人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理教案

平面向量基本定理

【教学目标】

一、知识与技能

1．了解平面向量的基本定理及其意义。

2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；

 3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。

二、过程与方法

1．在实际问题中经历和感受平面内任何一个向量都可以由不共线的另外两向量来表示。

2．通过练习使学生对平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

3．通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

三、情感、态度与价值观

通过平面向量基本定理内容的推导让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养

【教学重难点】

重点：平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示

难点：平面向量基本定理的理解。

【教学准备】

学法：

（1）自主性学习+探究式学习法：

（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

多媒体、实物投影仪。

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、创设情景，揭示课题

问题1（例1）：平行四边形的对角线和交于点，，，试用向量，表示，，，。

结论：由作图可得+

问题2对于向量，和是否是惟一的一组？

二、研探新知

1．共面向量定理

探索（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？

（2）对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

教师引导学生分析设，是不共线向量，是平面内任一向量

=           =      ==+=+

=           =

平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使+。我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面向量定理。

注意

（1），均非零向量，必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底。

（2）基底不惟一，当基底给定时，分解形式惟一；，是被，，唯一确定的数量

（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

（4）时，与共线；时，与共线；时，。

基底：我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

正交分解：一个平面向量用一组基底，表示成+的形式，我们称它为向量的分解，当，所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解。

思考平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 （教材例2）如图2-3-4，质量为的物体静止地放在斜面上，斜面与水平的夹角为，求斜面对物体的磨擦力

例2  已知向量，求作向量25+3

作法：（1）取点，作=25  =3

（2）作 ，即为所求25+3

例3．（教材例3）设，是平面内的一组基底，如果=3-2，=4+，

=8-9求证：、、三点共线

举一反三

1．设是两个不共线的向量，已知=2+，=+3，=2-，若，，三点共线，求的值。

解：=(2-)-(+3)=-4，∵，，三点共线，∴与共线，即存在实数，使得=， 即是。

由向量相等的条件，得  ，∴。

例4．如图，、不共线，，

用、表示

变式1：（例4改编）如图：，不共线，点在上，求证：存在实数使

变式2：设，不共线，点在、、所在的平面内，且

。求证：、、三点共线。

四、巩固深化，反馈矫正

五、归纳整理，整体认识

1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题。；

2．会应用平面向量基本定理。充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表              示。

六、承上启下，留下悬念

1．已知在四边形中，=+2，-4-，-5-3，求证：是梯形。

证明：显然

+++2(-4-)=2

∴， 又点不在   ∴是梯形。

2 已知梯形中，||=2||，，分别是、的中点，若，，用，表示、、。

解：（1）===

（2）=-=-

（3）连接，则，

=++