高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列图文课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列图文课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，合作探究释疑解惑，易错辨析，随堂练习，答案2000等内容，欢迎下载使用。

1.掌握等差数列前n项和的性质及应用.2.会求等差数列前n项和的最值.3.能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题.4.提高数学运算和数据分析的能力素养.
一、等差数列前n项和的性质【问题思考】1.已知等差数列{an},其前n项和为Sn.(1)a1+a2,a3+a4,a5+a6有什么大小关系?提示:∵a3+a4=(a1+a2)+4d,a5+a6=(a3+a4)+4d,∴(a5+a6)-(a3+a4)=(a3+a4)-(a1+a2)=4d,即a1+a2,a3+a4,a5+a6构成等差数列.(2)我们知道,a1+a2=S2,a3+a4=S4-S2,a5+a6=S6-S4,则上述关系可以描述为一个怎样的结论?提示:如果{an}是等差数列,那么S2,S4-S2,S6-S4也成等差数列.(3)这种结论可以推广吗?提示:可以推广.
2.填空:在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则(1){an}中连续的n项和构成的数列Sn, S2n-Sn ,S3n-S2n, S4n-S3n ,…构成等差数列,公差为 n2d ;(2)若等差数列{an}有2n项,则S2n= n(a1+a2n) =n(an+an+1)(注:an,an+1为中间两项);
3.做一做:(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　)A.5B.4C.3D.2(2)在等差数列{an}中,S2=4,S4=9,则S6= 　　　　　. 解析:(1)由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15.答案:(1)C　(2)15
三、等差数列前n项和Sn的最值【问题思考】1.你能把等差数列的前n项和公式写成Sn关于n的二次函数的形式吗?
2.这个函数式有何特点?提示:该函数式表示的图象可以看作是二次项系数为 ,过原点的抛物线上的一些点.
3.填空:在等差数列{an}中,(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.4.做一做:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值为　　　　　.解析:Sn=n2-48n=(n-24)2-576.∵n∈N*,∴当n=24时,Sn有最小值-576.答案:-576
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列 也是等差数列.( )(2)若a1>0,d<0,则等差数列中所有的非负项之和最大.( )(3)在等差数列{an}中,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值.( )
【例1】 (1)已知等差数列{an}的前3项和为30,后3项和为90,且前n项和为200,则n等于(　　)A.9B.10C.11D.12(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,则S15=(　　)A.80B.90C.100D.110(3)若一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差d=　　　　　. 
解析:(1)依题意,a1+a2+a3=30,an-2+an-1+an=90,所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=120,所以a1+an=40,
(2)在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,则S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即10,30,S15-40成等差数列,S15-40=50,故S15=90.
答案:(1)B　(2)B　(3)5
【变式训练1】 (1)在项数为2n+1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为　　　　　. (2)在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则S12=　　,a17+a18+a19+a20=　　　.(3)有一个共有100项的等差数列,其奇数项之和与偶数项之和分别为100和200,则公差d=　　　　　. 解析:(1)∵等差数列{an}有2n+1项,S奇-S偶=an,∴an=15.又S2n+1=(2n+1)an,∴165+150=(2n+1)×15,∴n=10.(2)由等差数列的性质,知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b3= S12-S8=5,b4=7,b5=9,即S12=1+3+5=9,a17+a18+a19+a20=b5=9.
(3)(方法一)∵S偶-S奇=50d=100,∴d=2.(方法二)设等差数列{an}的公差为d,则奇数项、偶数项分别构成等差数列,公差为2d.
答案:(1)10　(2)9　9　(3)2
【例2】 在等差数列{an}中,若Sn为其前n项和,且a1=25,S17=S9,则数列{an}的前多少项和最大?
若把条件变为:“a1<0,S9=S12”,该数列前多少项之和最小?解法一:设等差数列{an}的公差为d,
【变式训练2】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a8=82,S41=S9.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn的最大值.解:(1)∵a2+a8=82=2a5,∴a5=41.∵S41=S9,∴41a21=9a5,
【例3】 某长江抗洪指挥部接到预报,24 h后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一个堤坝作为一道防线.经计算,除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外,还需用20台同型号的翻斗车,平均每辆车要工作24 h才能完成任务.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从附近高速公路上抽调,每隔20 min能有一辆车到达,且指挥部最多还可调集24辆车,那么在24 h内能否构筑成这道防线?分析:这25辆车分别工作的时间按一定顺序排起来,组成一个等差数列,计算出这25辆车可以工作的时间,即这个等差数列的前25项和,如果大于或等于总共需要工作的时间,那么就能构筑成这道防线,否则不能.
反思感悟 有关数列的应用问题,应先通过对实际问题相关数据的研究建立关于数列的数学模型,再求出符合实际的答案,可分以下几步考虑:(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征?(2)是求数列{an}的通项还是求其前n项和?(3)列出等式(或方程)求解.(4)怎样求解?(5)答案是怎样的?
【变式训练3】 一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,那么这支车队所有车辆当天一共行驶了多少千米?
解:由题意,知第1辆车休息时行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an},其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.(1)因为a15=-10×15+250=100,所以到下午6时,最后一辆车行驶了100 min.(2)因为这支车队所有车辆行驶的总时间为
不能正确应用等差数列的前n项和公式致错
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:不能正确应用等差中项的结论转化出2a7=a1+a13致错,或者没有注意到等差数列的前n项和是关于n的二次式而出现错误.
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40=(　　)A.110B.150C.210D.280解析:等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=10,S20=60,则S20-S10=50.由等差数列的性质,得10,50,S30-S20,S40-S30仍然是等差数列,公差为40,故S30-S20=90,S40-S30=130,则S30=150,S40=280.答案:D
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则m等于(　　)A.10B.20C.38D.9解析:∵{an}为等差数列,∴am-1+am+1=2am,
得am=0(舍)或am=2.又S2m-1=(2m-1)am=38,∴m=10.答案:A
4.某班20名同学植树节那天在一段直线公路的一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为　　　　　m. 解析:假设20名同学是1号到20号依次排列,若使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,