2022届陕西省西安中学高三第四次模拟考试数学（文）试题(含答案)

陕西省西安中学高 2022 届高三第四次模拟考试 数学（文科）试题

第 Ⅰ 卷（60 分）

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.

1 、“ a b 0 ”是“ 1 ”的（    ）

A ．充要条件    B ．充分不必要条件   C ．必要不充分条件   D ．既不充分也不必要条件

2 、函数f(x) lnx 2x 6 的零点所在区间为（    ）

A ． (0, 1)                        B ． (1, 2)                         C ． (2, 3)                        D ． (3, 4)

3 、某旅游者爬山的高度 h(单位：m)是时间 t(单位：h)的函数，关系式是 h＝－100t2＋800t， 则他在 2 h 这一时刻的高度变化的速度是（    ）

A ．500 m/h                  B ．1 000 m/h                  C ．400 m/h                  D ．1 200 m/h

4 、已知算法框图如图 1 所示，该程序运行后，若输出的a 的值为 16 ，则循环体的判断框内

①处应填（    ）

A ． 2                                   B ． 3                                  C ． 4                                   D ． 5

（图 1）                                      （图 2）

5、某几何体的三视图如图 2 所示，主视图和左视图是高为2的等腰梯形，俯视图是两个半

径为 2 和 4 的同心圆，则该几何体侧面展开成的扇环所对的圆心角为（    ）

A ．                B ．                 C ．                 D ．

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6 、已知关于 x 的方程（x2  mx) 2xi 2 2i(m R) 有实数根 n ，且z m ni ，则复数z

（    ）

A ．3 i                        B ．3 i                        C ． 3 i                       D ． 3 i

7 、已知 2 ，则 （    ）

A ．             B ．               C ．             D ．

8 、第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 2 月 4  日～2 月 20  日在北京和张家口联合举 行．为了更好地安排志愿者工作，现需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明 只会德、法、 日、英四门外语中的一门． 甲说，小明不会法语，也不会日语：乙说，小明会

英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语 是（    ）

A ．德语             B ．法语              C ． 日语             D ．英语

9 、已知半径为 2 的圆经过点（5 ，12），则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）

A ．10                                   B ．11                                     C ．12                                   D ．13

10 、已知球O 表面上的四点A 、B 、C、D 满足AC BC ，AB 2 ，若四面体ABCD 体积

的最大值为 ，则球O 的表面积为（    ）

A ．              B ．                C ．              D ． 8

11 、某人准备到某接种点接种新冠疫苗加强针，该接种点在前一天已用完全部疫苗，新的疫 苗将于当天上午 8 ：00~11：00 之间随机送达，若他在 9 ：00~12：00 之间随机到达该接种点， 则他到达时疫苗已送达的概率是（    ）

A ．                 B ．                 C ．                 D ．

12 、已知梯形 ABCD 中，AD ∥BC ， B ，AB 2 ，BC 4 ， AD 1 ，点 P，Q 在线段 BC 上 移动，且PQ 1 ，则DP D Q 的最小值为（    ）

A ．1                                 B ．                C ．                D ．

第Ⅱ卷（90 分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13题—第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.

第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.

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二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13 、直线x my 2 0 和直线mx (2m 1)y 0 垂直，则实数m =______.

14、在等差数列{an } 中，a7  15 ，a2    a6    18 ，若数列{( 1)n an } 的前n 项之和为Sn  ，则S100  ____.

15 、已知F 是双曲线 1 的左焦点，A(1, 4) ，P 是双曲线右支上的动点，则| PF | | PA | 的 最小值为______.

16 、若过定点P(1, e) 恰好可作曲线y aex (a 0) 的两条切线，则实数a 的取值范围是______.

三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.  第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.  第 22 ，23 题为选考题，考生根据要求作答.

17 、  （本小题满分 12 分）函数f x Asin x A 0, 0,   的

部分图象如图 3 所示：

（1）求函数f x 的解析式与单调递减区间；

（2）求函数f x 在 0, 上的值域．

（图 3）     18 、（本小题满分 12 分）某地医疗机构承担了该地的新冠疫苗接种任务，现统计了前 5 天每

天（用t 1 ，2，3，4，5 表示）前来接种的人数 y 的相关数据，如下表所示：

（1）根据表格，请利用线性回归模型拟合y 与t 的关系，求出y 关于t 的回归方程，并求出第 6 天前来接种人数的预报值；

（2）若用分层抽样的方法从第 2 天和第 4 天前来接种的人群中随机抽取 6 人作样本分析，并 打算对样本 6 人中的两人随机进行电话回访，则被回访的两人接种日期不同的概率是多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据xi , yi   i 1, 2, 3, , n ，其回归直线 x 的斜

xi yi  nxy             

率和截距的最小二乘估计分别为：  ，  y x

xi 2  nx2

1

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19 、（本小题满分 12 分）如图 4，在ABC 中，AB BC ，AB 3 ， BC 4 ，D 、E 分别为BC、AC 的中点．将CDE 沿DE 折起到 PDE 的位置，连接PA 、PB ，得到四棱锥P ABDE ．

（1）证明：平面PAB 平面PBD ；

（2）若PD BD ，F 为PB 的一个靠近点B 的三等分点，求三棱 锥P AEF 的体积.

（图 4）

20 、  （本小题满分 12 分）动圆P 与直线x 1 相切，点F(1,0) 在动圆上．

（1）求圆心P 的轨迹Q 的方程；

（2）过点F 作曲线Q 的两条互相垂直的弦 ， ，设 ， 的中点分别为 ， 求证：直 线必过定点．

21 、  （本小题满分 12 分）已知函数f(x) ex  x 1．

（1）求函数f(x) 的单调区间和极值；

（2）当x 0 时，求证： f(x) x 1 x2  cos x ．

请考生在第 22、23 题中任选一题作答.

22 、 (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程

       3 t2

在直角坐标系xOy 中，曲线 E 的参数方程为    1 t2      （t 为参数），以O 为极点，x 轴非负半

轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 （ R) ，l 交曲线 E 于点 A，B.

（1）求曲线 E 的极坐标方程；

（2）求| AB | .

23 、 (本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 若关于x 的不等式| x m | n 的解集为[ 6,2] .

（1）求实数m, n 的值；

（2）若实数y, z 满足| my z | , | y nz | ，求证： | z | .

西安中学高2022届高三第四次模拟考试

数学（文科）答案

13. 0或1 ;          14. 100 ；      15.  9          16.

17.(1)观察图象得：，令函数的周期为，则，，

由得：，而，于是得，

所以函数的解析式是：.

由解得：，

所以函数的单调递减区间是.

(2)由（1）知，当时，，则当，即时，

当，即时，，

所以函数在上的值域是.　

18.（1），

∴，

∴关于的线性回归方程为

当时，，∴第6天前来接种人数的预报值为63

（2）记第二天的2人为，，第4天的4人为，，，，所有基本事件为

，，，，，，，，，，，，，，，共十五种，两人来自不同日期的事件有8种∴.

19.(1)在中，D，E分别为BC，AC的中点，有，又，则，

在四棱锥P-ABDE中，，于是得，而，，平面PBD，因此，AB⊥平面PBD，又平面PAB，所以面PAB⊥平面PBD.

(2)  连接BE，如图，因，，平面ABDE，，则有PD⊥平面ABDE，  

即P到平面ABDE的距离，

显然，则  

，

依题意，，则，于是得

所以，三棱锥P-AEF的体积为.

20. 解：（1）设，根据题意，有，化简，得，
       即圆心的轨迹的方程为．

（2）由题意，知直线的斜率存在且不为．
设直线，，，
代入，得，所以．
因为是线段的中点，所以
因为，所以将点坐标中的换成，即得．
当，即时，直线
当时，直线，
整理，得，所以直线过定点．
综上所述，不论为何值，直线必过定点．

21. 解：（1）易知函数定义域为，
，，
令，解得，在上单调递增，
，解得，在上单调递减，
即的单调递增区间为，单调递减区间为，
函数的极小值为，没有极大值；
（2）要证，
即证，设，要证原不等式成立即证成立，
   ，，当且仅当，  时等号成立，
由知等号成立，
，在单调递增，．
当时，得证．

22. (1)，得：，代入中，得：

，由于，且，所以；

由，极坐标方程为．

(2)将直线的极坐标方程为代入，得

设点、对应的极径为，，则，

故.

23. 解：（1）由，得．

因为不等式的解集为，，

所以，所以，

所以实数，的值分别为2，4；

（2）证明：由（1）知，，

因为，，

所以，，所以．

因为，

所以，所以．