专题09 （空间点、直线、平面间的位置关系）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

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2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 09（空间点、直线、平面间的位置关系）试卷满分：150分           考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知空间三条直线a，b，c．若，则（    ）A．b与c平行 B．b与c异面C．b与c相交 D．b与c平行、异面、相交都有可能【答案】D【分析】利用正方体模型进行分析判断【详解】解：如图在正方体中，，此时与相交；当时， ∥；当时，与异面，所以由，可得b与c平行、异面、相交都有可能，故选：D2．如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与是异面直线.以上四个命题中，正确的命题序号是（    ）A．①③ B．②④ C．①④ D．③④【答案】D【分析】将展开图复原为几何体，如图所示，根据正方体的性质，逐个分析判断即可【详解】解：展开图复原的正方体如图所示，由正方体的性质可知与是异面直线，所以①错误；与是平行直线，所以②错误；连接，则与，所以或其补角为异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以，所以与成角，所以③正确；与是异面直线，所以④正确，故选：D3．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°角.则其中正确结论的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】取的中点，则，．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出长后，可以判断②的真假；求出与平面所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出与所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案【详解】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD，面．∴BD⊥面AEC，面．∴BD⊥AC，故①正确.设正方形边长为a，则.∴AC=a.∴△ADC为等边三角形，故②正确.∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，以E为坐标原点，EC､ED､EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则..，，故③正确.∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故④不正确.故选：C.4．如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取BC的中点G，连接EG，FG，易得，分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，然后根据，，，在中求解.【详解】如图所示：取BC的中点G，连接EG，FG，因为E，F，G都为中点，所以,所以，分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，因为，所以又因为，，所以 所以, 因为，所以故选：A5．在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】选项A、B、C中，由其中三个点确定一个平面，再判断第四个点是否在该平面内，选项B通过证明两直线平行，从而判断四点共面.【详解】选项A，点，，确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在直线上，故，，，不共面，选项A错误；选项B，连接底面对角线，则由中位线定理可知，，又易知，则，故，，，共面，选项B正确；选项C，显然，，所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故故，，，不共面，选项C错误；选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是点，，确定的平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故，，，四点不共面，选项D错误.【点睛】方法点睛：判断四点共线的方法有：（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.6．正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据异面直线的定义知直线与直线所成角为，根据线面角定义得直线与平面所成角为，由此能求出结果.【详解】如图：∵，∴直线与直线所成角为，∵是等边三角形，∴，∵平面，∴直线与平面所成角为，∵是等腰直角三角形，∴，故选：D.7．在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】若两点间距离最短，则为公垂线段；易证得平面，则可作，可知即为所求公垂线段，利用面积桥的方式可求得，即为所求最短距离.【详解】在上移动，则当为公垂线段时，两点的距离最小；四棱锥为正四棱锥，平面，为正方形的中心，，又，，平面，过作，垂足为，平面，，为的公垂线，又，两点的最短的距离为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中两点间距离最值的求解，解题关键是能够根据两点在两一面直线上移动，确定两异面直线之间的公垂线段即为所求最短距离.8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（    ）A． B．- C．2 D．【答案】A【分析】如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角．【详解】解：如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角为异面直线与所成角．设，则，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选：A．【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则与所成的角和与所成的角相等D．若，，，则【答案】ABC【分析】A.利用线面垂直的定义判断； B.利用面面平行的定义判断；C. 利用线面角的定义判断；D. 利用面面的位置关系判断.【详解】A.因为，所以m垂直平面内任意一条直线，又，所以，故正确；B.因为，所以两平面无公共点，又，所以m与无公共点，所以，故正确；C.因为，所以与所成的角和m与所成的角相等，因为，所以与所成的角和n与所成的角相等，故正确；D. 因为，，，所以相交 或，故错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.10．正方体中，下列叙述正确的有（    ）A．直线与所成角为B．直线与所成角为C．直线与平面ABCD所成角为D．直线与平面所成角为【答案】AB【分析】作出异面直线与所成角，然后计算，判断A，证明平面，判断B，作出直线与平面ABCD所成角，判断C，找到直线与平面所成角，判断D．【详解】正方体中由与平行且相等得平行四边形，则有，异面直线与所成角是（或其补角），是正三角形，，A正确；平面，则有，又有，则有平面，于是有，所以异面直线与所成角为，B正确；平面，是直线与平面ABCD所成角，此角为是，C错；与平，是直线与平面所成角，，D错．故选：AB．【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，解题时就根据定义作出（并证明）这个角，然后求解．11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）A．在棱上存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面【答案】ABC【分析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.【详解】解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，，平面，平面，故正确.对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.对于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，设，则，，在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：【点睛】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（    ）A．当时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状C．液面可以是正六边形，其面积为D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为【答案】AC【分析】根据正方体的结构特征和截面性质，依次判断每个选项是否正确即可.【详解】解：对于A，当时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，根据对称性知两部分完全相同，所以A正确；对于B，取，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，所以B错误；对于C，当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，所以液面面积的最大值为，C正确；对于D，当液面过时，截面为，将绕旋转，如图所示；则，当D、N、三点共线时等号成立，所以液面周长最小值为，D错误.故选：AC.【点晴】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.  三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为____．【答案】【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中求出此角即可．【详解】如图，将平移至处，就是所求的角，又为正三角形．．故答案为：【点睛】本题主要考了查异面直线所成的角，考查空间想象能力和推理论证能力，属于容易题．14．已知a，b是异面直线.给出下列结论：①一定存在平面，使直线平面，直线平面；②一定存在平面，使直线平面，直线平面；③一定存在无数个平面，使直线b与平面交于一个定点，且直线平面；④一定存在平面，使直线平面，直线平面.则所有正确结论的序号为______.【答案】②③【分析】①④用反证法判断，②③.利用线面位置的性质关系判断.【详解】假设①正确，则存在直线平面，使得，又，故，∴，显然当异面直线a，b不垂直时，结论错误，故①错误；设异面直线a，b的公垂线为m，平面，且a，b均不在内，则a，b均与平面平行，故②正确；在直线b上取点A，显然过点A有无数个平面均与直线a平行，故③正确；假设④正确，则由，可得，显然这与a，b是异面直线矛盾，故④错误.故答案为：②③.【点睛】本题主要考查与异面直线的有关的线面关系问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.15．如图，圆柱的体积为，正方形为该圆柱的轴截面，为的中点，为母线的中点，则异面直线，所成的角的余弦值为______．【答案】【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为，可得为异面直线与所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得．【详解】设圆柱底面半径为，则母线长为，由得．设底面圆心为，连接，．则，所以为异面直线，所成的角．在中，，，．所以．故答案为：．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【分析】首先结合图形的特征，利用异面直线所成角的定义找到其平面角，利用余弦定理求得结果.【详解】因为在三棱柱中，与平行，所以或其补角就是直线与所成角，因为三棱柱棱长均为2，所以，所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值的求解问题，在解题的过程中，关键是找出异面直线所成角的平面角，也可以利用空间向量来解决.  四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知正方体，是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】【分析】连接，，结合题中条件，由正方体的结构特征，可得即为异面直线与所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为，求出的余弦值，即可得出结果.【详解】连接，，在正方体中，易知，所以即为异面直线与所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为，因为是棱的中点，所以，又，所以.即异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．18．四面体的棱长均为、E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线AF和CE所成的角的余弦值．【答案】【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求得异面直线转化为一个三角形得内角来计算可得结果.【详解】如图，连接，取中点，连接，则//，故即为所求的异面直线所成的角或者其补角，设棱长，在中，，，，，由余弦定理所以，异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题考查空间点、线、面得位置关系与异面直线余弦的求法，考查学生得空间想能力.19．如图，四棱柱中，底面为菱形，四边形和四边形，均为矩形E为四边形对角线的交点，F是的中点．（1）平面﹔（2）设，，三棱锥的体积为﹐求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据中位线证明，可证平面；（2）由三棱锥体积计算出，然后根据题意作出二面角的平面角，构造直角三角形，计算三边长，然后利用三角函数值代入计算二面角的平面角即可.【详解】（1）∵E、F分别为、的中点，∴为∴，∵平面，平面，∴平面．（2）∵四边形与四边形是矩形，∴，，∵是四棱柱∴，∴⊥平面，∴四棱柱是直四棱柱．∵，∴取中点，连接，∵是正三角形，∴，∵四棱柱，是直四棱柱，∴平面，作，连接，就是二面角的平面角．∵，，∴，∴．∴二面角的余弦值为．【点睛】利用定义求解二面角时，需要找准二面角的平面角，一般作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．20．如图，在正方体中，E为的中点.（1）在图中作出平面和底面的交线，并说明理由；（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，可证平面且平面，得到平面平面；（2）设，连接，证明，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.设正方体的棱长为2.求出棱台的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】（1）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，∵，平面，则平面，∵，平面，∴平面.∴平面平面.（2）设，连接，由E为的中点，得G为的中点，∴，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.设正方体的棱长为2..∴另一部分几何体的体积为.∴两部分的体积比为【点睛】本小题主要考查面与面的位置关系，考查几何体体积的求法.21．如图，正方体中，，分别是，的中点．求证：（1），，，四点共面；（2），，三线共点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由三角形中位线定理和平行公式，得到，再由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．（2）分别延长，，交于点，由，面，知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于．【详解】证明：（1）连接，，，，分别是，的中点，，，，由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．（2）分别延长，，交于点，，面，面．是的中点，，是的中点，连接，，，，，三线共点于．【点睛】本题考查四点共面和三点共线的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意平行公理和三角形中位线定理的合理运用，属于中档题．22．如图，P是圆锥的顶点，是底面圆O的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，高为h，由题意分别求得l与r值，进一步得到圆锥的高，则圆锥的体积可求；（2）取弧中点D，则，由垂直于底面，得，，两两垂直，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的余弦值.【详解】（1）设该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，高为h，由题意，，解得，底面圆周长，解得，∴，∴该圆锥的体积.（2）如图所示，取弧中点D，则，∵垂直于底面，∴，，两两垂直，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，，设与所成角为，则，故异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查向量法求解线线角问题，考查柱锥台体的体积公式，考查学生空间想象能力，属于中档题．