安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二分层班下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

2021-2022学年度第二学期高二分层班期中考试卷

文科数学试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题  每小题5分， 满分60分）

1．德国著名的数学家高斯，在幼年时使用倒序相加法快速计算出的结果，由此得到启发，我们归纳了等差数列前n项和公式.若等差数列的前n项和为，且，，（，），则n的值是（       ）

A．12 B．14 C．15 D．16

2．已知数列中，，()，则（       ）

A． B． C． D．2

3．公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（       ）

A．16 B．28 C．32 D．64

4．等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于多少？（       ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

5．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（       ）

A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列

C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列

6．已知函数的导函数为且满足，则

A． B． C． D．

7．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（        ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，若，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

9．已知函数，则（　　）

A． B． C． D．

10．已知函数为偶函数，则的导函数的图象大致为(　　)

A． B．

C． D．

11．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（       ）

A． B． C． D．

12．定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．已知数列的前n项和为，则的值为______.

14．分形几何学又被称为“大自然的几何学”，是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，简单的说，分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为，则满足的最小正整数的值为______.（参考数据：，）

15．．如图函数F(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.

16．对于三次函数（）给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知等差数列的前n项和为，，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，其前n项和为，求．

18．（12分）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列，．

(1)求的通项公式；

(2)求的最小值．

19．（12分）设为数列{}的前n项和，且，．数列{}满足，．

(1)求数列{}的通项公式：

(2)设数列，求数列{}的前2n项和．

20．（12分）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

21．（12分）已知函数.

（1）若在上有极值，求的取值范围；

（2）求证：当时，过点只有一条直线与的图象相切.

22．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

参考答案

1．D  2．A  3．C  4．C  5．B  6．B  7．B  8．D  9．A  10．A 11．C 12．B

13．   14．9  15．-5   16．2020

17．(1)

(2)

【解析】

 (1)设等差数列的首项和公差分别为，则

，解得，，

所以．

(2)当且时，；当且时，．

所以当时，；

当时，．

综上所述，．

18．(1)

(2)

【解析】 (1)设等差数列的公差，且．

由成等比数列，得，即，

即，又，所以．

由，得，解得．

所以的通项公式为．

(2)由（1），得，

因为，所以当或时，有最小值为．

19．(1)；

(2).

【解析】

(1)解：由，

因为，

所以当时，，

得：，所以，当时，也适合，

因此；

(2)解：因为，

所以当时，，

两式相减得：，

由（1）可知：，所以，

当时，，也适合上式，

故；

所以，

因此

.

所以.

20．（1）1；（2）y＝x＋7．

【解析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，

于是直线AB的斜率k＝＝＝1．

（2）由y＝，得y′＝．

设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．

设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．

当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．

从而|AB|＝|x1－x2|＝．

由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，

解得m＝7．

所以直线AB的方程为y＝x＋7．

21．（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题意得：，

由得：，，

在上有极值，，解得：，

的取值范围为.

（2）设过点的直线与的图象切于点，

则切线斜率，

整理可得：，

若过点只有一条直线与的图象相切，则关于的方程有且仅有个实根，

设，则，

由得：，，

当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减，

，，

，，，即，

当时，，，又在上单调递增，

在上有唯一的实数根，

即当时，过点只有一条直线与的图象相切.

22．【解】(1)对求导得.所以有

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.

若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为

而，故所以区间上最大值为.

即相减得，即，又因为，所以无解.

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为

而，故所以区间上最大值为.

即相减得，解得，又因为，所以无解.

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为

即解得.

综上得或.