卷09 函数的概念与性质 2021-2022学年高一数学单元卷（难）（解析版）（2019人教A版必修第一册）

这是一份卷09 函数的概念与性质 2021-2022学年高一数学单元卷（难）（解析版）（2019人教A版必修第一册），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前             卷09 函数的概念与性质 章末复习单元检测3（难）数 学本试卷22小题，满分150分。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有四个幂函数：①；②；③；④．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是　　A．① B．② C．③ D．④【解答】解：对于①，；是奇函数，不满足（1）偶函数；满足（2）值域是，且；不满足（3）在上是增函数．所以①不正确；对于②，；具有性质（1）是偶函数；不具有性质（2）值域是，且．满足（3）在上是增函数．所以②正确．对于③，；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是，且．所以不正确；对于④，；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是，且．所以不正确；故选：．2．已知，若（a），且，实数的值是　　A． B． C．或 D．或【解答】解：已知，若（a），且，当时，，求得．当时，，求得．综上可得，，或，故选：．3．定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中不正确的是　　A．的值域为， B．是偶函数 C．存在无理数，使 D．对任意有理数，有【解答】解：因为函数，所以函数的值域是，，故正确；若为有理数，则为有理数，有；若为无理数，则为无理数，有，所以函数为偶函数，故正确；为无理数，若为有理数，则为无理数，若为无理数，则可能为有理数，也可能为无理数，不满足，故任何无理数均不是的周期，故错误；对任意有理数，若为有理数，则为有理数，若为无理数，则为无理数，故，故正确．故选：．4．已知函数，则不等式的解集是　　A． B． C． D．【解答】解：的图象如下图所示：由图象可知：在上单调递增，，，得，即，解得．不等式的解集为．故选：．5．已知函数满足，且，当，时，，则当，时，的最大值为　　A． B．1 C．0 D．【解答】解：，．设，则，时，，，，当时，（1），故选：．6．若函数的值域为，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．，， D．，，【解答】解：当时，，函数的值域为，必须时，的最大值大于等于0，二次函数的开口向下，对称轴为，当时，即时，（1），解得；当时，即时，，解得或，综上或．故选：．7．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是　　A． B． C． D．【解答】解函数的图象如图所示，①当时，化为，当时，，由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为2，又（2），，（3），则，不必考虑．②当时，对于，△，解得，只考虑，则，由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，，舍去．可得：实数的最小值是．故选：．8．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，有，且是偶函数，不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．，， D．，，【解答】解：对任意的，，，有，故在，递增，而是偶函数，故的对称轴是：，故在，递减，在递增，不等式对任意的，恒成立，且，故只需即可，由对称性得：（7），故或，解得：或，故选：．  二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知，（常数，则　　A．当时，在上单调递减 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，，有【解答】解：选项：当时，当时，函数单调递减，但是（1），而当趋近于1时，趋近于1，所以函数在上不单调，错误，选项：当时，当时，函数显然没有最小值，则①当时，此时时，，即函数此时没有最小值，②当时，，此时函数仍然没有最小值，综上，当时，函数没有最小值，正确，选项：当时，当时，，，当时，，所以此时函数的值域为，，，错误，选项时，，当时，，，当时，，，显然有，，则对任意，，有，正确，故选：．10．符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是　　A．函数的定义域是，值域为， B．方程有无数个解 C．函数是奇函数 D．函数是增函数【解答】解：对于：当时．，则，所以此时，显然不成立，故函数的值域是，，故正确；对于：当时，，因为可以取所有的整数，所以方程有无数个解，故正确；对于函数的定义域是，而，故不是奇函数，故错误；对于，故函数是周期为1的周期函数，函数不单调，故错误；故选：．11．函数满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数，恒有；②对于定义域内的任意两个实数，都有成立，则称其为函数．下列函数为函数的是　　A． B． C． D．，【解答】解：根据题意，满足对于定义域内任意不相等的实数，恒有，即在定义域上为增函数，满足对于定义域内的任意两个实数，都有成立，则在其定义域上为凸函数，即．对于，，为一次函数，在其定义域上为增函数且，是函数，对于，，是指数函数，在其定义域上为增函数但不是凸函数，而是凹函数，故不满足条件．对于，，在其定义域上为增函数且是凸函数，故它是函数．对于，，，在其定义域上为增函数且是凸函数，故选：．12．设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则实数的值可以是　　A． B． C． D．【解答】解：因为，，，时，，，，时，，，，；，时，，，，，当，时，由解得或若对任意，，都有，则．故选：． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为　　．【解答】解：由题意可知：当时，函数是定义在上的奇函数，，；当时，任设，则，又因为：当时，，所以：，又因为函数是定义在上的奇函数，，．所以函数在上的解析式为：．故答案为：．14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是　　．【解答】解：函数是奇函数，令，则，，，，当，即，，，（舍去）当，即，，或，又，．故答案为：．15．已知函数，其中，若存在互不相等的三个实数，，，使得，则实数的取值范围是　　．【解答】解：函数，，，图象是型，又，其对称为，那么在单调递增，那么要有三个实数，，，使得，则，即，可得，解得．故答案为．16．设函数．①若，使得成立，则实数的取值范围是　　；②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是　　．【解答】解：函数．①当时，，其图象关于直线对称，若，使得成立，如图，则，实数的取值范围是；②由①中图形可知，当时，是单调增函数，当时，不单调，当时，单调递增，当时，不单调．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是，．故答案为：①；②，． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知幂函数的图象过点．（1）求函数的解析式，并求出它的定义域；（2）求满足的实数的取值范围．【解答】解：（1）设，代入点得，解得，即，故函数的定义域为，．（2）由于的定义域为，，且在，上递增，由已知可得，解得：，故的范围是，．18．设函数的定义域是，且对任意正实数，，都有恒成立，已知（2），且时，．（1）求的值．（2）判断在上的单调性并给出证明．（3）解不等式．【解答】解：（1）令，则可得（1），再令，，得（1）（2），即，故；（2）在上为单调增函数，证明如下：设，则，即，因为，故，即，故在上为单调增函数；（3）由及，得，又为定义域上的单调增函数，故，解得，所以不等式的解集为，．19．函数的定义域为，且对任意，都有，且（2），当时，有．（1）求（1），（4）的值；（2）判断的单调性并加以证明；（3）求在，上的值域．【解答】解：（1）可令时，（1）（1）（1）；令，可得（2）（4）（2），即（4）；（2）函数在上为增函数．理由：当时，有，可令，即有，则，可得，则在递增；（3）由在上为增函数，可得在，递增，可得（1）为最小值，为最大值，由（4）（4），可得（4），则的值域为，．20．已知函数．（1）若函数在区间上有两个相异的零点，求实数的取值范围；（2）若函数在区间，上的最小值为0，求实数的值．【解答】解：（1）函数在区间上有两个相异的零点，则，解得．故实数的取值范围是；（2）．①当，即时，在，上单调递增，，解得（舍去）；②当时，即时，，解得；③当，即时，在，上单调递减，（1），解得（舍去）．综上所述，实数的值为．21．已知函数，，．（1）若函数在，上有零点，求的取值范围；（2）若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围；（3）设，记（a）为函数在，上的最大值，求（a）的最小值．【解答】解：（1）函数的图象的对称轴是直线，在，上为减函数，又在，上存在零点，故，解得，故实数的取值范围为，；（2）若对任意的，，总存在，，使得，则函数在，上的函数值的取值集合是函数在，上的函数值的取值集合的子集，函数图象的对称轴是直线，所以在，上的函数值的取值集合为，，①当时，，不符合题意，舍去；②当时，在，上的值域为，，只需，解得；③当时，在，上的值域为，，只需，无解；综上，实数的取值范围为；（3），当或时，在，上单调递增，则（a）（1），当时，，解，得，故当时，，综上，，于是（a）的最小值为．22．设，，已知函数，．（Ⅰ）若是奇函数，求的值；（Ⅱ）当时，证明：；（Ⅲ）设，，若实数满足，证明：（1）．【解答】（Ⅰ）解：由题意，对任意，都有，即，即，可得．（Ⅱ）证明：因为，，，，所以．（Ⅲ）证明：设，则，当，；当时，，所以，，因为，所以，即，①当时，，（1），所以（1）；②当时，由（Ⅱ）知，（1），等号不能同时成立．综上可知，（1）．