高中人教A版 (2019)4.1 指数第一课时练习

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1．下列各式正确的是( )
A.eq \r(（－3）2)＝－3 B.eq \r(4,a4)＝a
C.eq \r(22)＝2 D.eq \r(3,（－2）3)＝2
解析：选C 由于eq \r(（－3）2)＝3，eq \r(4,a4)＝|a|，eq \r(3,（－2）3)＝－2，故A、B、D错误．
2．化简eq \r(（x＋3）2)－eq \r(3,（x－3）3)得( )
A．6 B．2x
C．6或－2x D．6或2x或－2x
解析：选C 原式＝|x＋3|－(x－3)，当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x，故选C.
3．(多选)若xn＝a(x≠0，n>1，n∈N*)，则下列说法中正确的是( )
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
解析：选BD 当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以B、D说法是正确的，故选B、D.
4．若nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
解析：选C 原式＝eq \r(（m＋n）2)－eq \r(（m－n）2)＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.
5．式子a eq \r(－\f(1,a))可化简为( )
A.eq \r(－a) B.eq \r(a)
C．－eq \r(a) D．－eq \r(－a)
解析：选D 因为 eq \r(－\f(1,a))有意义，所以a<0，所以a eq \r(－\f(1,a))＝－eq \r(－\f(a2,a))＝－eq \r(－a)，故选D.
6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．
解析：因为81的平方根为±9，所以a＝±9.
因为－8的立方根为－2，所以b＝－2，
所以a＋b＝－11或a＋b＝7.
答案：－11或7
7．有下列说法：
①eq \r(3,－125)＝5；②eq \r(4,81)＝±3；③ eq \r(（x＋y）2)＝|x＋y|.
其中，正确的有________(填序号)．
解析：n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，eq \r(3,－125)＝－5，故①错误；eq \r(4,81)＝3，故②错误；eq \r(（x＋y）2)是非负数，故eq \r(（x＋y）2)＝|x＋y|，故③正确．
答案：③
8．若 eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，则(x2 021)y＝________．
解析：因为eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，
所以 eq \r(（x＋1）2)＋ eq \r(（y＋3）2)＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，所以x＝－1，y＝－3.
所以(x2 021)y＝[(－1)2 021]－3＝(－1)－3＝－1.
答案：－1
9．求下列各式的值：
(1) eq \r(7,（－2）7)；
(2) eq \r(4,（3a－3）4)(a≤1)；
(3) eq \r(3,a3)＋eq \r(4,（1－a）4).
解：(1) eq \r(7,（－2）7)＝－2.
(2)∵a≤1，∴eq \r(4,（3a－3）4)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,（1－a）4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))
10．已知a1，n∈N*，化简eq \r(n,（a－b）n)＋eq \r(n,（a＋b）n).
解：∵a当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
∴eq \r(n,（a－b）n)＋eq \r(n,（a＋b）n)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a，n为奇数，,－2a，n为偶数.))
[B级 综合运用]
11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则 eq \r(4,（a－b）4)的值为( )
A．a＋b B．－(a＋b)
C．a－b D．b－a
解析：选D 由题图可知f(－1)＝a－b＋0.1<0，
∴a－b<0.
∴eq \r(4,（a－b）4)＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.
12．已知ab＝－5，则aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))的值是( )
A．2eq \r(5) B．0
C．－2eq \r(5) D．±2eq \r(5)
解析：选B 由题意知ab<0，aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))＝aeq \r(－\f(ab,a2))＋beq \r(－\f(ab,b2))＝aeq \r(\f(5,a2))＋beq \r(\f(5,b2))＝aeq \f(\r(5),|a|)＋beq \f(\r(5),|b|)＝0，故选B.
13．已知eq \r(4,（a－1）4)＋1＝a，则(eq \r(a－1))2＋eq \r(（1－a）2)＋eq \r(3,（1－a）3)＝________．
解析：由eq \r(4,（a－1）4)＋1＝a，得|a－1|＝a－1，即a≥1.
所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.
答案：a－1
14．设f(x)＝eq \r(x2－4)，若0解：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))\s\up12(2)－4)＝eq \r(a2＋\f(1,a2)－2)
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))\s\up12(2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))，
因为0故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))＝eq \f(1,a)－a.
[C级 拓展探究]
15．化简y＝eq \r(4x2＋4x＋1)＋eq \r(4x2－12x＋9)，并画出简图，写出最小值．
解：y＝eq \r(4x2＋4x＋1)＋eq \r(4x2－12x＋9)
＝|2x＋1|＋|2x－3|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－4x，x≤－\f(1,2)，
4，－\f(1,2)4x－2，x≥\f(3,2).))
其图象如图所示．
由图象易知函数的最小值为4.