高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理导学案，共4页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1.了解平面向量基本定理及其意义．
2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．
【学习重难点】
1.了解平面向量基本定理及其意义．
2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．
【学习过程】
一、初试身手
1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2D．e1，e1＋e2
2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，eq \(AB,\s\up9(→))＝4e1，eq \(BC,\s\up9(→))＝6e2，则2e1－3e2等于( )
A.eq \(OA,\s\up9(→)) B.eq \(OB,\s\up9(→))
C.eq \(OC,\s\up9(→))D.eq \(OD,\s\up9(→))
3．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
4．已知向量a与b不共线，且eq \(AB,\s\up9(→))＝a＋4b，eq \(BC,\s\up9(→))＝－a＋9b，eq \(CD,\s\up9(→))＝3a－b，则共线的三点为________．
二、合作探究
1.对向量基底的理解
【例1】 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①eq \(AD,\s\up9(→))与eq \(AB,\s\up9(→))；②eq \(DA,\s\up9(→))与eq \(BC,\s\up9(→))；③eq \(CA,\s\up9(→))与eq \(DC,\s\up9(→))；④eq \(OD,\s\up9(→))与eq \(OB,\s\up9(→))，
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
2.用基底表示向量
【例2】 设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使eq \(BM,\s\up9(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up9(→))，eq \(CN,\s\up9(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up9(→))，eq \(AP,\s\up9(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up9(→))，若eq \(AB,\s\up9(→))＝a，eq \(AC,\s\up9(→))＝b，试用a，b将eq \(MN,\s\up9(→))、eq \(NP,\s\up9(→))、eq \(PM,\s\up9(→))表示出来．
3.平面向量基本定理应用
[探究问题]
（1）如果e1，e2是两个不共线的非零向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？
（2）如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
（3）基底给定时，向量分解形式唯一吗？
【例3】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
【学习小结】
平面向量基本定理：
如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
【精炼反馈】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可以作为基底．( )
(2)平面向量的基底不是唯一的．( )
(3)零向量不可作为基底中的向量．( )
2．下列关于基底的说法正确的是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．②
C．①③D．②③
3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
－15 －12 [∵向量e1，e2不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＝6，,3x－4y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－15，,y＝－12.))]
4.如图所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝eq \f(1,2)AB，点N在BC上，且BN＝eq \f(1,3)BC.求证：M，N，D三点共线．