安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

2021-2022学年度第二学期期中考试卷

高三文科数学

本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．已知全集，若，，则

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知甲、乙两家企业年至月份的月收入情况统计如图所示，下列说法中不正确的是（ ）

A．甲企业的月收入比乙企业的月收入高

B．甲、乙两企业月收入差距的最大值在月份

C．甲、乙两企业月收入差距的平均值为万元

D．月份与月份相比，甲企业的月收入增长率比乙企业的月收入增长率低

4．已知，，，则

A． B． C． D．

5．设函数，设是公差为的等差数列，f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=，则（       ）

A． B． C． D．

6．函数在上的图象大致如下，则下列函数中哪个函数符合函数图象特征（       ）

A． B．

C． D．

7．将函数的图象向右平移个单位得到，下列关于的说法正确的是（       ）

A．是对称轴 B．在上单调递增

C．在上最大值为1 D．在上最小值为

8．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为

A．（x﹣5）2+y2＝16 B．x2+（y﹣5）2＝9

C．（x+5）2+y2＝16 D．x2+（y+5）2＝9

9．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（       ）

A． B． C． D．

10．已知某几何体的三视图单位：，如图所示，则此几何体的外接球的体积为　　

A．

B．

C．

D．

11．设，为椭圆的两焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（       ）

A． B． C． D．

12．已知偶函数满足，，且当时，，关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13．向量，，则＝________.

14．已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则___________

15．已知是直角斜边上一点，，，若的面积是面积的两倍，则__________.

16．已知数列与满足，且，则__________．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本题满分12分）党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位考察了甲､乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式加工的产品质量进行测试并打分对比，得到如下数据：

其中产品质量按测试指标可划分为：指标在区间上的为特优品，指标在区间上的为一等品，指标在区间上的为二等品．

（1）用事件表示“按照生产方式甲生产的产品为特优品”，估计的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断能否有的把握认为“特优品”与生产方式有关？

（3）根据打分结果对甲､乙两种生产方式进行优劣比较．

附表：

参考公式：，其中．

18．（本题满分12分）已知函数，．求：

（Ⅰ）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

（Ⅱ）函数的单调增区间．

19．（本题满分12分）如图所示，几何体中，是正三角形，，均与面垂直，且，点、分别在棱、上，满足，.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

20．（本题满分12分）已知抛物线过点

（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标与准线方程；

（2）直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于，两点，其中为坐标原点.若为线段的中点，求证：直线恒过定点.

21．（本题满分12分）已知函数（e为自然对数的底数）．

（1）求函数的值域；

（2）若不等式对任意恒成立，求k的取值范围．

22．（本题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求的普通方程，的直角坐标方程；

（2）判断曲线与圆的公共点个数．

23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）不等式的解集，求.

（2）若关于的方程有实数根，求实数的的取值范围.

参考答案

1．A

【解析】全集，，

.又，

.

故选A.

2．B

【解析】.

故选：B.

3．C

【解析】A项，由图可知甲企业月收入数据比乙企业月收入数据都高，∴正确，

B项，由图可知甲、乙两企业月收入差距如下：

显然差距的最大值在月份，为万元，正确，

C项，由上表可知，甲、乙两企业月收入差距的平均数为：

(万元)，不正确，

D项，月份与月份相比，甲企业与乙企业的月收入都增加了万元，

但甲企业月份的收入为万元，乙企业月份的收入为万元，

甲企业月收入的增长率比乙企业月收入的增长率低，正确，故选：C.

4．D

【解析】

本题选择D选项.

5．D

【解析】

由已知，

化简得

令

则

所以单调递增，由，则显然是其一个解，

所以有且只有一个解，则

所以

故选：D．

6．B

【解析】由于函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，

对于A，因为，所以为偶函数，所以排除A；

对于C，因为，所以为奇函数，因为，所以排除C，

对于D，因为，所以为偶函数，所以排除D；

对于B，因为，所以为奇函数，因为，所以B正确，

故选：B.

7．D

【解析】函数的图象向右平移个单位,得到的图象,

对于A,当时,,故A选项错误;

对于B,当时,,

则在区间上不单调,故B选项错误;

对于C,当,,

则在区间上的最大值为,故C选项错误;

对于D, 当,,

则在区间上的最小值为,故D选项正确;

故选:D.

8．A

【解析】设，由，得，

可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，

即x2﹣10x+y2+9＝0

整理得，故动点的轨迹方程为.选A.

9．A

【解析】由题意得，所以当时，有最大值，

所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为．故选：A.

10．A

【解析】该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为1．

将其可以补成一个长方体，长宽高分别为：2,2,1

则其外接球的半径为

所以外接球的体积是

故选A．

11．C

【解析】因为线段的中点在y轴上，

所以轴，，，

所以．故选：C

12．D

【解析】因为偶函数满足，

所以，即，

所以的周期为，且的图象关于直线对称，

由于上含有50个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，

关于的不等式在上有且只有个整数解，

所以每个周期有个整数解，

则关于的不等式在上有个整数解，

当时，，

令可得，令可得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，，

因为当时，，

所以当时，在上有4个整数解，不符合题意，

所以，

由可得或，

显然在上无整数解，

故而在上有3个整数解，因为

所以3个整数解分别为1，2，3，

所以，解得：，

所以实数的取值范围是，故选：D．

13．6

【解析】，，，

.

故答案为：6.

14．

【解析】为偶函数，为奇函数，

，

即，

解得；

复数、是方程的两个根，

解得，，；

已知，；则，，

同理可求，，，，归纳出有周期性且，

故答案为：．

15．

【解析】如下图，，设，则，

因为的面积是面积的两倍，所以，

故，，

在中，由余弦定理得，，解得，

又，所以，解得.

所以.故答案为：.

16．

【解析】由，

当,；

当,.

由，

令，得：,①

令，得：,②

①-②得：

.

从而得：，

，

……

.

上述个式子相加得：.

由①式可得：，得

.

所以.

故答案为.

17．（1）；（2）填表见解析，有关；（3）生产方式乙优于生产方式甲.

【解析】（1）按照生产方式甲生产的产品为特优品个数为50，参与打分产品个数为200，所以：

；

（2）填表如下：

，所以有的把握认为“特优品”与生产方式有关；

（3）生产方式甲生产的产品合格品的概率为，生产方式乙生产的产品合格品的概率为，生产方式乙生产的产品的质量指标值在之间的较多，因此，可以认为生产方式乙生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而生产方式乙优于生产方式甲.

18．（Ⅰ）取最大值；函数取得最大值时的自变量的集合为；（Ⅱ）单调增区间为．

【解析】（Ⅰ）

，

所以，当，即时，取最大值；

函数取得最大值时的自变量的集合为；

（Ⅱ）由题意得:

即：因此函数的单调增区间为．

19．（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）证明：取中点，连接，

因为，所以示中点

所以在中，，

因为平面，平面，

所以平面，

因为，均与面垂直，

所以，即，

因为，，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为，

所以平面平面，

因为平面，

所以平面.

（2）由（1）知平面，

所以，

因为是正三角形，且，，，

所以，，

所以

20．（1）抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线方程为（2）证明见解析；

【解析】（1）由抛物线过点，

得，所以抛物线的方程为，

其焦点坐标为，准线方程为.

（2）由题意知直线斜率存在且不为零，设直线方程为，直线与抛物线的交点为，.

由得，

由韦达定理，得，.

由已知得直线的方程为，所以，

由已知得直线方程为，所以.

因为是线段的中点，所以①，

将，，代入①式，并化简得，

把，代入②式，化简得

所以直线的方程为，故直线恒过定点.

21．（1）；

（2）.

【解析】（1）因为，

所以，

，，

，所以，

故函数在上单调递减，函数的最大值为；

的最小值为，

所以函数的值域为.

（2）原不等式可化为，任意恒成立．

因为恒成立，

当时，不等式恒成立，

当时，式可化简为

令，则，

1）当时，，

所以函数在上单调递增，故，

所以；

2）当时，令；得，

所以当时，；

当时，．

①当，即时，函数在单调递减，在单调递增，所以恒成立；

②当，即时，函数但上单调速减，

，解得.

即

综上所述：.

22．（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）1个

【解析】（1）曲线的参数方程为，

两式相除得，即，

代入上式可得，整理得，

所以曲线的普通方程为．

又圆的极坐标方程，

所以，

由，，，

得圆的直角坐标方程为，即．

（2）由曲线方程为，

可知曲线表示以，为端点的线段（不包含点），

因为，，

所以点在圆外部，点在圆内部，

所以曲线与圆的公共点个数为1．

23．（1）；（2）或..

【解析】（1），①

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴，

所以不等式的解集.

（2）由①易知，函数在上递减，在上递增，

当时，有最小值，即，.

由得

∴只要，解得或.