2023年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位其中万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则，的值可以是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  使分式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，，，分别是，边的中点，于点连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  将抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  边长为的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中号小矩形是边长为的正方形，若号小矩形的周长为，且满足，则下列小矩形中一定是正方形的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  的绝对值是            ．

12.  分解因式：          ．

13.  如图所示的电路图，同时闭合两个开关能使小灯泡发亮的概率是______ ．

14.  如图，把直角尺的角的顶点落在上，两边分别交于三点，，，若的半径为则劣弧的长为______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点，点是直线上的一个动点，以为圆心，以线段的长为半径作，当与直线相切时，点的坐标为______．

16.  在中，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿直线折叠得．
如图，若为边长为的等边三角形，当点恰好落在线段上时，则 ______ ；
如图，若为直角三角形，，分别连接、、，若，且，则 ______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

18.  本小题分
图图、图都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为每个小正方形的顶点叫做格点，故段的端点都在格点上在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．

在图中画，使的面积是；
在图中画四边形，使四边形是轴对称图形；
在图中的线段上找一点，使．

19.  本小题分
在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．
求这个反比例函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围．

20.  本小题分
年月日，中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，他们生动演示了微重力环境下的多个实验某中学以其中个实验浮力消失实验，太空冰雪实验，水球光学实验，太空抛物实验为主题开展手抄报评比活动，学校天文社团随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
扇形统计图中 ______ ，实验所对应的圆心角的度数为______ ；
若该校共有学生名，请根据上述调查结果，估计有多少人对“太空抛物实验”感兴趣？

21.  本小题分
“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．
天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度结果精确到；
下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点下降的高度结果精确到．
参考数据：，，，
 

22.  本小题分

某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的 共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量与，植物的生长高度，的关系如图所示．

请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式；

请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量为多少？

同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围．

23.  本小题分
【基础巩固】如图，和是直角三角形，，，求证：∽；
【尝试应用】如图，在与中，直角顶点重合于点，点在上，，且，连接，若，求的长；
【拓展提高】如图，若，，，，过作交延长线于，求的值．

 

24.  本小题分
如图，已知内接于，为的直径，，，点是半圆上的一个动点，过点作交直径于点．

求证：；
如图，连接交于点，若，求；
如图，连接交于点，若，
求的长；
直接写出的值为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，由此即可得到答案．
本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数大小的比较方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个几何体的主视图如下：

故选：．
根据主视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：甲是这四名选手中成绩最好的，
，
又甲是发挥最稳定的学生，
，
符合此条件的是，，
故选：．
根据平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和平均数的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
解得．
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
，分别是，边的中点，
是的中位线，，
，，
，
，，
，
，
故选：．
先根据等边对等角得到，再由勾股定理得到，由线段中点的定义和三角形中位线定理得到，，，再由得到，，由此求出，即可利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，证明是的中位线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：．

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，在新抛物线上，且，
，
，
故选：．
根据平移规律得到新抛物线为，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由点，在新抛物线上，且，即可得到关于的不等式，解不等式求得即可判断．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到关于的不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设号小矩形的长为，则号小矩形的宽为，
号小矩形的周长为，且满足，
号小矩形的宽为，
号小矩形的宽为，
号小矩形的长为，
号小矩形的长和宽都是，
即号小矩形的是正方形，
故选：．
根据题意，可以设号小矩形的长为，然后即可表示出其它的小矩形的长和宽，从而可以判断哪个矩形一定是正方形，本题得以解决．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，表示出各个小矩形的长和宽．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
根据绝对值的定义进行求解即可．
【解答】
解：的绝对值是，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：．
【解答】
解：．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：把开关、、分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有种，
同时闭合两个开关能使小灯泡发亮的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，如图：

，
，
劣弧的长．
故答案为：．
连接、，如图，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式计算即可．
本题考查了圆周角定理和弧长公式的计算，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：过点作，垂足为，

当与直线相切时，
则，
，
点，
，
点是直线上的一个动点，
设点的坐标为，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
过点作，垂足为，当与直线相切时，则，根据已知可设点的坐标为，从而可得，进而可得，然后再证是等腰直角三角形，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后根据直角三角形的斜边上的中线性质可得，即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握切线的判定与性质，以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：过作于，如图：

是边长为的等边三角形，为中点，
，，，
，
设，则，，
，
沿直线折叠得，点恰好落在线段上，
，
的等腰直角三角形，
，即，
解得，
，
故答案为：；
设，

，
，
，
点在的中线上，
，
，
解得，
，
．
故答案为：．
过作于，由是边长为的等边三角形，为中点，可得，，，设，根据沿直线折叠得，点恰好落在线段上，可得，故EH，即，解方程即可得到答案；
设，由，有，又，故点在的中线上，由勾股定理得，解得，即知，再由直角三角形面积公式可得答案．
本题考查几何变换综合应用，考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

17.【答案】解：

；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
故不等式组的解集为． 

【解析】先根据完全平方公式以及单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可；
先分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了整式的加减．
 

18.【答案】解：如图，为所求作答案不唯一．


如图，矩形为所求作答案不唯一．

如图，取，，
连接交于，

∽，
，
，
点为所求作． 

【解析】以为底，根据面积可确定高，即可求作；
以为一边，作出矩形即可；
取，，连接交于，即可求作．
本题考查了作图轴对称变换，掌握图形特征，找出作法是解题的关键．
 

19.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
这个反比例函数的解析式为；
把点代入得，，
，
当时，对于的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，则的取值范围是． 

【解析】把点代入，利用待定系数法即可求得；
把点代入求得的值，利用图象即可求得的取值范围．
本题考查了待定系数法解反比例函数解析式及函数和不等式的关系，数形结合是解题关键．
 

20.【答案】解：由题意得，样本容量为：人，
的人数为：人，
补全频数分布直方图如图所示．

，
，
实验所对应的圆心角为．
故答案为：；．
人，
答：在全校名学生中，约有人对“太空抛物实验”感兴趣． 

【解析】用实验主题的人数除以其所占百分比可得调查的学生总人数，求出实验主题的人数，再补全频数分布直方图即可．
用减去，，主题所占的百分比即可求得；用实验所占的百分比乘即可得出答案．
全校名学生乘对“太空抛物实验”感兴趣的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】解：由对称知，，，，
在中，，
，
，
，
答：遮阳宽度约为米；

如图，

过点作于，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
当时，，
当时，，
当从减少到时，点下降的高度约为． 

【解析】根据对称性得出，再根据锐角三角函数求出，即可求出答案；
过点作于，得出，再分别求出和时，的值，即可求出答案．
此题主要考查了锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练应用锐角三角函数是解本题的关键．
 

22.【答案】解：设植物生长高度与药物施用量的函数关系式为，根据题意得：
，
解得，
；
设植物生长高度与药物施用量的函数关系式为，根据题意得：
，
解得，
；
当两种植物生长高度相同时，，
解得，
答：两种植物生长高度相同时，药物的施用量为；
由题意得：
，
解得，
故该药物施用量的取值范围为． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
根据的结论列方程解答即可；
根据的结论列不等式求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，难度适中，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
 

23.【答案】证明：，，
∽，
，，
，
∽；
解：，，
，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
；
解：如图，在上截取，连接，

，
，
，，
设，则，，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】通过证明∽，可得，，可得结论；
通过证明∽，可得，即可求解；
由锐角三角函数可求，由直角三角形的性质可求，，通过证明∽，可求的长，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：如图所示，延长交于点，

，
，
，
；
解：如图所示，延长交于点，

为的直径，，，
，设，，则，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
解：由可知，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
延长交于点，根据平行弦的性质得出，进而得出，进而即可求解；
延长交于点，根据为的直径，，，得出，，进而根据弧的关系，证明，即可求解；
证明∽，即可求解；
勾股定理求得，证明∽，得出，证明∽，求得，进而求得，即可求解．
本题考查了圆的综合应用，掌握垂径定理平行弦问题，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，已知正切求边长，求余弦，相似三角形的性质与判定是解题的关键．