2020-2021学年6.2.1 向量基本定理评课课件ppt

这是一份2020-2021学年6.2.1 向量基本定理评课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量基本定理的应用，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。

1.了解共线向量基本定理和平面向量基本定理及其意义.
2.能应用共线向量基本定理和平面向量基本定理解决一些实际问题.
七个音符谱出千支乐曲，二十六个字母写就百态文章！在多样的平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？
问题1　如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)?
1.共线向量基本定理定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得b＝λa.2.说明：(1) b＝λa时，通常称为b能用a表示.(2)唯一性，当b＝λa时，λ唯一.3.作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的 条件是：存在实数λ，使得 .
(1)λ的值是唯一存在的.(2)利用共线向量基本定理，既可以证明点共线问题，也可以根据共线求参数的值.(3)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
　　下列命题正确的是A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.若 (λ≠0)，则A，B，C，D必共线C.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λbD.零向量是模为0，方向任意的向量
由于零向量与任意向量共线，所以若b为零向量，则a与c关系不确定，A错；若 (λ≠0)，则ABCD有可能是一个平行四边形，A，B，C，D不一定共线，B错；共线向量定理中，当b不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使a＝λb，否则λ可能不存在，C错；根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确.
注意向量之间关系和点、线之间关系的区别.
　　　“a＝xb”是“向量a，b共线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
充分性：若a＝xb，则向量a，b共线，充分性成立；必要性：若向量a，b共线，不妨设b＝0，a≠0，则不存在x∈R，使得a＝xb，必要性不成立.因此，“a＝xb”是“向量a，b共线”的充分不必要条件.
共线向量基本定理的应用
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.
故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.
(1)证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得 即可.(2)利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
问题2　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量.
问题3　上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？
提示　分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝ .由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的.
平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组 .此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(1)同一平面内基底有无数多组，只要两向量不共线即可.(2)当基底确定后，任意向量的表示式唯一，即(x，y)是唯一确定的.
　　(1)下列说法错误的是A.一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B.平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C.平面上向量的基底不唯一D.平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
由共线向量的性质可知选项A正确；根据平面向量基本定理可知，平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；根据平面向量基本定理可知选项C，D都正确.
(2)(多选)以下结论中正确的是A.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面B.p与a，b共面，则p＝xa＋yb
在A中， p＝xa＋yb，则由平面向量基本定理得p与a，b一定在同一平面内，故A正确；在B中，若p与a，b共面，但如果a，b共线，p就不一定能用a，b来表示，故B错误；
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.
　　　(1)已知{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是A.{e1＋e2，e1－e2} B.{3e1－2e2,4e2－6e1}C.{e1＋2e2，e2＋2e1} D.{e2，e1＋e2}
因为4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以4e2－6e1与3e1－2e2共线，所以{3e1－2e2,4e2－6e1}不能作为基底.
(2)(多选)下列说法中，正确的是A.在△ABC中， 可以作为基底B.能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的C.零向量不能作为基底D.若{a，b}是一组基底，则λa＋μb与a一定不共线
平面中两个不共线的向量可以构成基底，故A正确，C正确.平面中不共线的向量有很多对，它们都可以作为基底向量，故B错误.若{a，b}是一组基底，当μ＝0时，λa与a共线，故D错误.
　　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
由本例解析知BP∶PN＝3∶2，
将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
由平面向量基本定理，得
1.知识清单： (1)共线向量基本定理. (2)平面向量基本定理. (3)两个定理的应用.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：基底的不唯一.
1.若{e1，e2}是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是A.{e1－e2，e2－e1}
C.{2e2－3e1,6e1－4e2}D.{e1＋e2，e1－e2}
e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底.
2.如图，向量a－b等于A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2C.e1－3e2 D.3e1－e2
由题意知，差向量a－b是由b的终点指向a的终点的一个向量，用基底{e1，e2}表示即为{e1－3e2}.
3.设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为A.0 　　　　　B.－1 　　　　　C.－2 　　　　　D.
因为向量a与b共线，所以设b＝ma，
即e1＋λe2＝m(2e1－e2)，解得λ＝ .
4.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－5y)e1＋(2x－3y)e2＝8e1＋4e2，则x＝________，y＝________.
∵向量e1，e2不共线，
5.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为_____________________.
(－∞，4)∪(4，＋∞)
若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
1.(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是A.a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个C.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则D.若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
由平面向量基本定理可知，A，D正确；对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.
3.点P满足向量 ，则点P与AB的位置关系是A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在直线AB外
连接OD，CD(图略)，显然∠BOD＝∠CAO＝60°，则AC∥OD，且AC＝OD，即四边形CAOD为菱形，
6.设{e1，e2}是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
7.已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋ 与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝__________.
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
A.2 　　　　　B.－3 　　　　　C.－2 　　　　　D.3
∵△DEF∽△BEA，
如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.