨论，得到之间的大小关系．
本题主要考查二次函数的性质，熟知由抛物线的开口方向和点到对称轴的距离大小决定对应值的大小是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
．
，，
．
．
故答案为．
由对顶角相等可以得到的度数，可得用，结论可得．
本题主要考查了垂线和对顶角的定义的应用以及度分秒的换算，要注意由垂直得直角这一要点．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图所示，过点作于点，
，，
，
．
故答案为：．
根据题意作出高线，根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

13.【答案】直线
 

【解析】解：由表格可得，
该函数图象的对称轴为直线，
故答案为：直线．
根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

14.【答案】
 

【解析】解：方程的两个实数根为、，
、，
．
故答案为．
根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
首先根据正五边形的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理得到的度数．
【解答】
解：五边形为正五边形，
，
是的角平分线，
，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】或或或
 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键．
先利用勾股定理计算出，当为直角三角形时，有几种情况：当点落在矩形内部时，如图所示．根据折叠的性质得，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出即可．当点落在延长线上时，如图所示．此时四边形为正方形，得出当点落在边上时，如图所示，易知，，设，，然后在中运用勾股定理可计算出即可；当点落在延长线上时，如图，设，，，然后在中运用勾股定理可计算出即可．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
，
当为直角三角形时，有下列几种情况：
当点落在矩形内部时，落在上，如图所示．

由折叠的性质得：，，，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得，
；
当点落在延长线上时，如图所示．

此时四边形为正方形，
．
当点落在边上时，如图：

易知，，设，，
在中，，
，
；
当点落在延长线上时，如图，

设，，
则，
在中，，
解得．
综上所述，的长为或或或．
故答案为：或或或．  

17.【答案】解：原式
．
 

【解析】将绝对值去掉，计算出零指数幂，再根据实数的运算法则按顺序计算即可．
本题考查实数的运算，去绝对值，零指数幂，解题的关键是掌握去绝对值的方法和零指数幂．
 

18.【答案】解：，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
所以原方程组的解是；

整理，得，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是．
 

【解析】把代入得出，求出，再把代入求出即可；
整理后得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
 

19.【答案】解：图形，如图所示．

证明：由作图可知，，，
四边形是平行四边形，
．
 

【解析】根据要求作出图形即可．
利用平行四边形的判定和性质证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】证明：、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；

由知，
，
是等边三角形，
，
，
，
过点作于点，
，
在中，
，，，
，
．
 

【解析】由题意易得，与平行且相等，故四边形是平行四边形．又邻边，则四边形是菱形；
根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．
 

21.【答案】解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为．
设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：当口罩每袋降价元时，五月份可获利元．
 

【解析】设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据总利润每袋口罩的销售利润月销售数量结合五月份可获利元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：的图象在第一、三象限，
，
；
四边形为平行四边形，
，，
点坐标为，
，
该反比例函数的解析式为；
，
，两点都在第一象限，
又该反比例函数在每一个象限内，函数值都随的增大而减小，
．
 

【解析】由图象在第一象限可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
由平行四边形的性质可求的点坐标，代入可求得反比例函数解析式；
根据反比例函数的性质即可得到结论．
本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及知识点有反比例函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质等．在中注意反比例函数中与图象的关系，在中求得点坐标是解题的关键，在中确定，两点都在第一象限是解题的关键．本题主要考查基础知识，难度不大．
 

23.【答案】解：设万件与销售价格元件之间的函数关系式是，将，代入得：
，
解得，
；
根据题意得：，
，
时，取最大值，最大值为，
答：，第一年年利润的最大值时万元；
第一年的年利润为万元，
万元应作为第二年的成本，
第二年的年利润，
令，则，
解得，，
时，第二年的年利润不低于万元，
，
随的增大而减小，
时，有最大值，最大值为，
当第二年的年利润不低于万元时，第二年销售量的最大值是万件．
 

【解析】用待定系数法可得；
由年利润总售价总成本研发费用可得，根据二次函数性质可得答案；
由第一年的年利润为万元，可得，令，可解得时，第二年的年利润不低于万元，因，由一次函数性质即可得答案．
本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

24.【答案】解：三角形的中线；是  ；
的中点，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，

≌，
，
，
，
是四边形的二分线．
如图，延长使，连接，

，，，，分别是线段，上的点，且，



，
，且，
≌
，，，，
，


，且，
≌、
，
，
，
是四边形的一条二分线，
，

 

【解析】解：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
三角形的中线是三角形的二分线，
故答案为三角形的中线
是边上的中线
，
，
，
，
是的一条二分线
故答案为：是
见答案．
由平面图形的二分线定义可求解；
由面积的和差关系可得，可得是的一条二分线；
根据的中点，所以，由，是的中点，证明≌，所以，所以，可得是四边形的二分线；
延长使，连接，通过全等三角形的判定可得，可得，即可得．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．