【原创】（新教材）2021-2022学年下学期高一第一次月考卷 数学（A卷）

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（新教材）2021-2022学年下学期高一第一次月考卷数 学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，所以，故选B．2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以，则C为锐角，故，故选C．3．已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以，解得，故选D．4．在中，点在边上，且，是的中点，则（    ）A．  B．C．  D．【答案】D【解析】如图，因为，所以．因为是的中点，所以，则，故选D．5．在中，，，的对边分别为，，，若，则最大角的弧度数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由正弦定理得，设，根据余弦定理可知，又，所以，根据正弦定理可知长边对大角，故最大角的弧度数为，故选B．6．已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，因为，，，，所以，不妨设，，则，所以当时，取得最小值，故选D．7．某人在C点测得某塔在南偏西，塔顶仰角为，此人沿南偏东方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）A．10米 B．12米 C．15米 D．20米【答案】A【解析】由题意作出图形，如下图所示，设塔高为，在中，，则，在中，，则，在中，，，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），故选A．8．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由三角形的面积公式知，即，由正弦定理知，所以，即，即，即，利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得，又，则，，且，由正弦函数的性质可知，满足的有2个，即满足条件的的个数为2，故选B． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】AD【解析】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以，，，，故选AD．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】ABC【解析】由，及，得．若满足要求的△ABC有且只有1个，则或，即或，解得或，故选ABC．11．中，，，，为线段上的点，，则（    ）A．  B．时，C．若，则 D．【答案】AC【解析】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得，A对；对于B选项，当时，，此时，B错；对于C选项，若，则，解得，C对；对于D选项，，D错，故选AC．12．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（    ）A．若是锐角三角形，则B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若是等边三角形，则【答案】ACD【解析】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确，故选ACD． 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．己知向量，，若，则的值为___________．【答案】【解析】由题得，，所以，，所以，所以，故答案为．14．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，若A，B，C三点共线，则在方向上的投影是___________．【答案】2【解析】由题意可得，OA绕原点逆时针旋转，得到，所以，由A，B，C三点共线，可得，，故在方向上的投影为，故答案为2．15．在中，，，分别是内角，，的对边，若，，，则的周长为_________．【答案】【解析】由余弦定理可得，所以的周长为，故答案为．16．已知向量，满足，则的最小值是________，最大值是__________．【答案】4，【解析】设向量的夹角为，则，，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是，故答案为4，． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量，，在下列条件下分别求k的值：（1）与平行；（2）与的夹角为．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，，所以，，又与平行，所以，解得．（2）因为，，所以，因为与夹角为，所以，即，解得．18．（12分）已知在中，，，．（1）求；（2）求的面积S．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，在中利用正弦定理可得：，得，，所以．19．（12分）是平面直角坐标系的原点，，，记，，．（1）求与向量共线反向的单位向量；（2）若四边形OABC为平行四边形，求点的坐标；（3）若，且，求实数的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由题可知，设，∴，解得，∴．（2）设，∵四边形OABC为平行四边形，∴OB与AC的中点重合，则，解得，∴点的坐标为．（3）∵，∴，又，∴，又，，∴，∴，解得．20．（12分）的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知．（1）求角C的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，由正弦定理得，，，，因为，所以，，，因为，所以．（2）∵，，由余弦定理得，又，．21．（12分）如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为．（1）用向量，表示；（2）用向量，表示，并求出和的值．【答案】（1）；（2），7，6．【解析】（1）根据题意，因为，所以，所以，为的中点，，，所以，．（2）因为，，三点共线，设，所以，即，，，三点共线，设，由（1）可知，即，，不共线，由平面向量基本定理，所以，所以，，所以，，则的值为7，的值为6．22．（12分）的内角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若点为的中点，且，求边的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，所以，所以，因为，所以，由，得．（2）因为，所以，，即①因为，所以，，即②将①式代入②式，得，又由①式可知，所以，当且仅当时等号成立．所以，即，所以边的最大值为，此时．