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    粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二节 简谐运动的描述导学案及答案

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    这是一份粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二节 简谐运动的描述导学案及答案,共10页。

    简谐运动的描述

     

     

    1.知道简谐运动的数学表达式,会通过简谐运动的表达式确定振幅、周期、频率等物理量。

    2.了解初相和相位差的概念,理解相位的物理意义。

    3.会根据图像分析各物理量的变化。

     

     

     

     

    知识点一 简谐运动的函数描述

    [知识梳理]

    1.振动曲线

    振子振动时位移时间关系的曲线。

    2.简谐运动的函数表达式:xA cos(ωtφ)

    3.角频率与周期或频率的关系:ω=2πf

    [初试小题]

    1.判断正误。

    (1)物体做简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关。 (×)

    (2)xAsin ωt中的A为振幅,是矢量。 (×)

    (3)简谐运动的位移表达式xAcos ωt中,ω是简谐运动的角频率。(√)

    (4)若简谐运动的表达式为x=5 coscm,则振动周期为0.25 s。(√)

    知识点二 简谐运动的图像描述

    [知识梳理]

    1.相位:简谐运动表达式xAcos (ωtφ)中的ωtφ叫作相位,是一个相对概念,与所选取的时间零点有关。

    2.初相位:t0时刻的相位φ叫作初相位,简称初相

    3.相位差:两个振子相位的差值叫相位差,是个绝对概念,表示两个频率相同简谐运动的振动先后关系,即Δφφ1φ2

    [初试小题]

    1.判断正误。

    (1)简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线。(√)

    (2)利用简谐运动的图像可知道其振动周期和振幅。(√)

    (3)相位反映了振动物体的振动步调。(√)

    (4)两个振动物体的相位相同,则其振动步调相反。(×)

    2.(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA=3cosm,物体B做简谐运动的振动方程是xB=5cosm。比较AB的运动可知(  )

    A.振幅是矢量,A的振幅是6 m,B的振幅是10 m

    B.周期是标量,AB周期相等,都为100 s

    C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB

    D.A的相位始终超前B的相位

    解析:选CD 振幅是标量,AB的振幅分别为3 m、5 m,A错误;AB的周期均为T s=6.28×10-2 s,B错误;因为TATB,故fAfB,C正确;ΔφφAφB,为定值,D正确。

     

     

     

    对简谐运动图像的理解及应用

    1.图像的意义

    图像反映了做简谐运动的质点位移随时间变化的规律,并不表示质点运动的轨迹。如弹簧振子运动的轨迹为直线,但其x­t图像是一条正弦(或余弦)曲线。

    2.由图像可以得出的量

    简谐运动的图像如图所示,由此可以得出:

    (1)由图像可以直接读取振幅A

    (2)由图像可以直接读取周期T,进而求出频率f

    (3)由图像可知质点在不同时刻的位移。

    (4)x­t图像上某一点的斜率表示该时刻的速度,斜率的绝对值为速度的大小,斜率的正负为速度的方向。所以,图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小,t1时刻速度方向为负,t2时刻速度方向也为负。

    (5)从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差。

    (6)由图像可以比较不同时刻质点加速度的大小和方向。例如,图中t1时刻振动的位移x1为正,则加速度a1为负,t2时刻x2为负,则加速度a2为正,又因为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|。

    [例题1] (多选)一质点做简谐运动,其相对于平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图所示,由此可知(  )

    A.质点振动的振幅是2 cm

    B.质点振动的频率是4 Hz

    C.t=2 s时质点的速度最大,且方向为负

    D.t=5 s时质点的加速度为零

    [解析] 由题图可知,振幅A=2 cm,周期T=4 s,频率f=0.25 Hz,A正确,B错误;t=2 s时质点在平衡位置,速度最大,t=3 s时质点到达负方向最大位移处,可判断t=2 s时质点在沿负方向运动,C正确;t=5 s时质点在最高点,离平衡位置最远,加速度最大,D错误。

    [答案] AC

    简谐运动图像的应用技巧

    (1)判断质点在任意时刻的位移大小和方向:质点在任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置的距离大小即可,也可比较图像中纵坐标值的大小。方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断。

    (2)判断质点在任意时刻的加速度大小和方向:由于加速度的大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反,所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可。

    (3)判断质点在任意时刻的速度大小和方向:x­t图像上该时刻图线切线的斜率表示此时的速度。斜率的绝对值为速度的大小,斜率的正负为速度的方向。    

    [针对训练]

    1.一质点做简谐运动,其位移—时间图像如图所示,由图像可知(  )

    A.t=1 s时,质点速度为正的最大值,加速度为零

    B.t=2 s时,质点速度为零,加速度为负的最大值

    C.t=3 s时,质点速度为正的最大值,加速度为零

    D.t=4 s时,质点速度为零,加速度为正的最大值

    解析:选C t=1 s时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为负,即速度为负,选项A错误;t=2 s时,位移为负的最大值,加速度为正的最大值,速度为零,选项B错误;t=3 s时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为正,即速度为正,选项C正确;t=4 s时,质点位移为正的最大值,加速度为负的最大值,速度为零,选项D错误。

    2.(2020·天津和平区期末)一质点做简谐运动,其振动图像如图所示,在0.3~0.4 s的时间内质点的运动情况是(  )

    A.沿x轴负方向运动,位移不断增大

    B.沿x轴正方向运动,速度不断减小

    C.动能不断增大,系统的势能不断减小

    D.动能不断减小,加速度不断减小

    解析:选B 由题图可知,在0.3~0.4 s时间内,质点正在由平衡位置向正向最大位移处运动,所以速度方向沿正方向,速度不断减小,动能减小,系统的势能在增大,由于位移增大,所以回复力增大,加速度也增大,故选项B正确。

    对简谐运动表达式的理解及应用

    1.简谐运动的表达式xAcos(ωtφ0)中各物理量的意义

    (1)x:表示振动质点相对于平衡位置的位移。

    (2)A:表示振幅,描述简谐运动振动的强弱。

    (3)ω:表示角频率,它与周期、频率的关系为ω=2πf。可见ωTf相当于一个量,描述的都是振动的快慢。

    (4)ωtφ0:表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。

    (5)φ0:表示t=0时振动质点所处的状态,称为初相位或初相。

    2.相位差的含义

    (1)相位差:某一时刻的相位之差。

    (2)设AB两物体简谐运动的表达式分别为:

    x1A1cos(ωtφ1),x2A2cos(ωtφ2)

    它们的相位差为Δφ=(ωtφ2)-(ωtφ1)=φ2φ1

    可见,其相位差恰好等于它们的初相之差,因为初相是确定的,所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。

    若Δφφ2φ1>0,则称B的相位比A的相位超前ΔφA的相位比B的相位落后Δφ;若Δφφ2φ1<0,则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|。

    [例题2] 一物体沿x轴做简谐运动,振幅为8 cm,频率为0.5 Hz,在t=0时,位移是4 cm,且向x轴负方向运动,试写出用正弦函数表示的振动方程,并画出相应的振动图像。

    [解析] 简谐运动的表达式为xAsin(ωtφ),根据题目所给条件得A=8 cm,ω=2πf=π,

    所以x=8sin(πtφ)cm,

    t=0、x0=4 cm代入得4=8sin φ

    解得初相位φφπ,

    因为t=0时,速度方向沿x轴负方向,即位移在减小,所以取φπ,

    所求的振动方程为x=8sincm,

    对应的振动图像如图所示。

    [答案] x=8sincm 振动图像见解析图

    [针对训练]

    1.(多选)某质点做简谐运动,其位移与时间的关系式为x=3coscm,则(  )

    A.质点的振幅为3 cm

    B.质点振动的周期为3 s

    C.质点振动的周期为 s

    D.t=0.75 s时刻,质点回到平衡位置

    解析:选AB 由x=3coscm可知,A=3 cm,ωT=3 s,故A、B正确,C错误;将t=0.75 s代入表达式中可得x=1 cm,故t=0.75 s时,质点不在平衡位置,D错误。

    2.AB两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。请根据图像完成下列问题:

    (1)A的振幅是________cm,周期是________s;B的振幅是________cm,周期是________s。

    (2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式为________。(用正弦函数表示)

    解析:(1)由题图知:A的振幅是0.5 cm,周期是0.4 s;B的振幅是0.2 cm,周期是0.8 s。

    (2)由题图知:A中振动的质点已振动了周期,φ=π,由T=0.4 s,得ω=5π,则简谐运动的表达式为xA=0.5 sin(5πt+π)cm。B中振动的质点在0时刻从平衡位置沿x轴正方向已振动了周期,φ,由T=0.8 s,得ω=2.5π,则简谐运动的表达式为xB=0.2sincm。

    答案:(1)0.5 0.4 0.2 0.8

    (2)xA=0.5sin(5πt+π)cm xB=0.2sincm

    简谐运动的多解问题

    1.周期性造成的多解问题:简谐运动是一种周期性的运动,其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化。因此,物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题。

    2.对称性造成的多解问题:由于简谐运动具有对称性,当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这种也形成多解问题。

    [例题3] (多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动,从振子通过O点时开始计时,振子第一次到达M点用了0.3 s,又经过0.2 s第二次通过M点,则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是(  )

    A. s      B. s

    C1.4 s D.1.6 s

    [解析] 假设弹簧振子在水平方向BC之间振动,如图1,若振子开始先向左振动,振子的振动周期为T×4 s= s,则振子第三次通过M点还要经过的时间是t s-0.2 s= s。如图2,若振子开始先向右振动,振子的振动周期为T=4×s=1.6 s,则振子第三次通过M点还要经过的时间是t=1.6 s-0.2 s=1.4 s。A、C正确。

    [答案] AC

    求解这类问题,要认真分析题意,画出振子运动的过程示意图,防止漏解,也可画出振子的x­t图像,根据图像分析求解。    

    [针对训练]

     (多选)(2020·河南鹤壁市淇县一中高二月考)在水平方向上振动的弹簧振子做简谐运动的周期为T,则(  )

    A.若在时间Δt内,弹力对振子做的功为零,则Δt一定是的整数倍

    B.若在时间Δt内,弹力对振子做的功为零,则Δt可能小于

    C.若在时间Δt内,弹簧振子的速度变化量为零,则Δt一定是T的整数倍

    D.若在时间Δt内,弹簧振子的速度变化量为零,则Δt可能小于

    解析:选BD 若在时间Δt内,弹簧的弹力对振子做的功为0,两个时刻振子可能经过同一位置,也可能经过关于平衡位置对称的位置,所以Δt不一定是的整数倍,也可能小于,故A错误,B正确;若在时间Δt内,要使振子在两个时刻速度相等,则Δt可能是T的整数倍,也可能振子经过关于平衡位置对称的位置,即可能小于,故C错误,D正确。


     

     

    1.某振子做简谐振动的图像如图所示,以下说法中正确的是(  )

    A.因为振动图像可由实验直接得到,所以图像就是振子实际运动的轨迹

    B.由图像可以直观地看出周期、振幅

    C.振子在B位置的位移就是曲线BC的长度

    D.振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向

    解析:选B 振动图像反映了振子位移随时间的变化情况,并不是振子的运动轨迹,所以不能说振子运动到B点时的速度方向为该点的切线方向,而是沿x轴负方向,A、D错误;由题图读出振幅A=4 cm,周期T=0.2 s,B正确;振子的位移等于图像的纵坐标,不是曲线的长度,C错误。

    2.关于描述简谐运动的物理量,下列说法正确的是(  )

    A.振幅等于四分之一个周期内路程的大小

    B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间

    C.一个全振动过程中,振子的位移大小等于振幅的四倍

    D.频率是50 Hz时,1 s内振动物体速度方向改变100次

    解析:选D 由于平衡位置附近速度较大,因此四分之一个周期内走过的路程不一定为振幅,A错误;周期指发生一次全振动所用的时间,B错误;一个全振动过程中,位移为零,C错误;一个周期内速度方向改变2次,频率为50 Hz时,1 s内速度方向改变100次,D正确。

    3.(多选)(2020·海南省新高考检测)如图所示,水平弹簧振子沿x轴在MN间做简谐运动,坐标原点O为振子的平衡位置,其振动方程为x=5sincm。下列说法正确的是(  )

    A.MN间距离为5 cm

    B.振子的运动周期是0.2 s

    C.t=0时,振子位于N

    D.t=0.05 s时,振子具有最大加速度

    解析:选BC MN间距离为2A=10 cm,选项A错误;由ω=10π rad/s可知,振子的运动周期T s=0.2 s,选项B正确;由x=5sincm可知t=0

    时,x=5 cm,即振子位于N点,选项C正确;由x=5sincm可知t=0.05 s时,x=0,此时振子在O点,振子加速度为零,选项D错误。

    4.假期出游已经成为一种时尚。如图所示,一位游客在千岛湖边欲乘坐游船,当日风浪很大,游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20 cm,周期为3.0 s。当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时,游客能舒服地登船。在一个周期内,游客能舒服地登船的时间是(  )

    A.0.5 s          B.0.75 s

    C.1.0 s D.1.5 s

    解析:选C 由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y=20sint cm=20sint cm,画出y­t图像,如图所示,能舒服登船的时间Δtt2t1,在一个周期内,当y=10 cm时,解得t1=0.25 s,t2=1.25 s,则Δtt2t1=1.25 s-0.25 s=1.0 s,正确答案为C。

    5.一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1=5sincm的规律振动。

    (1)求该系统振动的周期、频率、振幅和初相。

    (2)另一简谐运动的表达式为x2=5sincm,求它们的相位差。

    解析:(1)已知ω=8π rad/s,由ωT s,则f=4 Hz。由表达式可直接读出A=5 cm,φ1

    (2)由Δφφ2φ1得Δφπ-=π。

    答案:(1) s 4 Hz 5 cm  (2)π

     

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