陕西省西安中学2022届高三第二次模拟考试数学（文）试题（含答案）

陕西省西安中学高2022届高三第二次模拟考试

文科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.

1. 若复数，则的虚部为

2. 矩形表示全集，大圆表示，小圆表示，则阴影表示集合

3. 已知直线与直线平行，则

3                        或3        5

4. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，则

1                               

5. 设，则的概率为(　　)

6. 若满足且，则

  有最小值，有最大值            无最小值，无最大值

有最小值，无最大值            有最大值，无最小值

7. 执行如下程序框图，若输入，则输出的值是

720          120          5040          1440 

8. 已知函数，下列结论中错误的是

的图像关于中心对称   在上单调递减
的图像关于对称          的最大值为1

9. 若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题中正确的有
，，，

，

，，

，

0个   1个     2个    3个 

10. 某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90,91)，[91,92)，[92,93)，[93,94)，[94,95)，[95,96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（   ）.

b＝0.25

长度落在区间[93,94)内的个数为35

长度的中位数一定落在区间[93,94)内

长度的众数一定落在区间[93,94)内

11. 双曲线左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于，若,则双曲线的渐近线方程为

12.  已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为

2  3  4  5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题纸相应位置.

13.  已知，，则______.
14.  下列式子：

，

，

，…

由此可推得，的值为______.

15. 中，的对边分别为，面积为，则＝________.
16. 已知正三棱柱的各条棱长均为1，则以其一个顶点为球心，1为半径的球面与正三棱柱各个面的交线的长度之和为________．

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入(亿元)和沙漠治理面积(万亩)的相关数据如下表所示：

(I)建立关于的线性回归方程；

(II)若保持以往的经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩．

参考公式：

，.

18.  (12分)已知数列满足.

(I)设，求证数列是等比数列；

 (II)设，求数列的前项和的最值.

19. (12分)如图，已知长方体中，E为AB上一点，且

(I)求证：平面平面；

(II)求三棱锥的体积．

20. (12分)椭圆右焦点为，且点在上．

(I)求椭圆的方程及离心率；

(II)过点的直线交椭圆于两点直线不与轴垂直，已知两点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．

21.  (12分)已知函数.

(I)求曲线在处的切线方程；

(II)讨论的单调性；

(III)若与图象有两个不同公共点，求的范围．

22. （10分）选修4-4:坐标系与参数方程：    

     在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

 (I) 写出直角坐标系下的标准方程和的直角坐标方程；

(II) 设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．

23.（10分）选修4-5:不等式选讲

     设函数，

(I) 当时，解不等式

(II) 若的解集为，，求的最小值．

陕西省西安中学高2022届高三第二次模拟考试

文科数学答案

13. -13 ;          14. 4950；      15.           16.

17.　(1)由已知数据和参考数据得＝＝3.5，＝＝42，

＝(－1.5)×(－16)＋(－0.5)×(－3)＋0.5×7＋1.5×12＝47，

2＝(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＝5，

＝＝＝9.4，＝－＝42－9.4×3.5＝9.1.

所以线性回归方程为＝9.4x＋9.1.

7分

(2由得，而，于是. 所以到2025年沙漠治理面积可突破100万亩．.

12分

18.由，可知，即，
由，可知，，
所以是以12为首项，4为公比的等比数列。

5分

由知，，

所以，所以，

所以，无最小值，最大值为

12分

19. 证明：在长方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以
因为，所以，所以∽，则
因为，所以，则
又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面

6分

解：由知平面，设AC与DE交于点F，连接，，
则
易知，
在矩形中，易知，
所以

12分

20. 由已知得解得
椭圆C的标准方程为，椭圆C的离心率

4分

证明：设，，则，
可设PB的直线方程为，联立方程
整理得，，
，，整理得，
，解得，
的直线方程为：，则直线PB恒过定点

12分

21.

所以，所求切线为,即.     

3分

因为，所以 
①当，，函数在上单调递增；
②当，令，得，
所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当，的单调递增区间为，的单调递减区间为

7分

(III)可知：方程，即有两个不同的实根，
由可得
令，因为时，，所以在上单调递增，
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以
①若，则，没有零点；
②若，则，当且仅当时取等号，只有一 个零点；
③若，则，，
令，则当时，，即在上单调递增，
所以，即
故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．
综上可知，实数a的取值范围是

12分

22. 曲线的参数方程为为参数，
移项后两边平方可得，所以的普通方程为；
曲线的极坐标方程为，即，
由，得，即的直角坐标方程为直线；

（2）由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，两平行线间的距离为的最小值，设与直线平行的直线方程为，
联立可得，由，解得，显然时，取得最小值，即有，
此时，解得，即为

23. 当时，不等式即为
即，整理得，解得或
所以原不等式的解集为；
证明：由得，从而，
的解集为，得，
又，，，
当且仅当，时，取等号，故，得证