安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二（实验班）上学期期中考试数学（理）【试卷+答案】

这是一份安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二（实验班）上学期期中考试数学（理）【试卷+答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
育才学校2021-2022学年度第一学期期中考试高二实验班理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知两条直线，若与平行，则实数（    ）A． B．3 C．或3 D．2．在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．3．已知直线与圆没有公共点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．4．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（    ）A．1 B． C．﹣2 D．﹣15．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ）A． B． C． D．6．向量，，若，且，则的值为（    ）A． B．1 C． D．47．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点为C，D，则四边形的面积的最小值是（    ）A． B．4 C． D．88．如图，在边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点（包含端点C1），过点P作平面α分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝2CM＝2CN，则下列说法正确的是（    ）A．当点P与C1重合时，直线A1C与平面α的交点恰好是的重心B．存在点P，使得A1C⊥平面αC．点A1到平面α的距离最小为D．用过P，M，A三点的平面截正方体，所得截面与棱A1D1的交点随点P而改变9．设为实数，若直线与圆相交于，两点，且，则（    ）A．3 B． C．3或 D．或110．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（    ）A． B． C． D．11．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）A． B．C． D．12．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（    ）A． B．C． D． 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知，，则，夹角的余弦值______.14．已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为__________．15．已知两个圆，的方程分别为，，则，的公切线有________条．16．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线经过直线与直线的交点.（1）求过坐标原点与点的直线的斜率；（2）若直线与经过点，的直线平行，求直线的方程.18．（12分）已知圆经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求的中点的轨迹方程.19．（12分）（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示一条光线从点出发，经过直线反射后到达点，如图2所示.求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从到的入射和反射路径.（2）已知，直线的斜率小于，且经过点，与坐标轴交于，两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.20．（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，．底面，且（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，且椭圆上一点P，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，若椭圆C上存在点Q，使得四边形是平行四边形（其中O为坐标原点，点P在第一象限），求直线与的斜率之积：（3）记圆为椭圆C的“关联圆”．过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线的横、纵截距分别为m、n，求证：为定值．22．（12分）如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点.（1）求二面角的平面角的余弦值；（2）设是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度.
参考答案1．A【详解】由时，，解得或当时，，此时与重合，不满足条件.当时，，满足所以故选：A2．D【详解】由题意，建立如图的空间坐标系，底面为正方形，，，底面，点，， ， ， 则，，．异面直线与所成角的余弦值为．故选：．3．C【详解】圆即为．所以圆心为，半径为因为直线与圆没有公共点，所以直线与圆相离所以，解得．∴实数a的取值范围为故选：C4．A【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；当时，直线的斜率为：.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1.故选：A5．A【详解】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，对于A，，即，A是“对偶椭圆”；对于B，，即，B不是“对偶椭圆”；对于C，，即，C不是“对偶椭圆”；对于D，，即，D不是“对偶椭圆”.故选：A6．C【详解】因为向量，，所以，解得，所以向量，因为，所以，所以，所以的值为.故选：C.7．D【详解】由题意要使得四边形的面积最小，则需要切线长最小，由切线长公式知，只要使得圆心到直线上的点的距离最小，最小值为圆心到直线的距离，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以最小的切线长为，最小值．故选：D．8．C【详解】如图，以C为原点建立空间直角坐标系，设CP＝t，因此P（0，0，t），M（0，，0），N（，0，0），由此的重心为G（，，），，，当CP＝t＝1时，与（1，1，1)不平行，因此选项A错误；，从而对恒成立，因此PM不垂直CA1，从而选项B错误；，＝（2，2，1）为平面α的一个法向量，，因此点A1到平面α的距离d＝＝在（0，1）上为奇函数，因此（d）min＝．故C选项正确．设平面PMN与棱A1D1的交点为Q（1，q，1），则＝（（0，q﹣1，1），因为PM∥AQ，所以，从而﹣t（q﹣1）＝，解得q＝为定值，即点Q为棱A1D1上的定点，因此D选项错误，综上，只有C选项正确．故选：C．9．C【详解】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，由题意可得：，即，，结合点到直线距离公式有：，解得或.故选：C.10．C【详解】设，则直线的方程为，由，所以，设，则表示直线上的点与连线的距离之和，所以的最小值为.故选：C11．C【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，在△中，，∴，可得，即，则，∴椭圆的离心率，故选：C．12．A【详解】由题可知，△ABC的重心为，可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，联立方程可得△ABC的垂心为，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，故△ABC的欧拉线方程为.故选：A.13．【详解】因为，所以，，故答案为：14．【解析】设点关于直线的对称点的坐标为：，由题意可得：，解得：，据此可得点在椭圆上，设椭圆方程为，则：，解得：，据此可知椭圆的方程为.15．3【详解】由题意得圆，则，半径，圆，则，半径，，所以两圆外切，所以，的公切线有3条.故答案为：3.16．【详解】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由题意，，，，，，设，，∴，，，平面，∴，即，，解得线段的长为故答案为：17．（1）；（2）【详解】（1）联立方程，解得，故，.（2），故直线方程为：，即.18．（1）；（2）.【详解】（1）设圆心的坐标为，则有，整理求得，故圆心为，半径满足，则圆的方程为；（2）设线段中点，，由可知，，∵点在圆上运动，∴，∴的轨迹方程为.19．（1），作图答案见解析；（2）不存在最大值，最小值为.【详解】（1）设关于直线的对称点为，则，解得，，所以反射光线所在直线为，其方程为，即.故光线从到的入射和反射路径如图所示：（2）由题意可设直线.不妨假设在轴上，则，，则的面积，因为，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为.20．（1）取的三等分点，且，连结，，如图所示：又因为，所以．因为，所以，所以四边形是平行四边形．所以，又直线平面，平面，所以平面．（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，．，，设平面的法向量为，则，即.，，设平面的法向量为，则，即．所以，由图可知，二面角的余弦值为．21．【详解】（1）因为椭圆的左右焦点分别为，，所以，因为椭圆上一点P，满足，所以，解得，因为，所以，故椭圆C的标准方程.（2）因为四边形是平行四边形，所以且轴，因为轴，P、Q都在椭圆C上，所以P、Q两点关于轴对称，又因为，所以，代入椭圆C的方程，解得因为点P在第一象限，所以，则点的坐标为，同理可得点的坐标为，所以（3）证明：由（1）得椭圆C的方程为，圆O的方程为．由题意可知，，，所以四边形的外接圆是以为直径的圆．设，则四边形的外接圆方程为即所以 ，得直线的方程为令，则；令，则．所以因为点P在椭圆C上，所以，所以.22．（1）（2）（1）解：由题得.所以，所以是钝角.延长，过点作,垂足为，过点作,垂足为,连接,则是二面角的平面角.由题得，所以，所以,.所以二面角的平面角的余弦值为.（2）解：连接,以为原点，由题得,以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题得设即,因为所以令，令时，函数单调递增，时，，函数单调递减.所以当=时，取最大值，此时与所成的角最小，.