专题01 （平面向量的概念）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

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2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 01（平面向量的概念）试卷满分：150分           考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．已知向量与共线，下列说法正确的是（    ）A．或  B．与平行C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得【答案】B【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.【详解】向量与共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；向量与共线，则与平行，故B正确；为零向量，则满足与共线，方向不一定相同或相反；故C错；当，时，满足与共线，但不存在实数，使得，故D错.故选：B.【点睛】本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型.2．已知、是平面向量，下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．零向量与任何非零向量都不共线【答案】C【分析】A，根据向量的定义判断；B.向量不能比较大小判断；C，若，则，由共线向量定理判断；D，由零向量与任一向量共线判断.【详解】对于A，向量方向不相同则向量不相等，选项A错误；对于B.向量不能比较大小，选项B错误；对于C，若，则，，选项C正确；对于D，零向量与任一向量共线，选项D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．已知向量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量平行的坐标运算求解即可【详解】∵，，且，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了向量线性运算的坐标运算，以及两个向量平行的坐标表示与运算，属于中低档题型，4．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若且，则；④若，则．其中正确的命题个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数.【详解】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.②，若，则可能为零向量，方向任意，所以②错误.③，若且，则可能为零向量，此时不一定平行，所以③错误.④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误.故正确的命题有个.故选：B【点睛】本小题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题.5．如图，在▱ABCD中，下列结论错误的是（    ）A． B．C．
 D．【答案】C【分析】根据平行四边形法则，以及平行四边形的性质，判断相等和相反向量，再依次判断选项.【详解】和方向相同，长度相等，所以，故A正确；根据平行四边形法则可知，故B正确；，故C不正确；，，故D正确.故选：C【点睛】本题考查平行四边形内的向量加，减法的运算，属于基础题型，关键是熟记平行四边形法则和理解相等，相反向量6．已知线性相关的变量，，设其样本点为（），回归直线方程为，若（为坐标原点），则（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据向量相等的坐标表示，由此即可计算平均数 ，得到样本点的中心的坐标，代入回归直线方程求出的值．【详解】因为样本点为（）且， 所以 所以 ，； 又回归直线方程为过， ∴，解得． 故选：B．【点睛】本题考查了线性回归方程必过样本中心、向量相等的坐标表示等基础知识，本题属于基础题.7．在中，若，，，则（          ）A．-2 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】根据向量线性运算拆解，根据向量相等关系可得到，进而得到结果.【详解】   ∵ ，    故选：【点睛】本题考查利用向量线性运算结果求值的问题，属于基础题.8．已知，，则与平行的单位向量为A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】先求出的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向量的坐标【详解】解：∵，，
，
，
则与平行的单位向量为，
化简得，或．
故选：B．【点睛】本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识． 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．若均为单位向量,且,则的值可能为A． B．1 C． D．2【答案】AB【分析】根据已知条件可得，再由可得，从而排除，可得正确答案.【详解】因为均为单位向量,且，所以，所以，而 ，所以选项不正确，故选：AB【点睛】本题考查了平面向量的数量积，考查了求平面向量的模的最大值，属于中档题.10．对于任意的平面向量，下列说法错误的是A．若且，则B．C．若，且，则D．【答案】ACD【分析】A．与任何向量都共线,这里没有传递性；B中是向量数量积的分配律，所以成立.而没有结合律所以D错误，向量和数是有差别，不能两边除同一向量.【详解】A. ,命题不成立；C.若和都垂直，显然最少在模长方面没有任何关系，所以命题不成立；D. 很多时候是不成立的，如上图：若则与是一个分别和、共线的向量，显然命题不成立 B是分配律显然成立的.所以答案是ACD【点睛】考查向量的运算法则，不可忽略，向量运算不能乱套用.11．有下列说法，其中错误的说法为A．若////，则//B．若，，分别表示，的面积，则C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．若//，则存在唯一实数使得【答案】AD【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若////，则//，如果，都是非零向量，，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E分别是AC,BC的中点，， 所以则,所以该选项是正确的；C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若//，如果是非零向量，，则不存在实数使得，所以该选项是错误的.故选A,D【点睛】本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12．下列命题中，正确的有（    ）A．向量与是共线向量，则点、、、必在同一条直线上B．若且，则角为第二或第四象限角C．函数是周期函数，最小正周期是D．中，若，则为钝角三角形【答案】BCD【分析】根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式得出，进而可判断出选项D的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，向量与共线，则或点、、、在同一条直线上，A选项错误；对于B选项，，，所以，则角为第四象限角，如下图所示：则为第二或第四象限角，B选项正确；对于C选项，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，函数是周期函数，且最小正周期为，C选项正确；对于D选项，，，，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则的三个内角余弦值必有一个为负数，则为钝角三角形，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知，则________【答案】【分析】对于坐标法表示的向量,向量的模为,代入计算即可【详解】由题,故答案为：【点睛】本题考查向量的模,属于基础题14．若的三个顶点,则顶点的坐标为________.【答案】【分析】由可得,进而求解即可【详解】由题,因为,所以,设,所以,,所以,即,故答案为:【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示15．已知正方形ABCD的边长为1，，，，则=________.【答案】【分析】由向量的加法可得，再求解正方形的对角线即可.【详解】由题意可得，是正方形的对角线长，故，又所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量的加法，以及模长的求解，属向量基础题.16．若函数与的图象交于两点,则_______.【答案】【分析】画出与图像,可得与关于点对称,进而求解即可【详解】由题,画出与的图像,如图所示,则与关于点对称,所以,所以,故答案为:【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知，，与的夹角是，计算（1）；（2）.【答案】（1）（2）-3【分析】（1）转化，利用数量积的的分配律和数量积的定义，即得解；（2）转化，即得解【详解】（1）；（2）.【点睛】本题考查了数量积的模长公式、运算律和定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题18．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且．（1）当λ，求||；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【分析】以等腰梯形的底所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出，，（1）当时，，即可求出答案；（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案.【详解】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（，），D（，），∴（2，0）+λ（，）=2λ，λ），（1）当λ时，（，），则||（2）∵（，）（1，0）＝（，），∴2，当且仅当λ时取得最小值．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值，属于基础题.19．已知向量,.（1）若向量，求实数的值；（2）若向量满足，求的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）求出向量和向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求的值.（2）由向量相等求出的值，根据求值即可.【详解】（1）,，，.，，解得或.（2），，即，解得..【点睛】本题考查向量共线定理的坐标表示和向量相等，用到方程的思想，属于基础题.20．如图所示，在中，，，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．（1）用和分别表示和；（2）如果，求实数和的值；（3）确定点P在边BC上的位置．【答案】（1）；；（2）；（3）点为靠近点的的三等分点【分析】（1）根据平面向量线性运算可直接求得结果；（2）将（1）的结论代入已知等式可得，根据相等向量的关系可构造方程组求得结果；（3）设，，利用（2）的结论可利用表示出，又，从而构造方程组求得，从而确定点位置.【详解】（1），（2）由（1）知：    ，解得：（3）设，由（2）知：又    ，解得：，即点为靠近点的的三等分点【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用线性运算表示出未知向量，根据相等向量的定义可构造方程组求得参数的值.21．已知向量，满足：，，．（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.【详解】解：（Ⅰ）因为，所以．所以．因为，所以．（Ⅱ）因为，由已知，，所以．所以．【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角的计算，考查向量模的求法，属于基础题.22．已知向量.（1）求与平行的单位向量；（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）或.（2）【分析】（1）利用向量平行的坐标运算公式，单位向量的模长为1进行求解（2）根据向量垂直的坐标运算表示出关于t的二次方程，再将所求问题转化成在，方程有解的情况，分类讨论可求得的取值范围【详解】（1）设，根据题意，得解得或∴或.（2）∵∴∵，∴.∵，∴.问题转化为关于的二次方程在内有解.令，当，即时，∵，∴方程在内无解.当，即时，由，解得或，∴.当，即时，由得.解得，.综上所述，.【点睛】向量垂直的坐标运算为：，向量平行的坐标运算为：或．解决一元二次方程恒成立问题时可将方程转化为函数，再结合二次函数性质进行求解