第7章复数（基础30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版）

第7章复数（基础30题专练）

一、单选题

1．（2022·全国·高一）复数满足（为虚数单位），则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数，即可求得结果.

【详解】因为，因此，复数的虚部为.

故选：A.

2．（2022·全国·高一）已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】先化简复数得到复数为，即得解.

【点睛】解：，

所以该复数对应的点为，在第四象限.

故选：D

3．（2022·全国·高一）已知为虚数单位，则复数可化简为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算即可求解.

【详解】.

故选：A

4．（2022·全国·高一）已知复数，若是纯虚数，则实数（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.

【详解】解：是纯虚数，

则，解得.

故选：D.

5．（2022·全国·高一）复数等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】按照复数的加法和减法法则进行求解.

【详解】

故选：A.

6．（2021·湖北·高一期末）已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出共轭复数，从而可求出其虚部

【详解】由，得，

所以的虚部是，

故选：B

7．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知复数，那么等于（       ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件利用复数模的定义直接计算作答.

【详解】因复数，则，

所以等于.

故选：C

8．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）复数的虚部为（       ）

A．-2 B．2 C．-2i D．2i

【答案】B

【分析】由复数的运算得出虚部.

【详解】，即该复数的虚部为.

故选：B

9．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知x，y∈R，i为虚数单位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，则x，y的值为（       ）

A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1

【答案】A

【分析】根据复数相等的定义即可求解.

【详解】解：因为（x-1）+（y+1）i=2+i，

所以，解得，

故选：A.

二、多选题

10．（2021·广东揭西·高一期末）已知复数，则下列结论正确的有（       ）

A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是

C． D．

【答案】AC

【分析】先对复数化简计算，然后逐个分析判断即可

【详解】解：，

则在复平面对应的点为，位于第二象限，所以A正确，

的虚部为1，所以B错误，

，所以C正确，

，所以D错误，

故选：AC

11．（2021·云南·罗平县第二中学高一期末）已知复数，则正确的是（　　）

A．z的实部为﹣1 B．z在复平面内对应的点位于第四象限

C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为

【答案】BD

【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.

【详解】因为，

所以z的实部为1，虚部为-1，

在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，

共轭复数为，

故AC错误，BD正确.

故选：BD

12．（2021·河北·英才国际学校高一期中）复数，则（       ）

A．在复平面内对应的点的坐标为

B．在复平面内对应的点的坐标为

C．

D．

【答案】AD

【分析】利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为，即可得答案；

【详解】在复平面内对应的点的坐标为，．

故选：AD.

13．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（       ）

A．复数z=1+i

B．||=

C．复数z对应的点位于第一象限

D．复数的实部是-1

【答案】BD

【分析】化简复数，进而得到复数对应的点的坐标为,再对照选项，即可得到答案；

【详解】复数对应的点的坐标为.

复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，复数对应的点的坐标为,

复数.故均错;的实部是，故BD正确,

故选：.

14．（2021·广东·仲元中学高一期中）下列说法中错误的是（       ）

A．若复数z满足，则 B．若复数z满足，则

C．若复数z满足，则 D．若复数､满足，则

【答案】ABD

【分析】根据题意，结合复数的运算及性质，依次分析选项是否正确，即可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于，若，则此时，但，所以错误；

对于，复数满足，令，，所以，所以是虚数，所以错误；

对于，设，则，若，必有，则，所以正确；

对于，若，，则，但，所以错误；

故选：．

15．（2021·广东广州·高一期末）已知复数，下列说法正确的是（       ）

A．复数z的虚部是 B．复数z的模为5

C．复数z的共轭复数是 D．在复平面内复数z对应的点在第四象限

【答案】BD

【分析】根据复数的相关定义、模的运算与几何意义即可求得答案.

【详解】复数的虚部为-3，A错误；

复数的模为，B正确；

复数的共轭复数为，C错误；

复数对应的点的坐标为，在第四象限，D正确.

故选：BD.

16．（2021·湖北·高一期末）对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用复数的运算性质分析求解即可

【详解】对于A，由，得，所以，所以A错误，

对于B，因为，，所以，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以C正确，

对于D，因为 ，所以D正确，

故选：CD

三、填空题

17．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．

【答案】

【分析】若复数，则复数的模为．

【详解】设，则﹒

故答案为：

18．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期中）复数的虚部是___________.

【答案】1

【分析】利用＝－1即可计算﹒

【详解】∵，∴的虚部为1．

故答案为：1．

19．（2022·全国·高一）计算：_______

【答案】

【分析】根据复数模的计算公式计算可得；

【详解】解：

故答案为：

20．（2021·全国·高一课时练习）______.

【答案】

【分析】根据复数的四则运算规则计算即可.

【详解】根据复数的四则运算规则得，

原式=

故答案为：.

21．（2022·全国·高一）已知是虚数单位，若，则的值为______.

【答案】0

【分析】运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.

【详解】因为，

所以，.

故答案为:

22．（2022·全国·高一）已知复数满足，则_______.

【答案】

【分析】由复数的除法运算即可求解.

【详解】由可得，

故答案为：.

23．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知（为虚数单位），则___________.

【答案】

【分析】根据复数代数的四则运算计算即可.

【详解】,.

故答案为：.

四、解答题

24．（2021·全国·高一课时练习）（1）[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．

（2）计算i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021．

【答案】（1）32＋7i；（2）1011i.

【分析】（1）根据复数的乘法运算法则即可求解；

（2）根据复数乘方的运算法则即可求解.

【详解】解：（1）原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.

（2）原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.

25．（2021·全国·高一课时练习）设复数在复平面上所对应的点为.请说出当复数z是虚部大于零､实部小于零的虚数时，点Z在复平面上所在的位置.

【答案】点Z在复平面上第二象限

【分析】复数,实部为横坐标，虚部为纵坐标，即可得到点在第二象限.

【详解】根据复平面的几何意义，复数,实部为横坐标，虚部为纵坐标，横坐标小于零，纵坐标大于零，即可得到点在第二象限.

故答案为：点Z在复平面上第二象限.

26．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，求．

【答案】

【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】因为，因此，.

27．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．

【分析】由向量加法的坐标表示可得复数加法过程．

【详解】，

对应的两个复数相加的运算过程：

28．（2022·全国·高一）已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位．

(1)求复数；

(2)若复数对应的点在第四象限，求m的取值范围．

【答案】(1)；(2)或

【分析】（1）设，得出和，根据题意即可求出；

（2）表示出，根据对应的点在第四象限可得不等关系求解.

(1)设，则，

，

因为和均为实数，所以，解得，

所以，则；

(2)，

因为对应的点在第四象限，所以，解得或.

29．（2021·全国·高一课时练习）求（，且）的所有能取到的值构成的集合.

【答案】

【分析】应用复数乘方、除法运算可得，讨论n的奇偶性确定取值集合.

【详解】，

当n为奇数时，；当n为偶数时，.

∴所有能取到的值构成的集合为.

30．（2021·全国·高一单元测试）已知关于x的二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值.

【答案】.

【分析】首先设二次方程的实数根为，代入方程求的，再利用复数模的公式，结合基本不等式，即可求得模的最小值.

【详解】设为方程的实根，则

，

当即时，.