2022年高中物理（新教材）新粤教版选择性必修第二册同步学案专题强化7 电磁感应中的电路问题和电荷量的计算

这是一份高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第二册全册综合学案，共15页。

　　　　 电磁感应中的电路问题和电荷量的计算
[学习目标]　1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路.2.掌握电磁感应现象中感应电荷量求解的基本思路和方法．

一、电磁感应中的电路问题
处理电磁感应中的电路问题的一般方法
1．明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体相当于电源，其他部分是外电路．
2．画等效电路图，分清内、外电路．
3．用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝BLvsin θ确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向．注意在等效电源内部，电流方向从负极流向正极．
4．运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率等公式求解．
如图1甲所示，线圈总电阻r＝0.5 Ω，匝数n＝10，其端点a、b与R＝1.5 Ω的电阻相连，穿过线圈的磁通量变化规律如图乙所示．关于a、b两点电势φa、φb及两点电势差Uab，正确的是(　　)

图1
A．φa>φb，Uab＝1.5 V
B．φa<φb，Uab＝－1.5 V
C．φa<φb，Uab＝－0.5 V
D．φa>φb，Uab＝0.5 V
答案　A
解析　从题图乙可知，穿过线圈的磁通量是增大的，根据楞次定律，感应电流产生的磁场与原磁场方向相反，即感应电流产生的磁场方向为垂直纸面向外，根据右手螺旋定则可知，线圈中感应电流的方向为逆时针方向．
在回路中，线圈相当于电源，由于电流的方向是逆时针方向，所以a相当于电源的正极，b相当于电源的负极，所以a点的电势高于b点的电势．
根据法拉第电磁感应定律得：E＝n＝10× V＝2 V，I＝＝ A＝1 A．a、b两点的电势差等于电路中的路端电压，所以Uab＝IR＝1.5 V，故A正确．
针对训练1　粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是(　　)

答案　B
解析　磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看成由三个相同电阻串联形成，A、C、D选项中a、b两点间电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压：U＝E＝，B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压：U′＝E＝，所以a、b两点间电势差的绝对值最大的是B选项．
固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd的边长为L，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线．匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上(如图2所示)，PQ与导线框接触良好．若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过的距离时，通过aP段的电流为多大？方向如何？

图2
答案　　方向由 P到a
解析　PQ在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，由于是闭合回路，故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ视为有内阻的电源，电阻丝aP与bP并联，且RaP＝R、RbP＝R，于是可画出如图所示的等效电路图．

外电阻为R外＝＝R，
总电阻为R总＝R外＋R＝R＋R＝R，
又电源电动势为E＝BLv，则电路中的电流为：
I＝＝，
故通过aP段的电流为：IaP＝I＝，方向由P到a.

1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”．
2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极．
二、电磁感应中的电荷量问题
闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q＝·Δt＝·Δt＝n··Δt＝.
由上式可知，线圈匝数一定时，通过某一截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关．
如图3所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆形导线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左向右匀速滑动，MN与圆环接触良好，电路中的定值电阻为R，其余部分电阻忽略不计．求MN从圆环的左端滑到右端的过程中电阻R上通过的电荷量．

图3
答案　
解析　MN从圆环的左端滑到右端的过程中，
ΔΦ＝B·ΔS＝B·πr2
所用时间Δt＝，所以＝＝
通过电阻R的平均电流为＝＝
通过R的电荷量为q＝·Δt＝.
针对训练2　物理实验中，常用一种叫作“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图4所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可得出被测磁场的磁感应强度为(　　)

图4
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知q＝·Δt＝·Δt＝Δt＝n＝n，则B＝，故C正确．

1．(电磁感应中的电路问题)(多选)如图5所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间都接阻值为R＝10 Ω的电阻．一接入电路的阻值为R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨垂直且接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是(　　)

图5
A．导体棒ab中电流的方向为由b到a
B．cd两端的电压为1 V
C．de两端的电压为1 V
D．fe两端的电压为1 V
答案　BD
解析　由右手定则可知，A错误；E＝Blv＝0.5×1×4 V＝2 V，则Ucd＝E＝1 V，B正确；由于de间、cf间电阻没有电流流过，故Ude＝Ucf＝0，所以Ufe＝Ucd＝1 V，C错误，D正确．
2．(电磁感应中的电路问题)如图6所示，粗细均匀、电阻为2r的金属圆环，放在图示的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，圆环直径为L；长为L、电阻为的金属棒ab放在圆环上，且与圆环接触良好，以速度v0向左匀速运动，当ab棒运动到图示虚线位置(圆环直径处)时，金属棒两端的电势差为(　　)

图6
A．BLv0 B.BLv0 C.BLv0 D.BLv0
答案　B
解析　切割磁感线的金属棒ab相当于电源，其电阻相当于电源内阻，当运动到题图中虚线位置时，两个半圆金属环相当于并联，等效电路图如图所示．则R外＝R并＝，I＝＝.金属棒两端的电势差等于路端电压，则Uab＝IR外＝·＝BLv0，B正确．

3．(电磁感应中的电荷量问题)如图7所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为v，通过金属圆环某一横截面的电荷量为q1，第二次速度为2v，通过金属圆环某一横截面的电荷量为q2，则(　　)

图7
A．q1∶q2＝1∶2 B．q1∶q2＝1∶4
C．q1∶q2＝1∶1 D．q1∶q2＝2∶1
答案　C
4．(电磁感应中的电荷量问题)如图8所示，正方形金属线圈位于纸面内，边长为L，匝数为N，电阻为R，过ab中点和cd中点的连线OO′恰好位于垂直于纸面向里的匀强磁场的右边界上，磁感应强度为B，当线圈从图示位置绕OO′转过90°时，穿过线圈某横截面的总电荷量为(　　)

图8
A．BL2 B．NBL2
C. D.
答案　D
解析　正方形金属线圈从题图所示位置转过90°时，磁通量的变化量为ΔΦ＝B·L2＝，q＝＝，故D正确．


1.如图1所示，用均匀导线制成的正方形线框边长为1 m，线框的一半处于垂直线框向里的有界匀强磁场中．当磁场以0.2 T/s的变化率增强时，a、b两点的电势分别为φa、φb，回路中电动势为E，则(　　)

图1
A．φa<φb，E＝0.2 V B．φa>φb，E＝0.2 V
C．φa<φb，E＝0.1 V D．φa>φb，E＝0.1 V
答案　C
解析　此题线框的左边部分相当于电源，画出等效电路如图所示，由题意得＝0.2 T/s，故E＝＝·S＝0.1 V，由楞次定律可知，线框内的感应电流方向为逆时针，a点电势低于b点电势，即φa<φb，故正确选项为C.

2．(多选)粗细均匀的电阻丝围成边长为L的正方形线框，置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，磁感应强度大小为B，其右边界与正方形线框的bc边平行．现使线框以速度v匀速平移出磁场，如图2所示，则在移出的过程中(　　)

图2
A．ad边的电流方向为a→d
B．ad边的电流方向为d→a
C．a、d两点间的电势差绝对值为BLv
D．a、d两点间的电势差绝对值为BLv
答案　BD
解析　由右手定则可知，ad边的电流方向为d→a，选项A错误，B正确．在线框以速度v向右运动移出磁场的过程中，只有ad边在切割磁感线，产生感应电动势，则线框上的感应电动势E＝BLv；设每边的电阻为R，根据闭合电路欧姆定律得I＝，a、d两点间的电势差的绝对值是路端电压，则Uad＝I·3R＝BLv，选项C错误，D正确．
3.如图3所示，一个匝数为n的正方形线圈，边长为d，电阻为r.将其两端a、b与阻值为R的电阻相连接，其他部分电阻不计．在线圈中存在垂直线圈平面向里的磁场区域，磁感应强度B随时间t均匀增加，＝k.则a、b两点间的电压为(　　)

图3
A．nd2k B. C. D.
答案　B
解析　根据法拉第电磁感应定律可得：E＝n＝nS＝nkd2，则a、b两点间的电压为Uab＝＝，故选B.
4.如图4所示，闭合开关K，将条形磁铁匀速插入闭合线圈，第一次用时0.2 s，第二次用时0.4 s，并且两次的起始和终止位置相同，则(　　)

图4
A．第一次磁通量变化量较大
B．第一次的最大偏转角较大
C．第一次经过的总电荷量较多
D．若断开K，均不偏转，则均无感应电动势
答案　B
解析　由于两次条形磁铁插入线圈的起始和终止位置相同，因此磁通量的变化量ΔΦ相同，故A错误；根据E＝n可知，第一次磁通量变化较快，所以感应电动势较大，而闭合电路的电阻相同，所以第一次的感应电流较大，第一次的最大偏转角较大，故B正确；通过的电荷量q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，则两次通过的电荷量相同，故C错误；若断开K，虽然电路不闭合，没有感应电流，但感应电动势仍存在，故D错误．
5.如图5所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字形，并使上、下两圆半径相等．如果环的电阻为R，则此过程中流过环的电荷量为(　　)

图5
A. B. C．0 D.
答案　B
解析　ΔΦ＝Bπr2－2×Bπ()2＝Bπr2，电荷量q＝＝，B正确．
6．如图6所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b>a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环横截面的电荷量为(　　)

图6
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为＝，则通过导线环横截面的电荷量为q＝||·Δt＝||＝，A项正确．

7．粗细均匀的电阻丝围成如图7所示的线框，置于正方形有界匀强磁场中，磁感应强度为B，方向垂直线框平面向里，图中ab＝bc＝2cd＝2de＝2ef＝2fa＝2L.现使线框以同样大小的速度v匀速沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过如图所示位置时，下列说法正确的是(　　)

图7
A．四个图中，图①中a、b两点间的电势差最大
B．四个图中，图②中a、b两点间的电势差最大
C．四个图中，图③中回路电流最大
D．四个图中，图④中回路电流最小
答案　A
解析　设线框的电阻为R.题图①中：a、b两点间的电势差等于外电压，其大小为U1＝E1＝B·2Lv＝BLv，电流为I1＝＝；题图②中：a、b两点间的电势差等于外电压的，其大小为U2＝E2＝B·2Lv＝BLv，电流为I2＝；题图③中：a、b两点间的电势差等于外电压的，其大小为U3＝，电流为I3＝；题图④中：a、b两点间的电势差大小为U4＝，电流为I4＝.可见，题图①中a、b两点间的电势差最大，题图③中回路电流最小，故A正确，B、C、D错误．
8.用相同的导线绕制的边长分别为L和2L的正方形闭合线框，以相同的速度匀速进入右侧的匀强磁场，如图8所示，在线框进入磁场的过程中，a、b和c、d两点间的电压分别为U甲和U乙，ab边和cd边所受的安培力分别为F甲和F乙，则下列判断正确的是(　　)

图8
A．U甲＝U乙 B．U甲＝2U乙
C．F甲＝F乙 D．F甲＝F乙
答案　D
解析　线框进入磁场后切割磁感线，甲中产生的感应电动势是乙中感应电动势的一半，设甲线框的电阻为4r，则乙线框的电阻为8r，则有U甲＝BLv·＝BLv，U乙＝B·2Lv·＝BLv，故U甲＝U乙，A、B错误；根据F＝BIL，E＝BLv，得出F甲＝，F乙＝＝，所以F甲＝F乙，C错误，D正确．
9.如图9所示，两光滑圆形导轨固定在水平面内，圆心均为O点，半径分别为r1＝0.2 m，r2＝0.1 m，两导轨通过导线与阻值R＝2 Ω的电阻相连，一长为r1的导体棒与两圆形导轨接触良好，导体棒一端以O点为圆心，以角速度ω＝100 rad/s顺时针匀速转动，两圆形导轨所在区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B＝2 T的匀强磁场，不计导轨及导体棒的电阻，下列说法正确的是(　　)

图9
A．通过电阻的电流方向为由b到a
B．通过电阻的电流为2 A
C．导体棒转动时产生的感应电动势为4 V
D．当r2减小而其他条件不变时，通过电阻的电流减小
答案　C
解析　由右手定则可知，通过电阻的电流方向为由a到b，故A错误．两圆环间导体棒在Δt时间内扫过的面积：ΔS＝(πr12－πr22)·，由法拉第电磁感应定律可知，两圆环间导体棒切割磁感线产生的感应电动势：E＝＝＝B(r12－r22)ω＝×2×(0.22－0.12)×100 V＝3 V，通过电阻R的电流：I＝＝ A＝1.5 A，故B错误．导体棒转动时产生的感应电动势：E′＝Br1＝Br1＝2×0.2× V＝4 V，故C正确．当r2减小而其他条件不变时，两圆环间导体棒切割磁感线产生的感应电动势：E＝BL＝B(r1－r2)＝变大，通过电阻的电流增大，故D错误．
10．(多选)在如图10甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2.螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF.在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B随时间t按如图乙所示的规律变化，螺线管内的磁场B的方向向下为正方向．则下列说法中正确的是(　　)

图10
A．螺线管中产生的感应电动势为1 V
B．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为5×10－2 W
C．电路中的电流稳定后电容器下极板带正电
D．S断开后，流经R2的电荷量为1.8×10－5 C
答案　CD
解析　根据法拉第电磁感应定律得E＝n＝nS＝1 500××20×10－4 V＝1.2 V，A错误；根据闭合电路欧姆定律得I＝＝ A＝0.12 A，根据P＝I2R1，得R1的电功率P＝0.122×4.0 W＝5.76×10－2 W，B错误；根据楞次定律，螺线管感应电流沿逆时针方向(俯视)，即等效电源为上负下正，所以电路中电流稳定后电容器下极板带正电，C正确；S断开后，流经R2的电荷量即为S闭合时电容器所带电荷量Q，电容器两端的电压等于R2两端电压，故U＝IR2＝0.6 V，则流经R2的电荷量Q＝CU＝1.8×10－5 C，D正确．
11.如图11所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的面积S＝0.3 m2、电阻R＝0.6 Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2 T．现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt＝0.5 s时间内合到一起．求线圈在上述过程中

图11
(1)感应电动势的平均值E；
(2)感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
(3)通过导线横截面的电荷量q.
答案　(1)0.12 V (2)0.2 A　见解析图　(3)0.1 C
解析　(1)感应电动势的平均值E＝
磁通量的变化量ΔФ＝BΔS
解得E＝，代入数据得E＝0.12 V；
(2)平均电流I＝
代入数据得I＝0.2 A(电流方向如图)；

(3)电荷量q＝IΔt
代入数据得q＝0.1 C.
12．如图12所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.1 T，金属棒AD长L＝0.4 m，与框架宽度相同，金属棒的电阻R＝ Ω，框架电阻不计，电阻R1＝2 Ω，R2＝1 Ω，当金属棒以5 m/s的速度匀速向右运动时，

图12
(1)求通过金属棒的电流大小；
(2)若图中电容器的电容C为0.3 μF，求电容器中储存的电荷量．
答案　(1)0.2 A　(2)4×10－8 C
解析　(1)金属棒匀速运动时产生的感应电动势E＝BLv＝0.1×0.4×5 V＝0.2 V
电路中总电阻为R总＝R＋＝1 Ω
通过金属棒的感应电流为I＝＝0.2 A
(2)金属棒两端的电压为U＝E－IR＝0.2 V－0.2× V＝ V
电容器中储存的电荷量为Q＝CU＝0.3×10－6× C＝4×10－8 C.
13．如图13甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200匝，直径d1＝40 cm，电阻r＝2 Ω，线圈与阻值R＝6 Ω的电阻相连．在线圈的中心有一个直径d2＝20 cm的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化，规定垂直纸面向里的磁感应强度方向为正方向．

图13
(1)求通过电阻R的电流方向；
(2)求理想电压表的示数；
(3)若撤去原磁场，在图中竖直虚线的右侧空间加磁感应强度B′＝0.5 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里，试求在施加新磁场过程中通过电阻R的电荷量．
答案　(1)A→R→B　(2)4.71 V　(3)1.57 C
解析　(1)线圈内磁感应强度方向向里且增大，根据楞次定律判断可知通过电阻R的电流方向为A→R→B.
(2)根据法拉第电磁感应定律得
E＝nS＝n·π()2＝2π V，
感应电流大小为I＝＝ A＝ A
故电压表的示数为U＝IR≈4.71 V
(3)根据法拉第电磁感应定律得，平均感应电动势为
＝n，
平均感应电流为＝
则通过电阻R的电荷量为q＝Δt＝n，
ΔΦ＝B′·π()2
代入数据解得q≈1.57 C.