高一数学下学期第一次月考卷（人教A版2019）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版）

高一数学下学期第一次月考卷（人教A版2019）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知平面向量，且，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

试题分析：因为，，且，所以，，故选B.

考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.

2．已知点则与同方向的单位向量为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.

考点：向量运算及相关概念.

3．已知向量，，，则实数k的值为（       ）

A． B． C．6 D．

【答案】C

【分析】

由，得，根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】

解：因为，，，

所以，即，解得，

故选：C.

4．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（       ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】

注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论.

【详解】

∴BA⊥AC,

∴△ABC为直角三角形，       

故选：

5．已知向量，其中，且，则与的夹角是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求得，根据夹角公式求得与的夹角.

【详解】

由于，所以，

设与的夹角为，

则，

由于，所以.

故选：B

6．已知，为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

直接代向量的投影的公式求解.

【详解】

在上的投影为．

故答案为:B

【点睛】

(1)本题主要考查向量的投影和向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”， 向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量．它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．

7．三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的（       ）

A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

【答案】B

【解析】

先化简得，即得点P为三角形的垂心.

【详解】

由于三角形所在平面内一点P满足，

则

即有，

即有，

则点P为三角形的垂心.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．在中，，点满足，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

取中点，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得，进而得到所求结果.

【详解】

取中点，连接，

，即，为边上靠近的三等分点；

，

，，，

又，，，

，即为等边三角形，.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：处理平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：

（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；

（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9．以下关于平面向量的说法中，正确的是（       ）

A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等

C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量

【答案】AD

【分析】

根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答.

【详解】

由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；

单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；

零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；

由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.

故选：AD

10．设有下面四个命题：

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数满足，则.

其中的真命题为（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】

根据复数的定义以及复数的分类，对命题的真假进行逐一判断即可.

【详解】

设，，

对于，若，即，则,

当，时，，故为假命题.

对于，若，则，即，则，故为真命题.

对于，若，则，即，，则，故为真命题.

对于，若，即，

则，不能推出，故不一定属于，故为假命题.

故选：BC.

11．对于任意的平面向量，下列说法错误的是（       ）

A．若 B．

C．若，则 D．

【答案】CD

【分析】

由平面向量的运算律和线性运算即可排除选项，完成求解。

【详解】

由平面向量的交换律可知选项A、B是正确的；选项C，，即

，化简可得，并不一定能得到，所以选项C是错误的；选项D，，即为，一个为的共线向量，一个为的共线向量，而两向量并不一定共线，所选项错误.

故选：CD.

12．的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（       ）

A．sin(B+C)=sinA

B．cos(B+C)=cosA

C．若，则为直角三角形

D．若，则为锐角三角形

【答案】AC

【分析】

利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答.

【详解】

依题意，中，，，A正确；

，B不正确；

因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；

因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确.

故选：AC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．已知两点A（-2，2），B（4，4）的中点坐标为___________.

【答案】

【分析】

利用中点坐标公式求解即可.

【详解】

的中点坐标为

故答案为：

14．在中，∠A=60°，AB=1，AC=2，则BC=___________.

【答案】

【分析】

根据给定条件利用余弦定理计算作答.

【详解】

在中，，AB=1，AC=2，由余弦定理得：

，则，

所以.

故答案为：

15．已知菱形的边长为2，，点､分别在直线､上，，若，则实数的值为___________.

【答案】

【分析】

根据题意，分别用和表示和，结合数量积的运算公式，即可求解.

【详解】

根据题意，由，，

得，

，

因为菱形的边长为2，，且，

所以

，解得.

故答案为：.

16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=acosB+bcosA，b=2，则△ABC的面积的最大值是___________.

【答案】

【分析】

由余弦定理得出，，由基本不等式得出，最后由三角形面积公式得出面积的最大值.

【详解】

因为2ccosB=acosB+bcosA，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，，由，b=2，得出，所以（当且仅当时，取等号），即，故，故△ABC的面积的最大值是.

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知是同一平面内的三个向量，其中．

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，且与的夹角为，求的值．

【答案】（1）或（2）

【分析】

（1）由可设，再由可得答案．

（2）由数量积的定义可得，代入即可得答案．

【详解】

解：（1）由可设，

∵，∴，

∴，∴或

（2）∵与的夹角为，∴，

∴．

【点睛】

本题考查向量的基本运算，属于简单题．

18．如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点.

(1)求的值；

(2)试确定点的位置，使得最小.

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】

(1)通过，，可得，从而通过可以求出，再确定的值.

(2)法一：设()，可以利用基底法将表示为t的函数，然后求得最小值；

法二：建立平面直角坐标系，设()，然后表示出相关点的坐标，从而求得最小值.

【详解】

(1)，，，

，，即，

，

(2)法一:设()，则，

，

当时，即时，最小

法二:建立如图平面直角坐标系，则，，

，，

设()，则，

当时，即时，最小．

【点睛】

本题主要考查向量的数量积运算，数形结合思想及函数思想，意在考查学生的划归能力和分析能力，难度较大.

19．已知向量，，设函数．

(1)求函数的单调增区间；

(2)已知的三个内角分别为若，，边AB=3，求边BC的长．

【答案】(1)(2)

【分析】

（1）由题意得，由 解不等式即可求解；

（2）由求得，再由正弦定理即可求解

(1)

∵R，由    

得

∴函数的单调增区间为；

(2)

∵，即，

∵角为锐角，得，

 又，

∴，

∴

∵，

由正弦定理得

20．在中，内角的对边分别为，已知向量与平行.

（1）求的值；

（2）若，周长为5，求b的长．

【答案】（1）2； （2）2.

【分析】

(1)先根据向量平行得到，再利用正弦定理化简得.(2)先利用余弦定理化简得a=1,c=2,即得b的值.

【详解】

（1）由已知得,

由正弦定理，可设,

则,

即,

化简可得，又，所以，

因此.

(2)

由（1）知,所以c=2，

由周长a+b+c=5,所以b=2.

【点睛】

（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题关键是正弦定理化简得.

21．在中，角的对边分别为，已知向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且三角形周长为10时，求面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由平行向量的坐标关系，得到边角等量关系，利用正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式化简，求出，即可求解；

（2）由已知可得，再由结合余弦定理，求出，进而求出面积.

【详解】

（1），所以，

由正弦定理得，

，由，

由于，因此，

所以，由于，

（2），且三角形周长为10，

由余弦定理得

，

因此面积，

因此面积为.

【点睛】

本题以向量坐标为背景，考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，以及求三角形的面积，考查计算求解能力，属于中档题.

22．已知向量满足，

（1）若，求实数的值；

（2）求向量与夹角的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，得到，展开整理得到，利用结合，确定方向关系，即可求解；

（2）设的夹角为，根据（1）求出，利用配方法求出的最小值，即可求出结论.

【详解】

（1）因为，，所以，则与同向.

因为，所以，

即，整理得，解得，

所以当时，.

（2）设的夹角为，

则，

当，即时，取最小值，

又，所以，

即向量与夹角的最大值为.

【点睛】

本题考查了平面向量的基本运算、向量的模计算、向量的夹角等基础知识，属于中档题.