粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动第二节 简谐运动的描述导学案及答案
展开简谐运动的函数描述
1.振动曲线:振子振动时位移与时间关系的曲线.
2.函数表达式:x=A cs (ωt+φ).
3.角频率与周期或频率的关系:ω= eq \f(2π,T) =2πf.
简谐运动的图像描述
1.相位:ωt+φ,是一个相对概念,与所选取的时间零点有关.
2.初相位:φ,简称初相.
3.相位差:是个绝对概念,表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系,即Δφ=φ1-φ2.
核心素养
小试身手
1.如右图所示的是某质点做简谐运动的振动图像,下列说法正确的是( C )
A.振幅为0.2 cm
B.f=0.2 Hz
C.周期为0.2 s
D.0.2 s时刻的速度方向为正
解析:由图像可知A=0.2 m,A错误;T=0.2 s,f= eq \f(1,T) =5 Hz,B错误,C正确;t=0.2 s时速度方向为负,D错误.
2.(多选)有两个简谐运动,其表达式分别是x1=3sin (100πt+ eq \f(π,3) ) cm,x2=6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt+\f(π,4))) cm,下列说法正确的是( BC )
A.它们的振幅相同
B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定
D.它们的振动步调一致
解析:由简谐运动的公式可看出,它们的振幅分别为3 cm、6 cm,A错误;它们的频率均为ω=100π rad/s,则它们的周期T= eq \f(2π,ω) 也相同,B正确;它们的相位差Δφ= eq \f(π,3) - eq \f(π,4) = eq \f(π,12) 为定值,即相位差恒定,它们的振动步调不一致,C正确,D错误.
简谐运动表达式的理解
知识归纳
eq \a\vs4\al(,,,1.,)
2.从表达式x=A sin (ωt+φ)体会简谐运动的周期性.当Δφ=(ωt2+φ)-(ωt1+φ)=2nπ时,Δt= eq \f(2nπ,ω) =nT,振子位移相同,每经过周期T完成一次全振动.
3.从表达式x=A sin (ωt+φ)体会特殊点的值.当(ωt+φ)等于2nπ+ eq \f(π,2) 时,sin (ωt+φ)=1,即x=A;当(ωt+φ)等于2nπ+ eq \f(3π,2) 时,sin (ωt+φ)=-1,即x=-A;当(ωt+φ)等于nπ时,sin (ωt+φ)=0,即x=0.
【典例1】 有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了10次全振动.若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过 eq \f(1,4) 周期振子有负向最大位移.
(1)求振子的振幅和周期.
(2)画出该振子的位移—时间图像.
(3)写出振子的振动方程.
[核心点拨] (1)由B、C间的距离为20 cm,可求振幅.
(2)由振子在2 s内完成了10次全振动,可求周期.
答案:(1)10 cm 0.2 s (2)见解析图
(3)x=10sin (10πt+π) cm
解析:(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动,故振幅A=10 cm;振子在2 s内完成了10次全振动,故振子的周期T= eq \f(t,n) =0.2 s.
(2)
振子从平衡位置开始计时,故t=0时刻,位移是零,经过 eq \f(1,4) 周期振子的位移为负向最大,故其位移—时间图像如右图所示.
(3)由函数图像可知振子的振动方程为
x=10sin (10πt+π) cm.
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x=A sin (ωt+φ)解答简谐运动问题时,首先要明确表达式中各物理量的意义,找到各物理量对应的数值,根据ω= eq \f(2π,T) =2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系,有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题.
类题训练
1.(2024·江苏盐城高二校联考期中)如下图所示的是某弹簧振子做简谐运动的图像,则( A )
A.该振子的振动方程是x=4sin (0.25πt)cm
B.前6 s内该振子通过的路程是8 cm
C.t=6 s时质点的加速度为0
D.t=6 s时质点的动量最大
解析:由题图可知,振幅A=4 cm,周期T=8 s,则该振子的振动方程是x=4sin (0.25πt)cm,故A正确;前6 s内该振子通过的路程s= eq \f(t,T) ×4A=12 cm,故B错误;由题图可知,t=6 s时,质点处在负向最大位移处,则速度为0,动量为0,加速度最大,故C、D错误.
2.如下图所示的弹簧振子水平放置,忽略各种阻力时,它将在COB之间来回往复做简谐振动,其中O点为平衡位置,简谐振动的振幅为A,弹簧的劲度系数为k,原长为L,弹簧振子的周期为T,小球质量为m,且规定向右为位移的正方向.请由此判断下列说法正确的是( C )
A.从C到O,位移为负并且增大,从O到B,位移为正并且增大
B.从C到O,速度为负并且增大,从O到B,速度为正并且减小
C.t=0时刻,若小球在O点且正向右运动,则小球的位移时间关系为x=A sin eq \f(2πt,T)
D.t=0时刻,若小球刚好在B点,则小球的位移时间关系为x=A sin eq \f(2πt,T)
解析:简谐运动的位移是相对于平衡位置的位移.从C到O,位移向左,为负,并且减小;从O到B,位移为正并且增大,A错误.从C到O,靠近平衡位置,速度为正并且增大;从O到B,远离平衡位置,速度为正,并且减小,B错误.t=0时刻,若小球在O点且正向右运动,则小球的位移与时间关系为正弦函数关系,所以有x=A sin ωt,由角速度和周期关系 eq \f(2π,T) =ω,可得x=A sin eq \f(2πt,T) ,C正确.t=0时刻,若小球刚好在B点,则小球的位移与时间关系为余弦函数关系,结合C选项分析可得,x=A cs eq \f(2πt,T) ,D错误.故选C.
3.如图甲所示,弹簧振子以点O为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动.取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是( D )
A.t=0时,振子经过O点向左运动
B.t=0.5 s时,振子在O点右侧2.5 cm处
C.t=1.5 s和t=3.5 s时,振子的速度相同
D.t=10 s时,振子的动能最大
解析:t=0时,图像切线的斜率为正,说明振子的速度为正,故振子经过O点向右运动,A错误;在0~1 s内,振子做变速运动,不是匀速运动,所以t=0.5 s时,振子不在O点右侧2.5 cm处,B错误;由图像切线的斜率可知,在t=1.5 s时,斜率为负,说明振子的速度为负,在t=3.5 s时,斜率为正,说明振子的速度为正,故t=1.5 s和t=3.5 s时,振子的速度不相同,C错误;由题图乙可知,振子的周期为4 s,当t=10 s时,振子刚好在平衡位置,故振子的动能最大,D正确.故选D.
简谐运动的周期性和对称性
知识归纳
1.时间的对称.
(1)物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD.
(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,下图中tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO.
2.速度的对称.
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)时,速度大小相等,方向相反.
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.
3.位移的对称.
(1)物体经过同一点(如C点)时,位移相同.
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,位移大小相等、方向相反.
【典例2】 一竖直悬挂的弹簧振子,下端装有一记录笔,在竖直面内放置有一记录纸,当振子上下振动时,以速率v水平向左匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留下如下图所示的图像.记录笔与记录纸之间的摩擦和空气阻力都可忽略不计.y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的已知位置坐标,则( C )
A.振子平衡位置的纵坐标是y= eq \f(y1-y2,2)
B.该弹簧振子的振动周期为 eq \f(x0,v)
C.振子在坐标(x0,y2)位置时加速度最大
D.匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍,振子振动的周期变为原来的 eq \f(1,2)
[核心点拨] 振子相对平衡位置对称运动;距离平衡位置相等处,加速度等大、反向.
解析:根据简谐振动对称性可知,振子平衡位置纵坐标为y= eq \f(y1+y2,2) ,故A错误;由图像可知,振子在一个周期内沿x方向的位移为2x0,水平速度为v,则振子的周期t= eq \f(2x0,v) ,故B错误;由题图可知,振子在坐标(x0,y2)位置时处于最大位移处,则回复力最大,由牛顿第二定律知加速度最大,故C正确;弹簧振子的周期只与弹簧振子本身有关系,匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍,则一个周期内纸带沿x轴负方向的位移增大为原来的2倍,弹簧振子的周期不变,故D错误.
判断一个振动为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断,具体方法总结如下:
(1)通过对位移的分析,列出位移—时间表达式,利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断.
(2)对物体进行受力分析,求解物体所受力在振动方向上的合力,利用物体所受到的回复力是否满足F=-kx进行判断.
(3)根据运动学知识,分析求解振动物体的加速度,利用简谐运动的运动学特征a=- eq \f(k,m) x进行判断.
类题训练
4.一质点做简谐运动,它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M,再经0.2 s第二次到达M点,则其振动频率为( D )
A.0.4 Hz B.0.8 Hz
C.2.5 Hz D.1.25 Hz
解析:由题意知,从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s,故完成一个全振动的时间T=0.3 s+0.2 s+0.3 s=0.8 s,故频率f= eq \f(1,T) =1.25 Hz,D正确.
5.如右图所示,一质点做简谐运动,O点为平衡位置,
该质点先、后以相同的速度依次通过M、N两点,历时1 s,质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点,在这2 s内质点通过的总路程为12 cm,则质点的振动周期和振幅分别为( B )
A.3 s、6 cm B.4 s、6 cm
C.4 s、9 cm D.2 s、8 cm
解析:做简谐运动的质点,先、后以同样的速度通过M、N两点,则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称,所以质点由M点到O点的时间与由O点到N点的时间相等,那么由平衡位置O点到N点的时间t1=0.5 s,因通过N点后再经过t=1.0 s,质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点,则有从N点到最大位置的时间t2=0.5 s,因此,质点振动的周期T=4×(t1+t2)=4 s,这2 s内质点通过的总路程的一半即为振幅,所以振幅A= eq \f(12 cm,2) =6 cm.
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课时评价作业
A级 基础巩固
1.质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系曲线如下图所示,由图像可知( C )
A.振幅为4 cm,频率为0.25 Hz
B.t=1 s时速度为零,但质点所受合外力最大
C.t=2 s时质点具有正方向最大加速度
D.该质点的振动方程为x=2cs πt cm
解析:由题图可知,质点的振幅A=2 cm,周期T=4 s,频率f=0.25 Hz,故A错误;t=1 s时质点位于平衡位置,此时质点的速度最大,所受合外力为零,故B错误;t=2 s时质点位于负向最大位移处,此时质点具有正方向最大加速度,故C正确;该质点振动的角频率ω= eq \f(2π,T) = eq \f(π,2) rad/s,振动方程为x=2cs eq \f(πt,2) cm,故D错误.
2.(多选)某质点做简谐运动,其位移与时间的关系式为x=3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t+\f(π,2))) cm,则( ABD )
A.质点的振幅为3 cm
B.质点振动的周期为3 s
C.质点振动的周期为 eq \f(2π,3) s
D.t=0.75 s时刻,质点回到平衡位置
解析:由x=3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t+\f(π,2))) cm可知,A=3 cm,ω= eq \f(2π,3) ,T= eq \f(2π,ω) =3 s,A、B正确,C错误;将t=0.75 s代入表达式中可得x=0,故t=0.75 s时,质点回到平衡位置,D正确.
3.有一弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的振动方程是( A )
A.x=8×10-3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt+\f(π,2))) m
B.x=8×10-3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt-\f(π,2))) m
C.x=8×10-1sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt+\f(3π,2))) m
D.x=8×10-1sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t+\f(π,2))) m
解析:由题意知,A=0.8 cm=8×10-3 m,T=0.5 s,ω= eq \f(2π,T) =4π.t=0时,弹簧振子具有负方向的最大加速度,即t=0时,x=A=8×10-3 m,故A正确.
4.光滑的水平面上放有质量分别为m和 eq \f(1,2) m的两木块,下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连,弹簧的另一端固定在墙上,如右图所示.已知两木块之间的最大静摩擦力为f,为使这两个木块组成的系统能像一个整体一样地振动,系统的最大振幅为( C )
A. eq \f(f,k) B. eq \f(2f,k)
C. eq \f(3f,k) D. eq \f(4f,k)
解析:f=0.5ma,kA=1.5ma,由以上两式解得A= eq \f(3f,k) ,故C正确.
5.(2024·江苏苏州月考)一水平弹簧振子做简谐运动,其位移与时间的关系如下图所示.求:
(1)写出该简谐运动的表达式;
(2)振子在前3.6 s内通过的路程.
答案:(1)x=2sin ( eq \f(5,2) πt)cm (2)36 cm
解析:(1)由图像可知振幅A=2 cm,周期T=0.8 s,则
ω= eq \f(2π,T) = eq \f(2π,0.8) rad/s= eq \f(5π,2) rad/s,
由简谐运动表达式x=A sin ωt,可得x=2sin ( eq \f(5,2) πt)cm.
(2)在前3.6 s内,经过的周期数n= eq \f(t,T) = eq \f(3.6 s,0.8 s) =4.5,
则在前3.6 s内,振子通过的路程
s=4×4A+2A=18A=18×2 cm=36 cm.
B级 能力提升
6.(多选)甲、乙两个相同的弹簧振子的振动图像如下图所示,它们偏离平衡位置的最大距离不同.已知弹簧劲度系数都是k,弹性势能公式为E弹= eq \f(1,2) kx2,下列说法正确的是( AB )
A.甲的振动能量是乙的4倍
B.甲的振动频率是乙的2倍
C.乙的振动周期是甲的 eq \f(1,2) 倍
D.两弹簧振子所受回复力最大值之比为1∶2
解析:甲、乙两振子振动的振幅之比为2∶1,根据Ep= eq \f(1,2) kA2可知,甲、乙振动的能量之比为4∶1,A正确;由振动图像可知,乙的周期是甲的周期的2倍,则甲的振动频率是乙的2倍,B正确,C错误;根据回复力F=-kx可知,甲、乙两弹簧振子所受回复力最大值之比为2∶1,D错误.故选AB.
7.(多选)如下图所示,弹簧振子在B、C间振动,O为平衡位置.BO=OC=6 cm,若振子从B到C的运动时间是1 s,则下列说法正确的是( AD )
A.振动周期是2 s,振幅是6 cm
B.振子从B经O运动到C完成一次全振动
C.经过两次全振动,振子通过的路程是30 cm
D.从B开始经过3 s,振子通过的路程是36 cm
解析:振子从B经O到C,再从C经O回到B为一次全振动,根据对称性可知,C回到B的时间也为1 s,所以振动周期是2 s,而振幅为6 cm,故A正确,B错误;由于振幅是6 cm,则经过两次全振动,振子通过的路程s=8×6 cm=48 cm,故C错误;由于振幅是6 cm,则从B开始经过3 s,为1.5个周期,振子通过的路程s=6×6 cm=36 cm,故D正确.故选AD.
8.一个小球和轻质弹簧组成的系统,按x1=5sin (8πt+ eq \f(1,4) π) cm的规律振动.
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相;
(2)另一简谐运动表达式为x2=5sin (8πt+1.5π) cm,求它们的相位差.
答案:(1)0.25 s 4 Hz 5 cm eq \f(π,4) (2)-1.25π
解析:(1)根据振动方程知该振动的角频率ω=8π rad/s,振幅为5 cm,初相是 eq \f(π,4) ,则周期T= eq \f(2π,ω) =0.25 s,频率f= eq \f(1,T) =4 Hz.
(2)x1与x2的相位差Δφ=(8πt+ eq \f(π,4) )-(8πt+1.5π)=-1.25π.
C级 拓展创新
9.(2024·广东广州市第二中学校考期末)如下图所示,竖直轻弹簧固定在水平地面上,质量为m的木块放置在弹簧上并处于静止状态.现用力将木块向下缓慢压一段距离,松手后木块将上下振动.已知木块恰好没有离开弹簧,连续两次通过平衡位置的时间间隔为t0,重力加速度为g,弹簧劲度系数为k,不计空气阻力,下列说法正确的是( C )
A.木块做简谐运动,其振幅为 eq \f(2mg,k)
B.木块做简谐运动的周期为t0
C.木块在最低点的加速度大小为g
D.若木块下压距离比原来小,则其运动周期也减小
解析:木块处于平衡位置时,设弹簧的压缩量为x0,根据受力平衡可得kx0=mg,解得x0= eq \f(mg,k) ,假设木块的压缩量为x0+x时,此时木块受到的合力方向指向平衡位置,大小为k(x0+x)-mg=kx,可知木块做简谐运动,已知木块恰好没有离开弹簧,说明木块处于最高点时弹簧刚好处于原长,可知木块做简谐运动的振幅为 eq \f(mg,k) ,A错误;已知木块连续两次通过平衡位置的时间间隔为t0,可知木块做简谐运动的周期为2t0,B错误;木块在最高点时,弹簧刚好处于原长,此时木块的加速度大小a= eq \f(mg,m) =g,根据对称性可知木块在最低点的加速度大小为g,C正确;根据弹簧振子周期公式T=2π eq \r(\f(m,k)) ,可知木块下压距离比原来小,其运动周期不变,D错误.
10.(2024·广东佛山校考)如下图所示,倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上,斜面顶端与劲度系数为k,自然长度为L的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块.压缩弹簧使其长度为 eq \f(3,4) L时将物块由静止开始释放,物块开始做简谐运动,且弹簧始终在弹性限度内,斜面体始终处于静止状态,重力加速度为g.
(1)判断弹簧原长的位置是否为平衡位置?如果是,说明理由.如果不是,请说明并推导出平衡位置时弹簧的形变量Δx.
(2)求出该振子的振幅和加速度的最大值.
答案:(1)不是 eq \f(mg sin α,k) (2) eq \f(1,4) L+ eq \f(mg sin α,k) g sin α+ eq \f(kL,4m)
解析:(1)弹簧原长的位置不是平衡位置,物块处于平衡位置时合力为零,物块做简谐运动的条件是F=-kx.
设物块在斜面上平衡时,弹簧伸长量为Δx,有
mgsin α-kΔx=0,
解得Δx= eq \f(mg sin α,k) .
(2)平衡位置时弹簧的长度L′=L+Δx=L+ eq \f(mg sin α,k) ,
物块的振幅A=L′- eq \f(3,4) L= eq \f(1,4) L+ eq \f(mg sin α,k) ,
初始位置时,加速度最大,mg sin α+k(L- eq \f(3,4) L)=ma,
解得a=g sin α+ eq \f(kL,4m) .学 习 目 标
物 理 与 STSE
1.知道简谐运动的数学表达式.
2.了解初相和相位差的概念,理解相位的物理意义.
3.根据图像和表达式会求各物理量的变化.
eq \a\vs4\al(手摸喇叭的发音,纸盆会感到它会,振动,声音越大,,振动越剧烈) eq \a\vs4\al(在波浪中上下,振动的小船可,视为简谐振动)
物理观念
简谐运动的表达式、相位和相位差
科学思维
利用数学手段描述物理问题,培养学生数理结合能力
科学探究
引导学生通过匀速圆周运动推导出简谐运动的表达式,培养学生合作探究的能力
科学态度
与责任
利用数据说明事实,培养学生实事求是的态度,进一步联系实际,激发学生学习物理的兴趣
高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二节 简谐运动的描述导学案: 这是一份高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二节 简谐运动的描述导学案,共21页。
高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动2 简谐运动的描述导学案: 这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动2 简谐运动的描述导学案,共9页。学案主要包含了学习目标,思维脉络等内容,欢迎下载使用。
高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册2 简谐运动的描述导学案: 这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册2 简谐运动的描述导学案,共15页。学案主要包含了描述简谐运动的物理量,简谐运动的表达式等内容,欢迎下载使用。