粤教版 (2019)选择性必修 第一册第一节 简谐运动学案

简谐运动

1．了解机械振动的概念，知道弹簧振子是一种理想化模型。

2．知道振子的平衡位置、回复力、位移、振幅、周期、频率的概念和全振动的含义。

3．知道简谐运动的位移—时间图像是一条正弦曲线，以及图像的物理意义。

4．知道简谐运动的能量特征，会分析物理量的变化规律。

知识点一　认识简谐运动

[情境导学]

回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。下列几个振子的回复力各是由什么力来提供的呢？

提示：如图甲所示，水平方向上的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向上的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供。

[知识梳理]

1．机械振动：物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧做的往复运动。

2．弹簧振子

(1)概念：小球和弹簧穿在光滑的水平杆上，使其在杆上自由滑动，小球和杆之间的摩擦可以忽略，小球的运动可看作质点的运动，这样的系统称为弹簧振子。

(2)条件：

①弹簧的质量与小球的质量相比可以忽略。

②不计摩擦和空气阻力。

3．回复力

(1)定义：能使振子返回平衡位置的力，

(2)大小：回复力的大小跟振子偏离平衡位置的位移x的大小成正比，即F＝－kx。

(3)方向：指向平衡位置，总是跟振子偏离平衡位置的位移方向相反。

4．简谐运动

(1)定义：物体在跟离开平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动叫简谐运动，简谐运动的位移—时间函数是正弦或余弦函数。

(2)全振动：振子经历的一个完整振动过程叫一次全振动。

(3)描述简谐运动的物理量

①振幅：物体振动时离开平衡位置的最大距离。

②周期：物体完成一次全振动所需要的时间，符号T。

③频率：物体在一段时间内完成全振动的次数与所用时间之比，符号f。周期与频率的关系为f＝。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)振幅就是振子的位移。(×)

(2)平衡位置为振子能保持静止的位置。(×)

(3)机械振动是物体在平衡位置附近所做的往复运动。(√)

(4)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动。(×)

2．(多选)下列几种运动属于机械振动的是(　　)

A．乒乓球在地面上的上下运动

B．弹簧振子在竖直方向的上下运动

C．秋千在空中来回运动

D．浮于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动

解析：选BCD　机械振动是物体在平衡位置两侧做往复运动，乒乓球的上下运动不是在平衡位置两侧的往复运动，A错误，B、C、D正确。

3．思考题。

振子的位移—时间图像如图所示，振子的位移—时间图像就是振子的运动轨迹吗？

提示：图像描述的是振动物体的位移随时间的变化规律，并不是物体的运动轨迹。

知识点二　简谐运动的能量特征

[情境导学]

在水平弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？

提示：弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。

[知识梳理]

1．周期性往复运动：在回复力的作用下，振子振动过程中离开平衡位置的距离、加速度、速度、动能、弹性势能等在每个周期里完全重复。

2．平衡位置的物理量特点：位移、回复力、加速度和弹性势能为零，速度和动能最大。

3．最大振幅处的物理量特点：速度和动能为零，位移、回复力、加速度和弹性势能最大。

4．弹簧振子在振动过程中，系统的机械能守恒。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)在平衡位置振子的回复力为零。(√)

(2)每次经过平衡位置时，振子的速度都相同。(×)

(3)振子位移的方向与加速度的方向总是相反的。(√)

(4)弹簧振子在振动过程中，系统的机械能可能增大。(×)

2．(多选)如图所示，当振子由A向O运动时，下列说法中正确的是(　　)

A．振子的位移大小在减小 B．振子的运动方向向左

C．振子的动能在减小 D．弹簧的弹性势能在增大

解析：选AB　本题中位移的参考点应是O点，由于振子在O点的右侧由A向O运动，所以振子的位移方向向右，且大小在不断减小，振子运动方向向左，所以A、B正确，振子的速度、动能在增大，弹簧的弹性势能在减小，所以C、D错误。

3．一弹簧振子在振动过程中的某段时间内其加速度的数值越来越大，则在这段时间内(　　)

A．振子的速度逐渐增大

B．振子的位移逐渐增大

C．振子的动能在增大

D．振子的速度方向与加速度方向一致

解析：选B　振子的加速度不断增大，振子所受到的回复力增大，振子远离平衡位置向最大位移处运动，其动能在减小，C错误；振子远离平衡位置向最大位移处运动的过程中，振子的位移越来越大，加速度增大，速度方向与加速度方向相反，振子做减速运动，速度越来越小，故A、D错误，B正确。

1．构造：一根没有质量的弹簧的一端固定，另一端连接一个可视为质点的小球，如图所示。

2．振动系统看作弹簧振子的四个条件

(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)。

(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。

(3)忽略弹簧及小球与水平杆之间的摩擦力。

(4)弹簧被拉伸(压缩)的长度在弹性限度内。

3．对平衡位置的认识

(1)振子保持静止的位置，而不是速度为零的位置。

(2)振子在振动过程中速度最大的位置。

4．描述简谐运动的物理量

(1)振幅和位移的区别

①振幅等于最大位移的数值。

②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。

③位移是矢量，振幅是标量。

(2)路程与振幅的关系

①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。

②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。

③振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。

(3)一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。

[例题1]　如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：

(1)振子振动的振幅、周期和频率；

(2)振子由A到O的时间；

(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小。

[解析]　(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，

t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s。

由f＝得f＝5 Hz。

(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s。

(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm。振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm。5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。

[答案]　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s

(3)1 000 cm　10 cm

[针对训练]

1.(多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是(　　)

A．钢球运动所能达到的最低处为平衡位置

B．钢球原来静止时的位置为平衡位置

C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm

D．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm

解析：选BC　振子平衡位置的定义为振子原来静止时的位置，故A错误，B正确；振子的位移为从平衡位置指向某时刻所在位置的有向线段，据题意可判断C正确，D错误。

2.(多选)如图所示，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间的距离是10 cm，B→C的运动时间是1 s，则(　　)

A．振动周期是1 s，振幅是10 cm

B．从B→O→C振子做了一次全振动

C．经过两次全振动，振子通过的路程是40 cm

D．从B开始经过3 s，通过的路程是30 cm

解析：选CD　振子从B→C是半次全振动，故周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝OB＝＝5 cm，故A错误；从B→O→C→O→B是一次全振动，故B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4A，经过两次全振动，振子通过的路程是40 cm，故C正确；3 s时间内振子做次全振动，路程是s＝4A＋2A＝30 cm，故D正确。

1.变化规律

当物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F及加速度a、速度v、动能Ek、势能Ep、振动能量E遵循一定的变化规律，可列表如下：

2．两个转折点

(1)平衡位置是位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点。

(2)最大位移处是速度方向变化的转折点。

[例题2]　如图所示是个单摆在0～0.4 s时间内做简谐运动的图像，由图像可知(　　)

A．在0.25～0.3 s时间内，摆球受到的回复力越来越小

B．t＝0.7 s时刻，摆球的速度最大

C．摆球的动能和重力势能相互转化的周期为0.4 s

D．摆球的动能和重力势能相互转化的周期为0.2 s

[解析]　在0.25～0.3 s时间内，摆球的位移增大，受到的回复力越来越大，故A错误；由题图可知，该摆球的周期为0.4 s，且t＝0.3 s时刻质点位移最大，所以在0.7 s时刻质点的位移也是最大，速度为零，故B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动的周期的一半，所以摆球的动能和重力势能相互转化的周期为0.2 s，故C错误，D正确。

[答案]　D

简谐运动中各物理量变化的两种分析顺序

[针对训练]

1．(多选)弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧振子在平衡位置时它的机械能最大

B．弹簧振子在最大位移时它的弹性势能最大

C．弹簧振子从平衡位置到最大位移处它的动能减小

D．弹簧振子从最大位移处到平衡位置它的机械能减小

解析：选BC　弹簧振子做简谐运动时机械能守恒，因此A、D选项均错误；在最大位移处时，弹性势能最大，B选项正确；从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动，速度减小，动能减小，C选项正确。

2．(2019·北京四中高二上期中)关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法正确的是(　　)

A．位移减小时，加速度增大，速度增大

B．位移方向和加速度方向相反，和速度方向总相同

C．物体的速度增大时，加速度一定减小

D．物体向平衡位置运动时，速度方向和位移方向相同

解析：选C　位移x减小时，加速度a＝－也减小，振子靠近平衡位置，故速度增大，故A错误；位移方向总跟加速度方向相反，质点经过同一位置，位移方向总是由平衡位置指向质点所在位置，而速度方向有两种，可能与位移方向相同，也可能与位移方向相反，故B错误；物体的速度增大时，运动方向指向平衡位置，位移逐渐减小，所以加速度一定减小，故C正确；物体运动方向指向平衡位置时，位移方向背向平衡位置，速度方向跟位移方向相反，故D错误。

简谐运动是物体在平衡位置附近做的往复运动，其运动具有对称性的特点。

[例题3]　(多选)(2020·山东青岛期末检测)如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，

第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是(　　)

A．振子在M、N两点所受弹簧的弹力相同

B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移大小相同

C．振子在M、N两点的加速度大小相等

D．从M点到N点振子的动能先增大，后减小

[解析]　因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等、方向相反。由此可知，A错误，B正确。振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C正确。振子由M点到N点的过程中，其动能先增大后减小，故D正确。

[答案]　BCD

分析简谐运动应注意的问题

(1)位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同。

(2)回复力是变力，其大小、方向发生变化，加速度也随之发生变化。

(3)要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定物体可能的路径，从而确定各物理量及其变化情况。　　　　

[针对训练]

1．(多选)对于做简谐运动的弹簧振子，下述说法中正确的是(　　)

A．振子通过平衡位置时，速度最大

B．振子在最大位移处时，速度最大

C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同

D．振子连续两次通过同一位置时，速度相同

解析：选AC　振子经过平衡位置时速度最大，A正确；振子在最大位移处时速度最小，B错误；振子在同一位置相对于平衡位置的位移相同，C正确；速度是矢量，振子经过同一位置时速度的大小相同，方向不一定相同，D错误。

2.如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程是12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为(　　)

A．3 s、6 cm　　　　　 B．4 s、6 cm

C．4 s、9 cm D．2 s、8 cm

解析：选B　做简谐运动的质点，先后以相同的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O的时间与由O到N的时间相等，那么由平衡位置到N点的时间t1＝0.5 s。因通过N点后再经过1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位移处的时间t2＝0.5 s。因此，质点振动的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s。质点运动总路程的一半，即振幅，所以振幅A＝ cm＝6 m。故选B。

竖直方向的弹簧振子

如图所示，在弹簧下端挂一重物，上端固定在支架上，这就构成了竖直方向的弹簧振子。重物在竖直方向上受到弹力和重力的作用，这两个力的合力充当弹簧振子的回复力。当重物处于点O时，重力和弹力相互平衡，因此点O是弹簧振子的平衡位置。将重物向下拉一段距离，然后松手，重物便沿竖直方向振动起来。

假设重物所受的重力为G，弹簧的劲度系数为k，重物处于平衡位置时弹簧的伸长量为x1，则G＝kx1

设重物向下偏离平衡位置的位移为x时，弹簧的伸长量为x2，则x＝x2－x1

取竖直向下为正方向，则此时弹簧振子的回复力F＝G－kx2＝kx1－kx2＝－kx

所以，竖直方向的弹簧振子的运动是简谐运动。

[示例]　如图所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧的一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA＝mB＝m，剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为________。

[解析]　本题考查简谐运动的特点及对物体受力情况的分析，剪断细线前，对A、B整体，由力的平衡有弹簧对A的弹力F满足F＝2mg，此时弹簧的伸长量为Δx＝＝。

剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx′＝处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为，由简谐运动的对称性可知，当A振动到最高点时离平衡位置的距离也为，所以A振动到最高点时恰好在弹簧的原长处，此时弹簧对木箱的作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为Mg。

[答案]　Mg

1．下列振动中属于简谐运动的是(　　)

A．手拍篮球的运动

B．思考中的人来回走动

C．轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定组成的振动系统

D．从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动

解析：选C　手拍篮球的运动和思考中的人来回走动没有规律，不是简谐运动，故A、B错误；轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定组成振动系统，钢球以受力平衡处为平衡位置上下做简谐运动，C正确；从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动过程为自由落体运动，不是简谐运动，故D错误。

2．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)

A．振子所受的回复力逐渐减小

B．振子的位移逐渐增大

C．振子的速度逐渐减小

D．振子的加速度逐渐增大

解析：选A　回复力与位移成正比，在振子向着平衡位置运动的过程中回复力减小，A正确；振子的位移指由平衡位置指向振子所在位置的有向线段，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，B错误；振子向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大，C错误；回复力减小，由a＝可知，加速度也减小，D错误。

3．(多选)如图甲所示，质点在a、b两点之间做简谐运动，质点做简谐运动的图像如图乙所示。若t＝0时，质点正经过O点向b运动，则下列说法正确的是(　　)

A．质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动

B．质点在1.5 s时的位移最大

C．1.2～1.4 s，质点的位移在增大

D．1.6～1.8 s，质点的位移在增大

解析：选BC　由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向向右，且正在向平衡位置运动，所以A项错误；质点在1.5 s时的位移达到最大，故B项正确；在1.2～1.4 s，质点正在远离平衡位置，所以其位移在增加，故C项正确；1.6～1.8 s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移正在减小，故D项错误。

4．做简谐运动的弹簧振子的质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时，受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为(　　)

A．20 m/s2，向右　　　　 B．20 m/s2，向左

C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左

解析：选D　加速度方向指向平衡位置，因此方向向左。由力和位移的大小关系可知，当x＝40 cm时，F＝8 N，则a＝＝40 m/s2。

5.弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，如图所示，则(　　)

A．从O→B→O振子做了一次全振动

B．振动周期为2 s，振幅是10 cm

C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm

D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置

解析：选C　振子从O→B→O只完成半个全振动，A选项错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2 s，所以振动周期是4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10 cm，B选项错误；t＝6 s＝1T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C选项正确；从O开始经过3 s，振子处在位置A或B，D选项错误。