人教版17.2 勾股定理的逆定理课时作业

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17.2 勾股定理的逆定理
基础对点练
知识点1 勾股定理的逆定理
1下列各组数中，不能够作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．1，2，3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、因为 ，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、因为 ，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、因为 ，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、因为 ，所以不能够作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
2.在中，若，则下列结论正确的是（　　　　）
A． B．
C．是锐角三角形 D．是钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】
∵AC，BC，AB=3，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的应用，确定谁是直角很关键．
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中的假命题是（     ）
A．如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2=b2-a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果（c+a）（c-a）=b2，则△ABC是直角三角形
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形内角和可对A、D选项进行判断；根据勾股定理的逆定理可对B、C选项进行判断．
【详解】
解：A、因为∠C-∠B=∠A，即∠A+∠B=∠C，∠A+∠B=180°-∠C，所以∠C=90°，则△ABC是直角三角形，所以A选项为真命题；
B、因为c2=b2-a2，即c2+a2=b2，则△ABC是直角三角形，且∠B=90°，所以B选项为假命题；
C、因为（c+a）（c-a）=b2，即c2=a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°，所以C选项为真命题；
D、因为∠A：∠B：∠C=5：2：3，所以∠A=×180°=90°，则△ABC是直角三角形，所以D选项为真命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4.在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（       ）
A．a=32，b=42，c=52 B．a=4，b=5，c=6
C．a=9，b=12，c=15 D．a：b：c=1：1：2
【答案】C
【解析】
【分析】
依据勾股定理的逆定理进行判断即可．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】
解：A、因为（32）2+（42）2≠（52）2，所以不能组成直角三角形，不合题意；
B、因为42+52≠62，所以不能组成直角三角形，不合题意；
C、因为92+122=152，所以能组成直角三角形，符合题意；
D、因为12+12≠22，所以不能组成直角三角形，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

5.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．
【答案】
【解析】
【分析】
设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．
【详解】
解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．
6.一个三角形的三边长，，满足，则这个三角形最长边上的高为 。
【答案】
7.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求CD的长

【答案】9
【解析】
【分析】
（1）逆用勾股定理即可正确作答.
            （2）在RT△ADC，应用勾股定理即可求解.
【详解】
(1)证明：∵122=144，52=25，132=169
∴52+122=132
即BD2+AD2=AB2
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
(2)解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
在RT△ADC中
CD2=AC2-AD2
CD=
CD=9
∴CD的长为9
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．灵活应用勾股定理是解决一些实际问题的关键.

知识点2 勾股数
8下列几组数中，为勾股数的是（　　）
A．，， B．3，4，6 C．5，12，13 D．0.9，1.2，1.5
【答案】C
【解析】
【分析】
可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据这个概念进行判断即可.
【详解】
A：，，不是整数，故其不为勾股数；
B：，故其不为勾股数；
C：，故其为勾股数；
D：0.9，1.2，1.5不是整数，故其不为勾股数.
故选:C.
【点睛】
考查勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键.
9.以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（       ）
A． B．6，8，10 C． D．2，3，4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：A、，，7≠5，故此选项错误；
B、，，且100=100，故此选项正确；
C、，，3=3，，不是整数，故此选项错误；
D、，，13≠16，故此选项错误．
故答案为：B．
【点睛】
此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足．

10.将勾股数3，4，5扩大到原来的2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出另外两组基本勾股数：________，________．
【答案】5，12，13；7，24，25
【解析】答案不唯一，只要满足题意即可．

知识点3 互逆命题与互逆定理的认识

11.写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的逆命题是否成立。
（1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）等腰三角形两腰上的高线相等；
（3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足；
（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
（5）全等三角形的面积相等．
【答案】
（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题；
（2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
（3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足，逆命题是若三条线段满足，则这三条线段是三角形的三边，是假命题；
（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题；
（5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；
12.下列定理中，没有逆定理的是（       ）．
A．两直线平行，同旁内角互补
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．等腰三角形两个底角相等
D．同角的余角相等
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题．
【详解】
解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；
B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；
C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；
D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．

能力达标练

13.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的(     )．
A．1∶1∶2 B．1∶3∶4 C．9∶25∶26 D．25∶144∶169
【答案】C
【解析】
【详解】
试题解析：∵1+1=2，1+3=4，9+25=34≠36，25+144=169．
∴其中不是直角三角形的是9：25：36．
故选C．

14.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为，若公园到超市的距离为，则公园在医院的（       ）

A．北偏东70°方向 B．北偏东60°方向
C．北偏东50°方向 D．无法确定
【答案】B
【解析】
【详解】
如解图，在中，，．超市在医院的南偏东方向，．公园在医院的北偏东方向．



15.如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数 ．　
【详解】
解：如图，连结AC，


由题意可得：

∴AC=BC，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
故选A ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．
16.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）．

A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
【答案】B
【解析】
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13，CF2=4．
因为，，，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理是解答此题的关键．

17.有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】
解：∵72=49，242=576，202=400，152=225，252=625，
∴72+242=252，152+202≠242，152+202=252，
∴A错误，B错误，C错误，D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）


A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理证明∠D是直角，结合BD=CD得∠DBC=45°，从而得到∠ABC．
【详解】
如图，延长射线AB交格点于点D，


∵每个小正方形的边长为1
∴，
∵
∴∠D=90°
又∵BD=CD
∴△BCD是等腰直角三角形
∴∠DBC=45°
∴∠ABC=180°－∠DBC =180°－45°=135°
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理证明∠D是直角是解决本题的关键．

19.已知BD为△ABC的中线，AB=10，AD=6，BD=8，△ABC的周长是______．

【答案】32
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形且AD⊥BD，结合等腰三角形的“三线合一”性质推知AB=BC，由三角形的周长公式解答即可．
【详解】

解：∵AB=10，AD=6，BD=8，
∴AB2=AD2+BD2=100，
∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．
又BD为△ABC的中线，
∴AB=BC=10，AD=CD=6．
∴△ABC的周长=AB+BC+AD=2AB+2AD=20+12=32．
故答案是：32．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20.已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为______三角形.
【答案】直角
【解析】
【详解】
根据已知：a+b=10，ab=18，c=8，可求（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，和c2=64，因此可得到a2+b2=c2，然后根据勾股定理可知此三角形是直角三角形．
故答案为直角．

21.若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角形的三边上的高之比为__________．
【答案】20：15：12．
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式求出斜边上的高，然后计算即可．
【详解】
解：设三角形的三边分别为3x、4x、5x，
∵（3x）2＋（4x）2＝25x2＝（5x）2，
∴这个三角形是直角三角形，
设斜边上的高为h，
则×3x×4x＝×5x×h，
解得，h＝，
则这个三角形的三边上的高之比＝4x：3x：＝20：15：12，
故答案为20：15：12．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

22.已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2，c＝；
(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；
(4)a＝5，b＝2，c＝1.
【答案】(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）（2）（3）（4）首先求得每条边的长的平方，判断是否满足两个的和等于第三边的和即可判断．
试题解析：（1）∵a=，b=2，c=，
∴a2=3，b2=8，c2=5，
∵3+5=8，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°；
（2）∵a=5，b=7，c=9，
∴a2=25，b2=49，c2=81．
∵25+49=74≠81，
∴此三角形不是直角三角形；
（3）∵a=2，b=，c=，
∴a2=4，b2=3，c2=7．
∵4+3=7，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；
（4）∵a=5，b=2，c=1，
∴a2=25，b2=24，c2=1．
∵24+1=25，
∴b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°．
23.如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.

【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°
【详解】

证明：连接AC.
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理,得AC2=202+152=625
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2
∴∠D=90°，
∴∠A+∠C=360°−180°=180°
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多边形内角与外角，借助辅助线方法是解决本题的关键
24.如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米．

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）是，见解析；（2）千米
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）是；
理由是：在中，
∵，
∴，
∴，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设，则，
在中，
，
∴，
解得：，
答：原来的路线AC的长为千米
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．

25.城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，．

（1）技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2）现计划在空地内种草，若每平方米草地造价元，这块地全部种草的费用是多少元？
【答案】（1）测量的是点，之间的距离；依据是：如果是三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）；（2）1080元
【解析】
【分析】
（1）测量点，之间的距离，运用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）先判断是直角三角形，根据求出四边形ABCD的面积即可得到结论．
【详解】
解：（1）测量的是点，之间的距离；
依据是：如果是三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）
（2）连接，

由（1）得，
在中，，
在中，，，
，
，
，
（平方米），
（元），
这块地全部种草的费用是元．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明是直角三角形．

拓广探索突破

26.如图，已知点是等边三角形内一点，且，，．
求的度数．


【答案】150° .
【解析】
【详解】
解：如图：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP

∴BE=BP=4k，AE=PC=5k，∠PBE=60°
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4k，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5k，AP=3k，PE=4k，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．