2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试题(解析版+原卷板)

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1. 地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（ ）
A. 64×105B. 6.4×105C. 6.4×106D. 6.4×107
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：6400000=6.4×106，
故选C．
点睛：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 面积为3的正方形的边长范围在（ ）
A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先求出边长，然后根据无理数估算判断即可．
【详解】解：∵ 正方形的面积为3，
∴ 正方形的边长为
∵1＜＜2
∴面积为3的正方形的边长范围在1和2之间
故选B．
【点睛】本题是对无理数知识的考查，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键．
3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 球
【3题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】由已知三视图得到几何体是圆锥．
【详解】由已知三视图得到几何体是以圆锥；
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图；熟记常见几何体的三视图是解答的关键．
4. 不等式﹣x+3≥0的正整数解有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，然后根据不等式的解集求其整数解．
【详解】解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，
∴不等式的正整数解是1，2，3，
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5. 一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三，四象限D. 第二、三、四象限
【5题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．
【详解】∵﹣1＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限，
又∵﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. m2+m2＝2m2B. （m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2
C. （﹣2mn）2＝﹣4m2n2D. （2m）3÷m3＝2
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项、平方差公式、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可．
【详解】解：A.m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；
B.(m﹣n)(n﹣m)＝﹣(n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；
C.(﹣2mn)2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.(2m)3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式是解题的关键．
7. 下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析： ①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．
考点：基本作图.
8. 将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（ ）
A. 15°B. 75°C. 85°D. 165°
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：由三角形的外角的性质可知，
∠α＝60°﹣45°＝15°，
∴α的余角为75°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9. 某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（ ）度．
A. 25%B. 25C. 60D. 90
【9题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据演讲的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再求出美术、音乐所占的百分比，然后用360°乘以音乐所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），
美术所占的百分比是：×100%＝30%，
则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，
则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；
故选：D．
【点睛】此题考查根据条形统计图和扇形统计图求总体并求各部分所占扇形统计图的圆心角度数．
10. 如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【10题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】如图（见解析），过点A作于D，过点B作于E，先根据同角的余角相等求出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后利用勾股定理列式求出BC的长，最后根据锐角的正弦定义列式计算即可得．
【详解】如图，过点A作于D，过点B作于E，设间的距离为
则
是等腰直角三角形
∵，
∴
在和中，
∴
∴
在中，
则
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、正弦三角函数等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
二．填空题（共6小题）
11. 正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴．
【11题答案】
【答案】四
【解析】
【详解】试题分析：根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可．
解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴．
故答案为4．
考点：轴对称图形．
12. 面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是_____分．
【12题答案】
【答案】81
【解析】
【分析】根据加权平均数定义可得．
【详解】解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．
故答案为：81．
【点睛】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．
13. 化简：_____．
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解：
【详解】．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为_____．
【14题答案】
【答案】10
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC＝2BD，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝13，AD是角平分线，AD＝12，
∴BC＝2BD，AD⊥BC．
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
即BD2+122＝132，
解得BD＝5，
∴BC＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．同时考查勾股定理的应用，能正确地识图，根据图形选择合适的方法进行求解是关键．
15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=_____．
【15题答案】
【答案】4.8
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，求出OA，OB，由勾股定理求出AB，再利用菱形的面积公式得到AC•BD=AB•DH，由此求出答案．
【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，
在Rt△AOB中，AB==5，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH，
即×6×8=5DH，
解得DH=4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的性质并熟练应用解决问题是解题的关键．
16. 如图，在正方形ABCD中，AB＝16．连接AC，点P在线段AC上，PA＝AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN与边BC相交于点F．当△AEP的面积为时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是_____．
【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】如图，作点Ｆ关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．利用三角形的面积公式求出AE，再利用相似三角形的性质求出KF，利用勾股定理求出AF，AH，GH+AG+GF的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，作点F关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝16，
∴AC＝AB＝16，
∵PA＝AC，
∴PA＝4，
∵PJ⊥AJ，∠PAJ＝45°，
∴PJ＝AJ＝4，BJ＝16﹣4＝12，
∵PK⊥BC，
∴∠B＝∠PJB＝∠PKB＝90°，
∴四边形PJBK是矩形，
∴PK＝BJ＝12，
∵S△PAE＝＝•AE•PJ，
∴AE＝，EJ＝4﹣＝，
∵∠JPK＝∠MPN＝90°，
∴∠JPE＝∠FPK，
∵∠PJE＝∠PKF＝90°，
∴△PJE∽△PKF，
∴，
∴，
∴FK＝，CF＝12+＝，BF＝，
∴BH＝+16＝30，
∴AF＝＝＝，AH＝＝＝34，
∵GF＝GH，
∴AG+FG＝AG+GH，
∵AG+GH≥AH，
∴AG+GH≥34，
∴GA+FG的最小值为34，
∴△AFG的周长的最小值为34+．
故答案为：34+．
【点睛】本题考查了正方形的性质及最短路径问题，熟练使用正方形的性质，相似的判定及性质，最短路径的确定是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17. 计算：|1﹣6cs30°|﹣+（﹣）﹣2﹣（﹣3）0．
【17题答案】
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝|1﹣6×|﹣3+4﹣1
＝3﹣1﹣3+4﹣1
＝2．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
18. 一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．
（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．
①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；
②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．
（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．
【18题答案】
【答案】（1）①图见解析，，②；（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）根据题意画图如下：
①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，
则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是；
②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，
则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是；
故答案为： ；
（2）根据题意画图如下：
共有6种等情况数，其中两次摸到球的颜色能配成紫色的有4种，
则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ；
故答案为：．
【点睛】此题考查列表法或树状图求概率，难度一般,需注意实验为放回实验还是不放回实验．
19. 如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．
（1）求EF的长；
（2）直接写出▱ABCD的面积 ．
【19题答案】
【答案】（1）2；（2）8
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）∵∠A＝45°，BD⊥AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DBA＝45°，AD＝DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠DBA＝45°,
∵EF⊥CD，
∴EF⊥AB，
∴△OEB是等腰直角三角形，△DFO是等腰直角三角形，
∵DF＝BE＝1，
∴OE＝BE＝1，OF＝DF＝1，
∴EF＝2；
（2）∵△OEB和△DFO是等腰直角三角形，
∵OE＝EB＝OF＝DF＝1，
∴OD＝OB＝，
∴DB＝2，
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴AB＝，
∴▱ABCD的面积＝AB•EF＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积解答．
20. 某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：
甲队：7，8，9，6，10
乙队：10，9，5，8，8
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是 队．
【20题答案】
【答案】（1）8，8；（2）乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）乙
【解析】
【分析】（1）由中位数、众数的定义求解即可；
（2）根据平均数、方差的计算方法，计算出乙队的平均数和方差即可；
（3）根据两队方差的大小，判断两队成绩波动即可．
【详解】解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列为6，7，8，9，10，其中位数为8；
乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．
故答案为8，8；
（2）乙队的平均成绩为（10+9+5+8+8）＝8，
其方差S2乙＝ [（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]
＝×14＝2.8．
答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；
（3）∵2＜2.8，即S2甲＜S2乙，
∴乙队成绩波动较大．
故答案为乙．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，掌握平均数、中位数、众数确定方法和方差的意义是解答本题的关键．
21. 如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．
①直接写出扇形AOB的面积约为 cm2（结果精确到1cm2）；
②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝ °．
【21题答案】
【答案】（1）见解析；（2）①31，②50或130
【解析】
【分析】（1）根据OA＝OB，可以得到∠OBA＝∠OAB，再根据平行线的性质可以得到∠OBA＝∠DAB，然后即可得到结论成立；
（2）①根据扇形面积的计算公式，可以求得扇形AOB的面积；
②根据圆周角定理，利用分类讨论的方法，可以得到∠AEB的度数．
【详解】（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵OB⊥CB，AD⊥BC，
∴OB∥AD，
∴∠OBA＝∠DAB，
∴∠OAB＝∠DAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，
∴扇形AOB的面积为： ≈31（cm2），
故答案为：31；
②当点在上时，
∵∠AOB＝100°，
∴∠AEB＝50°，
当点在上时，
∠AEB＝
故答案为：50或130．
【点睛】本题以圆为背景，考查了角平分线证明，扇形面积的计算，角度的计算，熟练掌握圆的相关性质，扇形的面积公式，圆周角定理是解题的关键．
22. 某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如表：
(1)请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．
(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【22题答案】
【答案】(1)表格数据符合一次函数的规律，(40≤x≤70)；(2)销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400元
【解析】
【分析】(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：，将(40，140)、(50，120)代入上式，即可求解；
(2)设该商品每天获得的利润为w，则)，即可求解．
【详解】(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：，
将(40，140)、(50，120)代入上式得：，解得：，
故函数的表达式为：)；
(2)设该商品每天获得的利润为，
则)=()()
)()()；
对称轴为(110+40)=75，
∵，故当时，随的增大而增大，而，
∴当x=70时，w有最大值，此时，w=2400，
故销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求解析式，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键．
23. 如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）与一次函数y＝ax+b的图象交于点A(﹣3，1)、B(m，3)．点C的坐标为(1，0)，连接AC，BC．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，直接写出不等式≥ax+b的解集 ；
（3）若点M为y轴的正半轴上的动点，当△ACM是直角三角形时，直接写出点M的坐标 ．
【23题答案】
【答案】（1）y＝﹣，y＝x+4；（2）﹣1≤x＜0或x≤﹣3；（3）(0，13)或(0，)
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）分MC是斜边、CA是斜边、AM是斜边三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：1＝，解得：k＝﹣3，
将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝﹣1，故点B（﹣1，3），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得，
故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y＝﹣，y＝x+4；
（2）观察函数图象得，当x＜0时，x≥﹣1或x≤﹣3时，不等式≥ax+b成立，
即不等式的解集为：﹣1≤x＜0或x≤﹣3，
故答案为：﹣1≤x＜0或x≤﹣3；
（3）设点M（0，m）（m＞0），点C（1，0）、A（﹣3，1），
则MC2＝1+m2，CA2＝（1+3）2+1＝17，AM2＝9+（m﹣1）2，
当MC是斜边时，则1+m2＝17+9+（m﹣1）2，解得：m＝13；
当CA是斜边时，同理可得：m＝（负值已舍去）；
当AM是斜边时，同理可得：m＝﹣4（舍去）；
故答案为（0，13）或（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，几何图形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式，根据图象求取值范围，构成直角三角形的分类讨论是解题的关键．
24. （1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长 ；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长
【24题答案】
【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG，见解析；（2）5﹣5；（3）6或8
【解析】
【分析】（1）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性质可得BE⊥DG；
（2）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．
【详解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，
理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，

∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，
∴∠GAD＝∠EAB，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠ABE+∠ANB＝90°，
∴∠ADG+∠DNH＝90°，
∴∠DHN＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，
∴∠GAD＝∠EAB，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，
∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，
∴∠DEB＝90°，
∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，
∴GE＝5﹣5，
∴AE＝＝5﹣5，
当点E在线段DG上时，

同理可求AE＝5﹣5，
故答案为：5﹣5；
（3）如图，若点G在线段DE上时，

∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，
∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
又∵，
∴△AGD∽△AEB，
∴，∠DGA＝∠AEB，
∴BE＝DG，
∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，
∴∠GAE＝∠DEB＝90°，
∵DB2＝DE2+BE2，
∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，
∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），
∴BE＝12，
∵点M，N分别是BD，DE的中点，
∴MN＝BE＝6；
如图，当点E在线段DG上时，

同理可求：BE＝16，
∵点M，N分别是BD，DE的中点，
∴MN＝BE＝8，
综上所述：MN为6或8，
故答案为：6或8．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．
①直接写出点D的坐标 ；
②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式 ．
【25题答案】
【答案】（1）y＝﹣x2﹣x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣12+3，0)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣x﹣4
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．
（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．
②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），
把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，
得到，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x﹣9．
（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣m﹣9），
S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB
＝×9×（m+12）+×12×（﹣m2﹣m﹣9+9）﹣×12×9
＝﹣6m2﹣72m
＝﹣6（m+6）2+216，
∵﹣6＜0，
∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．
（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．
∵EF垂直平分线段BD，
∴FD＝FB，
∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），
∴102+（m+12）2＝122+12，
∴m＝﹣12﹣3（舍弃）或﹣12+3，
∴D（﹣12+3，0）．
当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣12+3，0）或（﹣3，0）．
故答案为（﹣12+3，0）或（﹣3，0）．
②由①可知∵△EF面积为30，
∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），
把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，
可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4．
故答案为：y＝﹣x2﹣x﹣4．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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