2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二分层班下学期期末数学（文）试题【含答案】

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二分层班下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知等差数列的前n项和为，则的值为（    ）

A．33 B．44 C．55 D．66

【答案】C

【分析】根据等差数列求和与通项公式求解即可.

【详解】是等差数列的前项和，

，

，解得，，

故选：C.

2．双曲线的焦点到渐近线的距离为

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线的标准方程，求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求焦点到渐近线的距离

【详解】双曲线焦点坐标，渐近线方程，所以焦点到渐近线的距离为，所以选择A项

【点睛】由双曲线的标准方程解决几何性质问题时，要根据先标准方程确定双曲线焦点所在位置，在解决渐近线，离心率等问题

3．有一机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出导函数，将代入导函数的解析式，化简即可得结果.

【详解】因为，

所以，

则，

所以机器人在时刻时的瞬时速度为，故选D.

【点睛】本题主要考查导数的实际应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.

4．已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则

A． B．

C．96 D．729

【答案】C

【分析】由等比数列的性质可得可得，又 ，即得和．

【详解】由等比数列的性质可得，所以．又因为与的等差中项为9，所以，设等比数列的公比为，则，所以，解得或．又因为，所以，故．故．故选C．

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的中项，等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．已知函数，则（    ）

A．4 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】首先根据换元法求出函数的表达式，再求出导函数即可求解.

【详解】令，则

，所以

，所以.

故选：C

【点睛】本题考查了换元法求解析式、求导，需熟记常见函数的导数公式，属于基础题.

6．已知抛物线，直线过点与抛物线交于两点，且，则直线倾斜角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析可知直线的斜率存在，且不为零，设方程为，与抛物线联立得到韦达定理形式，根据抛物线焦点弦长公式可求得，即，由同角三角函数关系可求得结果.

【详解】由题意可知，直线的斜率存在.

当直线的斜率为零时，为抛物线的焦点，则，不合题意；

直线的斜率存在，且不为零，

设直线的方程为，

由 消去得：，，

，解得：，

即，.

故选：D.

7．曲线：在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．

【详解】解：的导数为

所以曲线在点处的切线斜率为

即曲线：在点处的切线方程为 即为．

故选：A.

8．如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第一个正方形，依此类推，共作了个正方形，设这个正方形的面积之和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，分析可得这些正方形的面积组成以1为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的前n项公式分析可得答案．

【详解】根据题意，第一个正方形的边长为，其面积为，

再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，

依此类推每一个小正方形的面积都是前边正方形的面积的，

这些正方形的面积组成以1为首项, 为公比的等比数列，

则这5个正方形的面积和.

故选：B.

9．已知函数，则“”是“函数为增函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求出函数的导函数，利用导数与单调性的关系求出函数为增函数时参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：因为，所以，所以当时，函数在定义域上单调递增，因为，所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件，

故选：A

10．已知正项数列中，，，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，结合已知条件可求得数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得结果.

【详解】因为且，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，，

因为数列为正项数列，则，

则，

所以，数列的前项和为.

故选：C.

11．已知函数 ，若存在实数使函数有两个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将函数有两个零点，转化为函数 与 的图像有两个交点，作出函数的图像，结合函数图像，即可求出结果.

【详解】∵函数，有两个零点，

∴函数与 的图像有两个交点，

画出函数图像如图所示.

由，可得或.

结合函数的图像可知，当时，函数有两个零点，

则实数的取值范围是.

故选B.

【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，灵活运用转化与化归的思想，以及数形结合的思想即可，属于常考题型.

12．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】构造函数，用导数研究其单调性，再将不等式转化为，即求解.

【详解】因为满足，，

令，

则，

所以在R上是增函数，

又，则，

不等式可化为，

即，

所以，

所不等式的解集是，

故选：C

二、填空题

13．数列满足，，若数列恰为等比数列，则的值为________ .

【答案】1

【分析】由已知可得,从而可得数列是以2为公比的等比数列,可求.

【详解】，

，

数列是以2为公比的等比数列，故答案为1.

【点睛】本题主要考查了利用数列递推关系构造等比数列,属于基础试题

14．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】由题意知方程有两根，构造函数，可知直线与函数的图象有两个公共点，且两函数的图象均过点，考查直线与曲线相切于点这个临界位置，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.

【详解】函数的定义域为，且，

由，可得，构造函数，

则直线与函数的图象有两个公共点，

，令，得，列表如下：

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，函数取得最大值，即，且当时，.

易知，直线与函数的图象均过点，如下图所示：

考虑直线与曲线相切于点这个临界位置，此时.

即当时，直线与曲线相切于点，此时，直线与曲线有且只有一个公共点.

由图象可知，当且时，直线与曲线有两个公共点.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，一般转化为直线与函数图象的公共点问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

15．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚10尺，请问两只老鼠最少在第________天相遇．

【答案】4

【分析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造不等式求出的值.

【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

所以，即，

解得：且，

所以两只老鼠最少在第4天相遇.

故答案为.

【点睛】本题以数学文化为背景，建立等比数列模型进行问题解决，考查学生的数学建模能力、运算求解能力，考查不等式的求解，注意利用为整数的特点，直接求得不等式的解.

16．已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过，分别作抛物线的切线，，设，相交于点．则__________．

【答案】0

【分析】设，设AB的方程为，代入抛物线方程，根据韦达定理得到，再根据导数的几何意义得到切线、的斜率，相乘为，即可得到答案.

【详解】设，因为，

所以设AB的方程为，代入抛物线方程，得，

从而，

由，得，则，

则，

因此，即，

所以.

故答案为：0

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查了导数的几何意义，考查了向量的数量积，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

三、解答题

17．已知等差数列的公差不为0，且满足.

(1)求的通项公式；

(2)求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得，再利用等差数列的通项公式即得；

（2）利用裂项相消法可得，即证.

【详解】（1）设数列的公差为，由题可知

，解得，

∴，

故的通项公式为.

（2）∵，

∴，

记，

则

，

∴.

18．如图，在三棱柱中，⊥底面ABC，AB⊥AC.

(1)求证：AB⊥平面；

(2)若线段与的中点分别为E､F，求证：平面ABC；

(3)已知AB=3，AC=4，且异面直线与所成的角为45°，求三棱柱的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由已知可得，结合，得到平面；

（2）连接并延长，交AB的延长线于点G，连接CG，即可得到，从而得证；

（3）由异面直线与所成的角为，可得，再由已知结合棱柱体积公式求解．

【详解】（1）证明： 底面，平面，，

又，且，平面；

平面；

（2）证明：如图，连接并延长，交AB的延长线于点G，连接CG.

因为E是的中点，所以E是的中点；又因为F是的中点，所以.

因为平面，平面，所以平面.

（3）解：，为异面直线与所成的角为，即，

在中，可得，

．

19．已知数列满足，且．

（1）求为何值时，数列是等比数列；

（2）若数列是等比数列，求数列的通项公式．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）由等比数列定义构造恒等式，求得参数值；

（2）利用等比数列的通项公式求得．

【详解】（1）若数列是等比数列，

则（为非零常数），

即对于任意恒成立，

则，解得，

故当时，数列是等比数列．

（2）由（1），可知数列是公比为2的等比数列，且首项为，

所以，

所以．

20．已知函数在点处的切线为.

（1）求函数的解析式；

（2）是否存在，对任意，使得成立，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.（参考数据：，）

【答案】（1）；（2）存在，的最大值为8

【分析】（1）对函数求导，结合导数的几何意义，可得出，进而可求出，即可得出函数的解析式；

（2）由，不等式可转化为，

令，进而通过求导，判断函数的单调性，使得，进而可求出的最大值.

【详解】（1）将代入切线方程，可得，即，

又，

所以，解得，

所以.

（2）存在，理由如下：

由，不等式可转化为，

令，则，，

令，则，

所以在上单调递增，且，，

故存在唯一的，使得，即，

当时，，即，此时单调递减；

当时，，即，此时单调递增.

所以，即，

又因为，所以，

因为，所以的最大值为8.

所以存在满足题意的，的最大值为8.

【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，注意利用参变分离的方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.

21．已知抛物线经过点．

(1)求抛物线的方程；

(2)设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，的中点为，若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）待定系数法去求抛物线的方程；

（2）将直线的方程与抛物线方程联立，以设而不求的方法去求的面积．

【详解】（1）因为抛物线经过点．

所以，解得，所以抛物线的方程为．

（2）设，直线的方程为，

将直线的方程与抛物线方程联立，，

得，，．

所以，所以，

又抛物线的准线为，

所以，，

解得，．

则．

22．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；(2)利用导数判断函数的单调性，数形结合即可得到答案.

【详解】（1）由题意得，，则，又，

故所求切线方程为y＝－7．

（2）函数的定义域为，

由（1）知，，

注意到，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

∴在x＝1时取得极大值．

而，，

则，即．

作出函数在上的大致图象，

由题意只需y=a与y=f(x)有两个交点

观察图象可知，实数a的取值范围为．

【点睛】利用导数分析函数的单调性，结合单调性作函数的图象，利用函数图象研究方程的解是问题解决的关键.