2022西安长安区一中高三第五次模拟考试数学（文）含答案

高三第五次教学质量检测

文科数学试题

时间：120分钟  满分：150分  

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知集合，集合，则（    ）.

A.           B.            C.               D.

2.已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知函数，，的零点分别为则的大小顺序为（   ）

A．         B.        C.       D.

4.已知向量， ，且，则 等于（ ）

A．-3 B．3 C． D．

5.已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2，，则异面直线AB1与BC所成角的余弦值（   ）

A． B． C． D．

6.已知，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件   B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

7.已知，，在函数，的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图像恒在x轴的上方，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8.已知在处取得极大值10，则的值为(     )

A.        B.          C.             D.

9.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆的面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体,而无所失矣”.某同学在圆内画一内接正十二边形，将100粒豆子随即撒入圆内，发现只有4粒不在正十二边形内.据此实验，估计圆周率的近似值为(   )

A.            B.              C.              D.

10.已知正实数，满足，若对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A．，      B．， C．，   D．，，

11.已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）

A  B.  C.  D.

12.若存在两个正实数使得等式成立，则实数的取值范围是（   ）

A.          B.         C.           D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）

13.已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是      .

14.函数是定义在上的增函数，函数的图像关于点对称，则满足的实数x的取值范围为________.

15.已知等边的边长为2，为边的中点，点是边上的动点，则的最小值为            .

16.已知四棱锥的底面是矩形，，平面平面 ，，且直线与所成角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为            .

三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必修作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

设等差数列的前项和为，已知，且是与的等比中项.

（1）求的通项公式；

（2）若.求证：，其中.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积．

19.（本小题满分12分）

某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，则得到体育成绩的折线图如下，若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”

（1）已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；

（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取3人，求所抽取的3名学生中，至少有1人为非“体育良好”的概率.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆，长轴为4，不过原点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

（1）求椭圆的方程.

（2）若直线过右焦点，问轴上是否存在点，使得三角形为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

(1) 当时，求的单调递增区间；

(2) 若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为,求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.

22．(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，，为曲线上两点，且，设射线：.

(1)求曲线的极坐标方程；  

(2)求的最小值.

23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]

已知，，为正数，

（1）证明：；

（2）求的最小值.