专题08 （简单几何体表面积与体积）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

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2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 08（简单几何体表面积与体积）试卷满分：150分           考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，，圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：，故选：．2．圆台的上，下底面半径分别为3和4，母线长为6．则其表面积等于（    ）A．72 B． C． D．【答案】C【分析】由圆台表面积等于上底面积、下底面积、侧面积的和，根据已知条件及圆、扇形的面积公式，即可求其表面积.【详解】由题意，得如下示意图：知：，而，可得，∴表面积为上底面积、下底面积、侧面积的和，即.故选：C3．半径为1的球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据球的表面积公式直接求解即可.【详解】半径为1的球的表面积为.故选：D.4．如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据三视图还原几何体，计算体积即可.【详解】还原几何体如图，为四棱柱，底面积为，高为2故体积为：2故选：A5．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，若过直线的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的轴截面的求得圆锥的母线长和底面半径，结合侧面积公式，即可求解.【详解】设圆锥的母线长为，则，得，即母线长为，设圆锥的底面半径为，，解得，即圆锥底面圆的半径为2， 圆锥的侧面积为.故选：A.6．已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.【详解】解:因为圆柱的底面半径为1，高为2，所以圆柱的表面积.故选：C.【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.7．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知正四棱锥底面正方形边长为，高为，利用椎体体积公式即可求解.【详解】如图正四棱锥中，，，所以正四棱锥的体积为，故选：A8．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”中，平面，且，若该四面体的体积为，则该四面体外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意计算分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.【详解】因为平面，且， ，而,所以，所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则,所以外接球的表面积为故选：B【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法． 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点，平面，，，，则（    ）A．三棱锥的体积为B．平面截三棱锥所得的截面面积为C．点与点到平面的距离相等D．直线与直线垂直【答案】BC【分析】先由题意，证明平面，，根据三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积，可判断A；取中点为，连接，，得到四边形即是平面截三棱锥所得的截面，从而可求出截面面积，可判断B；根据题意，证明平面，可判断C；取中点为，连接，，得到即等于直线与直线所成的角，根据余弦定理求得异面，即可判断D.【详解】因为、、分别为棱、、的中点，所以，，因为，，所以，，，因为平面，所以平面，即平面；又，所以，因此，所以三棱锥的体积为，故A错；取中点为，连接，，易得：，，因此四边形即是平面截三棱锥所得的截面，且四边形平行四边形，又平面，所以，即四边形是矩形，因此其面积为，故B正确；因为，平面，平面，所以平面，因此点与点到平面的距离相等，故C正确；取中点为，连接，，则，，且， 即等于直线与直线所成的角，又，，因此，所以直线与直线不垂直，即D错；故选：BC.【点睛】本题主要考查立体几何的综合，涉及棱锥体积，线面垂直，线面平行，异面直线所成角的求法等，属于常考题型.10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（    ）A．E为的中点B．平面C．与所成的角为D．三棱锥与四棱锥的体积之比等于.【答案】ABD【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果.【详解】对于A，连接交于点，连接，如图所示，//面，面，且面面，//，又四边形是正方形，为的中点，为的中点，故A正确.对于B，面，面，，又，，面面，故B正确.对于C，，为与所成的角，面，面，，在中，，，故C错误.对于D，由等体积法可得，又，，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题.11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ）A．直线BC与平面所成的角等于 B．点C到面的距离为C．两条异面直线和所成的角为 D．三棱柱外接球表面积为【答案】ABD【分析】对选项A，首先连接，交于点，易证平面，从而得到为直线与平面所成的角，再根据即可判断选项A正确.对选项B，根据平面，得到为点到面的距离，再计算即可判断选项B正确.对选项C，首先连接，，，根据，得到为异面直线和所成的角，再计算即可判断选项C 错误.对选项D，根据三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，计算正方体的外接球即可判断选项D正确.【详解】对选项A，如图所示：连接，交于点.因为正方体，所以四边形为正方形，.又因为平面，平面，所以.平面.所以为直线与平面所成的角，又因为，故选项A正确.对选项B，由上知：平面，所以为点到面的距离.又因为正方体边长为，所以，故选项B正确.对选项C，如图所示：连接，，.因为，所以为异面直线和所成的角.又因为，所以，故选项C错误.对选项D，因为三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，设外接球半径为，.，故选项D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了线面成角，异面直线成角，同时考查了点到面的距离和三棱柱的外接球，属于简单题.12．正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（    ）A．直线与、与所成的角相等B．侧棱与底面所成角的正切值为C．该四凌锥的体积为D．该四凌锥的外接球的表面为【答案】AD【分析】对于A，根据异面成角的概念，直线与、与所成的角分别为，，再根据正四棱锥的特点，即可判断选项A是否正确；对于B，由题意可证平面，则是侧棱与底面所成角，在即可求出侧棱与底面所成角的正切值，即可判断选项B是否正确；对于C，利用体积公式即可求出该四棱锥的体积，进而判断选项C是否正确；对于D，利用球心和顶点连线，构造直角三角形，利用勾股定理求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积，即可判断选项D是否正确.【详解】连结，，交于点，连结，取中点，连结、，如下图所示：对于A，因为，所以直线与所成角为，因为，所以与所成的角为，∵，，∴，∴直线与、与所成的角相等，故A正确；对于B，∵平面，∴是侧棱与底面所成角，∵正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，∴，，，，，∴侧棱与底面所成角的正切值为，故B错误；对于C，该四棱锥的体积为，故C错误；对于D，由题意可知正四凌锥中外接球的球心在上，设外接球的球心为，连接 ，设该四棱锥的外接球半径为，在中，,由勾股定理，可得，解得，∴该四棱锥的外接球的表面积为，故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了考查空间中异面直线成角、线面角、锥体的体积以及锥体的外接球等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．  三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为_________．【答案】2【分析】由侧面展开图是一个半圆可得，再根据体积建立关系即可求出.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为它的侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的体积为，则可解得，故母线长为2.故答案为：2.14．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，，则四棱锥的外接球的表面积为________．【答案】【分析】先根据面面垂直，取平面的外接圆圆心G，平面的外接圆圆心H，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.【详解】如图，取的中点，的中点，连，，在上取点，使得，取的中点，分别过点、作平面、平面的垂线，两垂线相交于点，显然点为四棱锥外接球的球心，由，，可得，，，则半径，故四棱锥外接球的表面积为．故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．在棱长为9的正方体中，点，分别在棱，上，满足，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为______.【答案】【分析】以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，设，由平面可得P点的坐标，根据四棱锥的特点可得外接球的直径可得答案.【详解】以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，，由，则，，，设，， ，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，得，因为平面，所以，即，解得，所以，由平面，且底面是正方形，所以四棱锥外接球的直径就是，由，得，所以外接球的表面积.故答案为：.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力.16．已知三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，，，，分别是棱和的中点，则线段的最大长度为___________.【答案】【分析】根据球的面积求出球的半径，根据球的性质求出和，根据可求得结果.【详解】设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，所以，因为，分别是棱和的中点，所以，，所以，，所以，当且仅当在线段上时，等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据球的性质求出和，再根据求解是解题关键.  四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．将一个底面圆的直径为、高为的圆柱截成横截面为长方形的棱柱（如图），设这个长方形截面的一条边长为，对角线长为，截面的面积为．（1）求面积以为自变量的函数关系式；（2）求出截得棱柱的体积的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得长方形另一条边长后，可得面积，由实际意义可知，由此得到函数关系式；（2）根据棱柱体积公式求得，由二次函数的性质可求得最大值.【详解】（1）长方形一条边长为，对角线长为，另一条边长为，，又圆柱的直径长为，，面积以为自变量的函数关系式为：.（2）截得的棱柱的体积，当，即时，，即截得棱柱体积的最大值为.【点睛】易错点点睛：本题考查实际问题中的函数模型的建立，易错点是忽略自变量的取值范围，造成函数关系式不完整.18．如图，在直四棱柱中，，，是的中点，且平面（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见详解；（2）.【分析】（1）根据线面垂直的性质，由题中条件，得到，，再由线面垂直的判定定理，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，利用棱锥的体积公式，结合题中数据，即可得出结果.【详解】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又平面，所以；因为平面，平面，平面，所以，；因为平面，平面，，所以平面；（2）由（1）可得，，因为是的中点，所以；因此四棱锥的体积为.【点睛】方法点睛：证明空间位置关系的方法：（1）利用判定定理和性质证明：根据线面平行和垂直的判定定理和性质，结合题中条件，即可证明；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求直线的方向向量，平面的法向量，根据空间位置的向量表示，即可证明.19．如图，在三棱柱中，，．（1）若三棱柱的体积为1，求三棱锥的体积；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三棱柱的体积为1，由三棱锥的体积为三棱柱三棱柱的 求解.（2）取的中点，连，，易得，则，,利用线面垂直的判定定理证得平面即可.【详解】（1）设三棱柱的高为，的面积为，由三棱柱的体积为1，可得，可得三棱锥的体积为.（2）如图所示：取的中点，连，,∵，∴，∴,∵，，∴∵，，∴,∵，，平面，，∴平面 ∵平面，平面，∴．【点睛】方法点睛：证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90°.（2）平面几何中证明线线垂直的方法．（3）线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.（4）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.20．如图所示，在四棱锥中，，，，为线段上点，且满足，为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，，证明；（Ⅱ）利用锥体体积公式，分别求两个锥体底面积和高的比值，表示体积比值.【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连接，.因为为的中点，所以，且.又因为，且，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）设四棱锥的高为，与间的距离为.则，因此.【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.21．如图，为的直径，垂直于所在的平面，为圆周上任意一点，，，垂足分别为，.（1）求证：；（2）若，，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角，及线面垂直的性质定理与判定定理进行证明即可；（2）由（1）知平面，所以为三棱锥的高，再根据平面几何计算各个棱长及底面面积，进而求得椎体体积.【详解】（1）因为是的直径，所以，因为垂直于所在的平面，所以，所以平面.因为平面，所以，又，，所以平面，所以，又因为，，所以平面，所以.（2）由（1）知平面，所以为三棱锥的高.因为，所以是等腰直角三角形，所以.在中可得，所以，.又由（1）可知平面，所以，所以，因此.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．22．如图：在四棱锥中，底面是菱形，，，点，分别是线段，的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）只需证明，，，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直；（2）利用转化为求三棱锥M-ABN体积，【详解】（1）∵，为中点∴∵底面为菱形，∴，∴三角形为等边三角形，∴，∵，∴面（2）∵面面，面面，∴面又∵，，，∴∴∵为中点，∴点到面的距离等于到面距离的又∴∴【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2) 等体积转化法是求三棱锥体积的常用方法．