专题02 （平面向量的运算）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

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2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 02（平面向量的运算）试卷满分：150分           考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．设非零向量满足|＋|＝|－|，则（    ）A．⊥ B．||＝||C．∥ D．||>||【答案】A【分析】利用向量的加减法的平行四边形法则，结合模的意义即可做出判定.【详解】利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设＝，＝，由|＋|＝|－|知，如图所示.从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故⊥.故选:.【点睛】本题考查平面向量的加减运算的几何意义，向量的模，难度不大.2．已知向量满足，，，则向量的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果.【详解】设向量的夹角为，则，由，，得：，向量的夹角为.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数量积和模长求解向量夹角的问题，属于基础题.3．设，均为单位向量，且，则（    ）A．3 B． C．6 D．9【答案】B【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】，均为单位向量，且，则.故选：B【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.4．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算，直接可得出结果.【详解】因为在矩形中，为中点，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.5．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值.【详解】向量与的夹角为，，，由知，，，，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.6．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（    ）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）【答案】B【分析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】已知非零平面向量，，，（1）若，则，所以或，即（1）错；（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；（3）若，则，所以，则；即（3）正确；（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.7．已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量不等式得到，平方得到，代入数据计算得到得到答案.【详解】由，，若对任意模为2的向量，均有可得：可得:,平方得到，即故选：B【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键.8．已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据数量积的定义求出，用表示、，求出、即可求得、从而用t表示出，根据几何意义利用对称性可求得最小值.【详解】由题意知，，，，则，，则，，记，几何意义表示点到点与点的距离的和，点关于x轴的对称点坐标为，，的最小值为.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算、小马饮水问题，涉及数量积的运算律、向量模长的求解、两点间的距离公式，属于较难题. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．下列各式中，结果为零向量的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：+=()(+)=选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.10．如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，，则（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A正确，即B正确连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示由其性质有∴，即C错误同理，即∴，即D错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系11．给出下列结论，其中真命题为（    ）A．若，，则B．向量、为不共线的非零向量，则C．若非零向量、满足，则与垂直D．若向量、是两个互相垂直的单位向量，则向量与的夹角是【答案】CD【分析】对于A由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B由条件推出，判断该命题是假命题；对于C由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题.【详解】对于A，若，，则或，所以该命题是假命题；对于B，，而，由于、为不共线的非零向量，所以，所以，所以该命题是假命题；对于C，若非零向量、满足，，所以，则与垂直，所以该命题是真命题；对于D，以与为邻边作平行四边形是正方形，则和所在的对角线互相垂直，所以向量与的夹角是，所以该命题是真命题.故选：CD.【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.12．已知点O为所在平面内一点，且+,则下列选项正确的是（    ）A．=B．直线必过边的中点C．D．若，且，则=【答案】ACD【分析】根据题设条件，化简得到=，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且+，可得+，即，即，所以=，所以A是正确的；在中，设为的中点，由+，可得+，所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；由，可得且，所以，所以，可得，所以所以，所以C正确；由+，可得=因为，且，可得，===13所以=，所以D是正确的.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.【答案】－8【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：.故答案为： -8.【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.14．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．【答案】【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可.【详解】∵，=0，∴，∴，，∴，∵, ,，故答案为：.15．已知，，，，如果P点是所在平面内一点，且，那么的值等于________.【答案】13【分析】由条件可得，，可得，由，可得出答案.【详解】∵，，，，，，，，，又，.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.16．在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为_________.【答案】-10【分析】向量变形为=()，化简得，转化为讨论夹角问题求解.【详解】由题线段为该圆的一条直径，设夹角为，可得：=()=()=+²=（）²==||4=64当夹角为时取得最小值-10.故答案为：-10【点睛】此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知，.（1）若，求；（2）若，的夹角为，求.【答案】（1）详见解析；（2）1.【分析】（1）根据向量平行可知两向量的夹角为或，再根据向量数量积的定义求解；（2）根据模的公式可知，代入数量积的公式求解.【详解】（1），与的夹角是或，当夹角为时，，当夹角为时，；（2） .18．设，为两个不共线的向量，若，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，是夹角为的单位向量，且，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，再建立方程求解即可；（2）先求出，再建立方程求解即可.【详解】解：（1）因为，，所以，因为，则，，则所以，解得，（2）因为，是夹角为的单位向量，所以，解得：【点睛】本题考查利用向量共线与向量垂直求参数，是基础题19．如图，在梯形ABCD中，，，，G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求向量和（结果用向量、表示）.【答案】，.【分析】在梯形ABCD中，由E、F分别是腰AD、BC的中点，即有、△与△相似，结合已知条件及向量的加法的几何应用，即可求和【详解】∵在梯形ABCD中，E、F分别是腰AD、BC的中点且即，∴，△与△相似且相似比为1:2∴，而故，有【点睛】本题考查了向量的几何应用，由几何图形中代表各线段的已知向量，结合相似三角形的线段比例关系、向量的加法三角形法则求目标向量20．（1）已知非零向量、不共线，欲使和共线，试确定实数k的值.（2）已知向量，，，求与夹角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可以根据和共线得出，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据得出，然后根据以及求出，最后根据即可得出结果.【详解】（1）因为和共线，非零向量、不共线，所以存在唯一实数使，即，则，即，，故当时，和共线.（2）因为，所以，令与夹角为，因为，， 所以，解得，因为，所以与的夹角.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量、共线，则存在唯一实数使，若非零向量、垂直，则，考查计算能力，是中档题.21．已知在等边三角形中，点为线段上一点，且.（1）若等边三角形的边长为，且，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，可得出，利用平面向量数量积的运算性质可计算得出；（2）设等边三角形的边长为，由平面向量数量积的运算性质可将表示为含的不等式，结合可求得实数的取值范围.【详解】（1）由，得，，，因此，；（2）设等边三角形的边长为a，则，，即，整理得，解得.，解得：，因此，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．22．在的边，上分别有一点，，已知，，连接，，设它们交于点，若，.（1）用与表示；（2）过作，垂足为，若，，与的夹角，求的范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三点共线和三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设，利用，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到关于的函数形式，利用的范围即可求得结果.【详解】（1）设，三点共线，，又，，；设，同理可得：，，不共线，，，解得：，，即.（2）设，则，，又，，，，整理可得：，，，，即的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用表示出，再结合数量积的运算律来进行求解.