高中人教B版 (2019)6.2.1 向量基本定理学案

专二： 平面向量基本定理及坐标表示

【学习目标】  班级：           姓名：           使用时间：             

【知识梳理】1、向量平面向量基本定理

2、　平面向量的正交分解及坐标表示

(1)平面向量的正交分解：

(2)平面向量的坐标表示：

3、　平面向量的坐标运算及中点公式

 （1）平面向量的坐标运算：  设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，

则有：a＋b＝                 a－b＝               λa =              

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝

（2）中点公式   设线段AB两端点的坐标分别为A，B，

则其中点M（ｘ，ｙ）的坐标计算公式为：                .

4、　平面向量共线的坐标表示    (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

其中b≠0，a，b共线的充要条件是________________.

(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)( b≠0)共线的充要条件是_______________．

5、 平面向量数量积的坐标表示     1．平面向量数量积的坐标表示：

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝__________;  a⊥b⇔______

2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝____________   .

3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝_____________________.

4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，

则cos θ＝＝

【典例探究】

【例1】(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，

＝b，给出下列结论：①＝－a－b；②＝a＋b；

③＝－a＋b；④＝a.

其中正确的结论的序号为________．

(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，

AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.

【例2】(1)已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.

(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，

求M，N及的坐标．

【例3】(1)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

   (2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.

①求a的坐标；②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.

【例4】(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数

k的取值范围是(　　)A．(－2，＋∞)   B．（-2，）∪

C．(－∞，－2) D．(－2,2)

(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，

求||与点D的坐标.

【课堂达标】                 班级：           姓名：        

1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)

A．            B．          C．          D．

2．已知点A(1,2)，B(2,4)，C(－3,5)．若＝＋m，且点P在y轴上，

则m＝(　　)

A．－2           B．         C．－           D．2

3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)

A．(－2，－2)      B．(2,2)        C．(－2,2)      D．(2，－2)

4.已知向量a=(3,-2), b=(x, y-1),且a∥b, 若x,y为正数,则的最小值是(　　)

A. B. C.16 D.8

    5.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，

P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为(　　)

A．3　　　   　B．5         C．7　　　 　D．8

6．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.

7．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上存在一点P使·有

最小值，则点P的坐标是________.

8．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.

(1)求向量a的坐标．   (2)求向量a与b的夹角．

9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

(1)证明：a，b可以作为一组基底；

(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式.

【学后反思】