2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二分层班下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二分层班下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．设数列的前n项和为，已知，，则（    ）

A．100 B．80 C．75 D．50

【答案】D

【分析】先由递推关系式得到数列的周期为4，再计算即可.

【详解】由题意得，，，，，，…，∴数列的周期为4，

∴．

故选：D．

2．若数列满足(，为常数)，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，且，则（    ）

A．15 B．20 C．25 D．30

【答案】B

【分析】根据给定定义可得数列是等差数列，再利用等差数列的性质计算作答.

【详解】因数列为“调和数列”，则，且为常数，因此数列是等差数列，

则有，解得，

所以.

故选：B

3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲得钱数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把给定问题转化为等差数列，列出首项、公差的方程组即可求解作答.

【详解】甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次记为，，，，，依题意是等差数列，设其公差为，

依题意有，即，解得，

所以甲得钱.

故选：C

4．数列，，，，，中，有序实数对是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据数列的概念，找到其中的规律即可求解.

【详解】由数列，，，，，

可知，，，，，

则，解得，故有序实数对是，

故选：．

5．设某厂2020年的产值为1，从2021年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从2021年起到2030年底，该厂这十年的总产值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件可得该厂从2021年起到2030年底的每一年的产值构成等比数列，借助等比数列前n项和公式即可计算作答.

【详解】依题意，该厂从2021年起到2030年底的每一年的产值构成等比数列，首项，公比，

于是得，

所以该厂这十年的总产值为.

故选：C

6．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是(    )

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】结合图像，利用导数的几何意义即可求解.

【详解】由图以及导数的几何意义可知，

在处的切线的斜率比在处的斜率大，且均为正数，

所以，

因为过此两点的割线的斜率为，

由图可知，，所以.

故选：B.

7．已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将所求不等式变形为，令，，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围.

【详解】当时，由，可得，

不等式两边同时除以可得，

即，

令，，其中，，

所以，函数在上为增函数，且，由，可得，

所以，对任意的，，即，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，解得.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：在求解有关x与的组合函数综合题时要把握三点：

（1）灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；

（2）把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；

（3）函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值.

8．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据图像和导数的几何意义即可判断得解.

【详解】从函数的图像可知，函数值的增长越来越快，故函数在该点的斜率也越来越大.

因为，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的变化率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.

9．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线垂直，则实数

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，求得函数在x=1处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率相乘等-1，解方程可得a．

【详解】解：的导数为，

可得曲线在点（1，ae+1）处的切线斜率为ae+2，

由切线与直线垂直可得

（ae+2）（）=-1，解得a＝．

故选C．

【点睛】本题考查导数在点处的切线的斜率的求法，同时考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．

10．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.

【详解】函数定义域为，求导得，

于是得函数的图象在点处切线的斜率，

而直线的斜率为，依题意，，即，解得，

所以.

故选：C

11．已知函数为偶函数，则的导函数的图象大致为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】分析：首先利用偶函数的性质求得实数a的值，然后求解的解析式，二次求导研究导函数的极值，利用极值点即可求得最终结果.

详解：函数为偶函数，则，

即：，

据此可得：，

函数的解析式为：，其导函数，

二阶导函数，在 递减，在 递增，在 递减，所以

函数的极大值为：，

观察所给的函数图象，只有A选项符合题意.

故选：A

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

12．定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据是上“双中值函数”，得到，

再对进行求导，根据题意得到在上有两个根，构造函数，转化为函数在上有两个零点，即可求解.

【详解】解： 是上“双中值函数”，

，

又，

，

即在上有两个根，

令，

其对称轴为：，

故，

解得：.

故选B．

【点睛】方法点睛：本题主要根据是上“双中值函数”，转化为在上有两个根，设出二次函数，根据二次函数的性质，列出条件，即可求解的范围.

二、填空题

13．已知数列的前n项和为，则的值为______.

【答案】##

【分析】由，得，化简后可得从第2项起，是以为公比，为首项的等比数列，从而可求出的值

【详解】由，得

，

所以，

所以，

因为，

所以从第2项起，是以为公比，为首项的等比数列，

所以

，

故答案为：

14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数b=__________.

【答案】.

【详解】设直线与曲线和曲线的切点分别为，.

∵直线是曲线的切线，也是曲线的切线

∴，即.

∴切线方程为，即为或，即为

∴，则

∴

故答案为.

点睛：本题以导数的几何意义为载体，解答本题的关键是根据两函数在交点处的切线相同得到关于切点坐标的方程组，根据得到的相等关系将问题转化为求参数即可．

15．分形几何学又被称为“大自然的几何学”，是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，简单的说，分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为，则满足的最小正整数的值为______.（参考数据：，）

【答案】9

【分析】先求出第个图形中线段的长度，第个图形中线段的条数，得到，根据等比数列求和公式求和后列出不等式求解即可得到答案.

【详解】由题易知每个图形中线段的长度相等.设第个图形中线段的长度为，则，

设第个图形中线段的条数为，则，

∴，则，

令，得，则，

即满足不等式的最小正整数的值为9.

故答案为：9

16．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为______．

【答案】

【分析】根据拐点的定义，令，解得，则，由拐点的性质可得结果.

【详解】∵函数，

∴，∴．

令，解得，且，

所以函数对称中心为，

故答案为．

【点睛】本题主要考查导数的运算，以及新定义问题，属于中档题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

三、解答题

17．已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式；

（2）应用裂项相消法，求的前项和即可.

【详解】（1）由题意，，解得，

∴.

（2）由，

∴.

18．设为数列{}的前n项和，且，．数列{}满足，．

(1)求数列{}的通项公式：

(2)设数列，求数列{}的前2n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据递推公式，结合数列前项和与第项之间的关系、等比数列的定义进行求解即可；

（2）根据递推公式，结合（1）中的结论进行求解得出，再根据平方差公式，结合等差数列前项和公式进行即可.

【详解】（1）解：由，

因为，

所以当时，，

得：，所以，当时，也适合，

因此；

（2）解：因为，

所以当时，，

两式相减得：，

由（1）可知：，所以，

当时，，也适合上式，

故；

所以，

因此

.

所以.

19．已知函数.

（1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程；

（2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程.

【答案】（1）；（2）与.

【分析】（1）求出在处的导数即为在点P(1，-2)处的切线斜率，代入点斜式方程化简则可求出切线方程；（2）根据函数方程设出切点，求得在切点处的导数，代入点斜式方程，因为过点P(2，2)，将点代入直线方程，可求出切点坐标，从而求出切线方程.

【详解】解：（1）由题意可知，则在处的切线斜率，

则在点P(1，-2)处的切线方程为：，即切线方程为：.

（2）因为，所以设切点为，斜率为

则所求切线方程为： ①

因为切线过点P(2，2)，所以有

解得：或

代入①化简可得切线方程为：或.

【点睛】方法点睛：

（1）求切线方程分为在点处的切线和过点处的切线，在点处的切线，直接求导得到切线的斜率，代入点斜式方程化简即可；

（2）过点处的切线，需设切点，求出在切点处的导数，然后写出点斜式方程，将所过的点代入直线方程，求解，然后重新代入化简可求出直线方程.

20．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．

【分析】（1）求导，对a分类讨论求解单调区间；（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解

【详解】解：（1）∵，∴

（1）当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是．

时，，∴单增，∴增区间是．

（2）当时，∵，∴，∴的减区间是．

（3）当时，∵，∴的减区间是．

（4）当时，，∴，∴的增区间是，

，，∴的减区间是．

（2），因为存在实数，使得不等式成立，∴

，∵，，，单减，，，∴单增．∴，．

∴，∴，∵，∴．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．

21．设等差数列的前n项和为，且，，

(1)求数列的通项公式：

(2)若数列满足，，求数列的前n项和为．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意得到方程组，解得和，即可求出数列的通项公式；

（2）根据，当时求出，当时，两式作差即可求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可；

【详解】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，由，，

则，解得，所以；

（2）解：因为，

当时，即，

当时，

所以，即，

当时也成立，所以，

所以，

，

所以

，

所以.

22．已知在函数（）的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．

（1）求的值和切线的方程；

（2）设曲线在任一点处的切线倾斜角为，求的取值范围．

【答案】（1）（2）或．

【详解】（1），由题意知，方程有两个相等的根，

∴，∴．

此时方程化为，得，

解得切点的纵坐标为，

∴切线的方程为，即．

（2）设曲线上任一点处的切线的斜率为（由题意知存在），

则由（1）知，

∴由正切函数的单调性可得的取值范围为或．