2021-2022学年江西省上饶市某校初二（下）期中考试数学试卷人教版

这是一份2021-2022学年江西省上饶市某校初二（下）期中考试数学试卷人教版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A.0.5B.17C.−3D.8

2. 如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在格点上，则BC边上的高等于（ ）

A.2.5B.2.6C.1.7D.1.6

3. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD,AC=7,AB=4，则DE的值为（ ）

A.1B.2C.12D.32

4. 2、6、m是某三角形三边的长，则m−42−m−82等于（ ）
A.2m−12B.12−2mC.12D.−4

5. 如图，在Rt△ABC中， ∠B=90∘，作AC的中垂线l交BC于点D，连接AD，若AB=3,BC=9，则BD的长为（ ）

A.6B.5C.4D.3

6. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③S△AOB=S四边形DEOF；④AO=OE中，错误的有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

已知长方形的面积是48cm2，其中一边的长是32，则该长方形的周长为________.

在平面直角坐标系中，点3,−2到原点的距离是________.

在▱ABCD中， AB=3cm,AD=4cm,∠A=120∘，则▱ABCD的面积是________.

中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD=12cm，AC=16cm，直线EF⊥AB交两对边于E、F，则EF的长为________cm．


如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE=CF，则BF+CE的最小值为________.


如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．

三、解答题

计算：
（1）8−50；
（2）23−12−3+13−1.

如图，五边形ABCDE是某学校的一块空地，校方计划沿AC、AD修两条小路，并在ΔACD内种植某种草皮，经测量，△ABC和△ADE恰好为两个等腰直角三角形，且∠B=∠E=90∘，AB=202米，AE=252米，CD=30米．求种植草皮部分 △ACD的面积．


如图，四边形ABCD是正方形， △EDC是等边三角形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作CD的中点M．
（2）在图2中，在CD边上作一点N，使CN=14CD.

先化简，再求值：23x9x+y2xy3−x21x−5xyx，其中x=12，y=4.

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB=60∘ ，求证：△OBE是等腰三角形．


如图，已知圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是________.
（2）求该长度最短的金属丝的长．

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90∘，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求证：AB=BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．

如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．

(1)求证：四边形BPEQ是菱形；

(2)若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．

阅读下列解题过程：15+3=1×(5−3)(5+3)(5−3)=5−3(5)2−(3)2
=5−35−3=5−32；请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：①413−3；②1n+n−2；

(2)利用上面提供的解法，请计算：(15+2+18+5+111+8
+…+13n+2+3n−1)(3n+2+2)．

如图，已知四边形ABCD为正方形， AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

(1)求证：矩形DEFG是正方形；

(2)探究： CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

操作探究1：
（1）如图1，将正方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B与正方形的对角线AC上的点F重合．若BE=2，则正方形ABCD的边长是________.
操作探究2：
（2）如图2，将正方形纸片ABCD分别沿CE，CF折叠，使CB，CD在CG处重合．若正方形ABCD的边长为c BE=a,DF=b.
①则∠ECF=________度；
②求证：bc=c−ac+a.
结论应用：
（3）如图3，已知正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，CG⊥EF于点G．若∠BCE=∠GCE，GF=6,EG=4，求CG的长．
拓展应用：
（4）如图4，已知四边形ABCD中，∠BAD=30∘ ∠1+2∠2=180∘ ∠3+2∠4=180∘ ．若BC=a，DC=b,AC=c,BD=dd请画出解决本题的辅助线，然后直接写出a，b，c，d的数量关系．
参考答案与试题解析
2021-2022学年江西省上饶市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
最简二次根式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
2.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
3.
【答案】
D
【考点】
角平分线的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
4.
【答案】
A
【考点】
二次根式的性质与化简
三角形三边关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
5.
【答案】
C
【考点】
线段垂直平分线的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
6.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
二、填空题
【答案】
202(cm)
【考点】
二次根式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
202(cm)
【答案】
13
【考点】
求坐标系中两点间的距离
【解析】
此题暂无解析
【解答】
13
【答案】
63cm2
【考点】
平行四边形的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
63cm2
【答案】
485
【考点】
菱形的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
485
【答案】
222
【考点】
矩形的性质
轴对称——最短路线问题
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
222
【答案】
5或45或52
【考点】
矩形的性质
勾股定理
等腰三角形的判定与性质
【解析】
分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=2AE=5 2即可；
②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；
③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．
【解答】
解：如图所示：
①当AP=AE=5时，
∵ ∠BAD=90∘，
∴ △AEP是等腰直角三角形，
∴ 底边PE=2AE=5 2；
②当P1E=AE=5时，
∵ BE=AB−AE=8−5=3，∠B=90∘，
∴ P1B=P1E2−BE2=4，
∴ 底边AP1=AB2+P1B2=82+42=4 5；
③当P2A=P2E时，底边AE=5.
综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5 2或4 5或5.
故答案为：5或45或52．
三、解答题
【答案】
解：（1）原式=22−52
=−32.
（2）原式=12−43+1−3−1
=13−43−2
=11−43.
【考点】
二次根式的混合运算
二次根式的性质与化简
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）原式=22−52
=−32.
（2）原式=12−43+1−3−1
=13−43−2
=11−43.
【答案】
解：∵ △ABC和△ADE恰好为两个等腰直角三角形， ∠B=∠E=90∘，
∴ AB=BC=202米，DE=AE=252米，
∴ AC=AB2+BC2=40（米），AD=AE2+DE2=50（米），
∵ CD=30米，
∴ AC2+CD2=402+302=502=AD2，
∴ ∠ACD=90∘，
∴ S△ACD=12AC⋅DC=12×40×30=600（平方米），
答：种植草皮部分△ACD的面积为600平分米．
【考点】
等腰直角三角形
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ △ABC和△ADE恰好为两个等腰直角三角形， ∠B=∠E=90∘，
∴ AB=BC=202米，DE=AE=252米，
∴ AC=AB2+BC2=40（米），AD=AE2+DE2=50（米），
∵ CD=30米，
∴ AC2+CD2=402+302=502=AD2，
∴ ∠ACD=90∘，
∴ S△ACD=12AC⋅DC=12×40×30=600（平方米），
答：种植草皮部分△ACD的面积为600平分米．
【答案】
解：（1）如图1，点M为所作；
（2）如图2，点N为所作．
【考点】
作图—尺规作图的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）如图1，点M为所作；
（2）如图2，点N为所作．
【答案】
解：原式=2xx+xy−xx+5xy
=xx+6xy，
当x=12,y=4时，原式=1212+612×4=24+62=2524.
【考点】
二次根式的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=2xx+xy−xx+5xy
=xx+6xy，
当x=12,y=4时，原式=1212+612×4=24+62=2524.
【答案】
证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴ OA=OB,
又∵ ∠AOB=60∘,
∴ △AOB为等边三角形．
∴ OA=OD=OB=AB=OC,
∵ AE平分∠BAD交BC于点E，
∴ ∠BAE=45∘，
∴ AB=BE，
∴ BE=OB，
∴ △OBE是等腰三角形．
【考点】
等腰三角形的判定
正方形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴ OA=OB,
又∵ ∠AOB=60∘,
∴ △AOB为等边三角形．
∴ OA=OD=OB=AB=OC,
∵ AE平分∠BAD交BC于点E，
∴ ∠BAE=45∘，
∴ AB=BE，
∴ BE=OB，
∴ △OBE是等腰三角形．
【答案】
解：（1）因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．
故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵ 圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，
∴ 该长度最短的金属丝的长为2AC=2102+4π2=44π2+25.
【考点】
平面展开-最短路径问题
圆柱的展开图及侧面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．
故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵ 圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，
∴ 该长度最短的金属丝的长为2AC=2102+4π2=44π2+25.
【答案】
证明：（1）连接AC．
∵ ∠ABC=90∘，
∴ AB2+BC2=AC2．
∵ CD⊥AD，
∴ AD2+CD2=AC2．
∵ AD2+CD2=2AB2，
∴ AB2+BC2=2AB2，
∴ BC2=AB2，
∵ AB>0，BC>0，
∴ AB=BC．
（2）过C作CF⊥BE于F．
∵ BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴ ∠FED=∠CFE=∠D=90∘，
∴ 四边形CDEF是矩形．
∴ CD=EF．
∵ ∠ABE+∠BAE=90∘，∠ABE+∠CBF=90∘，
∴ ∠BAE=∠CBF，
∴ 在△BAE与△CBF中
∴ ∠AEB=∠BFC∠BAE=∠CBFAB=BC，
∴ △BAE≅△CBF(AAS)，
∴ AE=BF．
∴ BE=BF+EF=AE+CD．
【考点】
勾股定理
全等三角形的性质与判定
矩形的判定与性质
【解析】
（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；
（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≅△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．
【解答】
证明：（1）连接AC．
∵ ∠ABC=90∘，
∴ AB2+BC2=AC2．
∵ CD⊥AD，
∴ AD2+CD2=AC2．
∵ AD2+CD2=2AB2，
∴ AB2+BC2=2AB2，
∴ BC2=AB2，
∵ AB>0，BC>0，
∴ AB=BC．
（2）过C作CF⊥BE于F．
∵ BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴ ∠FED=∠CFE=∠D=90∘，
∴ 四边形CDEF是矩形．
∴ CD=EF．
∵ ∠ABE+∠BAE=90∘，∠ABE+∠CBF=90∘，
∴ ∠BAE=∠CBF，
∴ 在△BAE与△CBF中
∴ ∠AEB=∠BFC∠BAE=∠CBFAB=BC，
∴ △BAE≅△CBF(AAS)，
∴ AE=BF．
∴ BE=BF+EF=AE+CD．
【答案】
(1)证明：∵ PQ垂直平分BE，
∴ PB=PE，OB=OE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD // BC，
∴ ∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
∠PEO=∠QBO，OB=OE，∠POE=∠QOB，
∴ △BOQ≅△EOP(ASA)，
∴ PE=QB，
又∵ AD // BC，
∴ 四边形BPEQ是平行四边形，
又∵ PB=PE，
∴ 四边形BPEQ是菱形；
(2)解：∵ O，F分别为PQ，AB的中点，
∴ AE+BE=2OF+2OB=18，
设AE=x，则BE=18−x，
在Rt△ABE中，62+x2=(18−x)2，
解得x=8，
BE=18−x=10，
∴ OB=12BE=5，
设PE=y，则AP=8−y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+(8−y)2=y2，解得y=254，
在Rt△BOP中，PO=(254)2−52=154，
∴ PQ=2PO=152．
【考点】
菱形的判定
三角形中位线定理
勾股定理
线段垂直平分线的性质
全等三角形的判定
全等三角形的性质
【解析】
（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE，由ASA证明△BOQ≅△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=20F+20B=18，设AE=x，则BE=18−x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=(18−x)2，BE=10，得到OB=12BE=5，设PE=y，则AP=8−y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+(8−y)2=y2，解得y=254，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO=(254)2−52=154，由PQ=2PO即可求解．
【解答】
(1)证明：∵ PQ垂直平分BE，
∴ PB=PE，OB=OE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD // BC，
∴ ∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
∠PEO=∠QBO，OB=OE，∠POE=∠QOB，
∴ △BOQ≅△EOP(ASA)，
∴ PE=QB，
又∵ AD // BC，
∴ 四边形BPEQ是平行四边形，
又∵ PB=PE，
∴ 四边形BPEQ是菱形；
(2)解：∵ O，F分别为PQ，AB的中点，
∴ AE+BE=2OF+2OB=18，
设AE=x，则BE=18−x，
在Rt△ABE中，62+x2=(18−x)2，
解得x=8，
BE=18−x=10，
∴ OB=12BE=5，
设PE=y，则AP=8−y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+(8−y)2=y2，解得y=254，
在Rt△BOP中，PO=(254)2−52=154，
∴ PQ=2PO=152．
【答案】
解：(1)①413−3=4(13+3)(13−3)(13+3)=13+3；
②1n+n−2=n−n−2(n+n−2)(n−n−2)=n−n−22.
(2)(15+2+18+5+111+8
+…+13n+2+3n−1)(3n+2+2)
=13(5−2+8−5+11−8
+...+3n+2−3n−1)(3n+2+2)
=13(3n+2−2)(3n+2+2)
=n．
【考点】
分母有理化
【解析】
(1)观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答(1)题的关键是找出分母的有理化因式．
(2)先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．
【解答】
解：(1)①413−3=4(13+3)(13−3)(13+3)=13+3；
②1n+n−2=n−n−2(n+n−2)(n−n−2)=n−n−22.
(2)(15+2+18+5+111+8
+…+13n+2+3n−1)(3n+2+2)
=13(5−2+8−5+11−8
+...+3n+2−3n−1)(3n+2+2)
=13(3n+2−2)(3n+2+2)
=n．
【答案】
解：(1)过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，∠ECN=45∘，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90∘，且NE=NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM=EN．
∵四边形DEFG是矩形，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90∘，
∴∠DEN=∠MEF.
在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≅△FEM，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG是正方形．
(2)CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90∘.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90∘，
∴∠ADE=∠CDG．
在△ADE和△CDG中，AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，
∴△ADE≅△CDG，
∴AE=CG，
∴AC=AE+CE=2AB=2×42=8，
∴CE+CG=8．
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的判定
正方形的性质
矩形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，∠ECN=45∘，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90∘，且NE=NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM=EN．
∵四边形DEFG是矩形，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90∘，
∴∠DEN=∠MEF.
在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≅△FEM，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG是正方形．
(2)CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90∘.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90∘，
∴∠ADE=∠CDG．
在△ADE和△CDG中，AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，
∴△ADE≅△CDG，
∴AE=CG，
∴AC=AE+CE=2AB=2×42=8，
∴CE+CG=8．
【答案】
解：（1）∵ 四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴ ∠BAD=∠B=90∘ ，∠BAF=45∘，
由题意，得：△CBE≅△CFE，
∴ EF=BE=AF=2 ，∠EFC=∠B=90∘，
∴ 在Rt△AEF中，由勾股定理可得：AE=AF2+EF2=22，
∴ AB=AE+EB=22+2.
故答案为：22+2
（2）①由题可知，将正方形纸片ABCD分别沿CE，CF折叠后得到△CGE ，△CGF，
∴ ∠BCE=∠GCE ，∠DCF=∠GCF，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠BCD=90∘，
∴ ∠BCE+∠GCE+∠DCF+∠GCF=2∠ECF=90∘，
∴ ∠ECF=45∘.
故答案为：45；
②证明：由题意知将正方形ABCD折叠后可知， S△BEC=S△CEC,S△CDF=S△CGF，
∵ BE=a,DF=b,BC=AD=AB=CD=c ，
∴ AF=c−b,AE=c−a，
∵ S正方形ABCD=c2=2⋅S△BEC+2⋅S△CDE+S△AEF，
又∵ BE=a, DF=b，
∴ BC=AD=AB=CD=c，
∴ AF=c−b,AE=c−a，
∴ c2=2×12a⋅c+2×12b⋅c+12c−bc−a，
即c2=ac+ab+bc，则bc+a=cc−a，
∴ bc=c−ac+a，
（3）∵ ∠BCE=∠GCE，∴ EC为∠BCG的角平分线，
∵ CG⊥EF ，∠B=90∘，∴ BE=EG=4,∠B=∠CGG=90∘，
∴ △BCE≅△GCE AAS，
∴ BC=CD=CG,∠D=∠CGF=90∘,FC=FC，
∴ △DCF≅△GCF HL，
∴ GF=DF=6，
由（2）②bc=c−ac+a得：DFBC=BC−BEBC+BE，
∴ 6BC=BC−4BC+4，
∴ BC=12，
∴ CG=BC=12，
（4）如图4，延长BD到点F使DF=CD，连接AF，延长DB到点E使BE=BC，连接AE，
∵ ∠2+∠EBA=180∘ ，∠1+2∠2=180∘，
∴ ∠1+∠2=∠EBA，即∠CBA=∠EBA，
：=∵ BE=BC,AB=AB，
∴ △CBA≅△EBASAS，
∴ AE=AC ，∠CAB=∠EAB，
同理：△CDA≅△FDASAS，
∴ AF=AC ，∠CAD=∠FAD，
∴ AE=AF=AC，
∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠DAC+∠DAF=2∠BAC+∠DAC=2∠BAD，
∵ ∠BAD=30∘，
∴ ∠EAF=60∘，
∴ △EAF是等边三角形，
∴ AE=EF=BE+BD+DF=AC，
∵ BC=a,DC=b,AC=c,BD=d，
∴ a+b+d=c.
【考点】
全等三角形的性质与判定
四边形综合题
勾股定理
等边三角形的性质与判定
翻折变换（折叠问题）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ 四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴ ∠BAD=∠B=90∘ ，∠BAF=45∘，
由题意，得：△CBE≅△CFE，
∴ EF=BE=AF=2 ，∠EFC=∠B=90∘，
∴ 在Rt△AEF中，由勾股定理可得：AE=AF2+EF2=22，
∴ AB=AE+EB=22+2.
故答案为：22+2
（2）①由题可知，将正方形纸片ABCD分别沿CE，CF折叠后得到△CGE ，△CGF，
∴ ∠BCE=∠GCE ，∠DCF=∠GCF，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠BCD=90∘，
∴ ∠BCE+∠GCE+∠DCF+∠GCF=2∠ECF=90∘，
∴ ∠ECF=45∘.
故答案为：45；
②证明：由题意知将正方形ABCD折叠后可知， S△BEC=S△CEC,S△CDF=S△CGF，
∵ BE=a,DF=b,BC=AD=AB=CD=c ，
∴ AF=c−b,AE=c−a，
∵ S正方形ABCD=c2=2⋅S△BEC+2⋅S△CDE+S△AEF，
又∵ BE=a, DF=b，
∴ BC=AD=AB=CD=c，
∴ AF=c−b,AE=c−a，
∴ c2=2×12a⋅c+2×12b⋅c+12c−bc−a，
即c2=ac+ab+bc，则bc+a=cc−a，
∴ bc=c−ac+a，
（3）∵ ∠BCE=∠GCE，∴ EC为∠BCG的角平分线，
∵ CG⊥EF ，∠B=90∘，∴ BE=EG=4,∠B=∠CGG=90∘，
∴ △BCE≅△GCE AAS，
∴ BC=CD=CG,∠D=∠CGF=90∘,FC=FC，
∴ △DCF≅△GCF HL，
∴ GF=DF=6，
由（2）②bc=c−ac+a得：DFBC=BC−BEBC+BE，
∴ 6BC=BC−4BC+4，
∴ BC=12，
∴ CG=BC=12，
（4）如图4，延长BD到点F使DF=CD，连接AF，延长DB到点E使BE=BC，连接AE，
∵ ∠2+∠EBA=180∘ ，∠1+2∠2=180∘，
∴ ∠1+∠2=∠EBA，即∠CBA=∠EBA，
：=∵ BE=BC,AB=AB，
∴ △CBA≅△EBASAS，
∴ AE=AC ，∠CAB=∠EAB，
同理：△CDA≅△FDASAS，
∴ AF=AC ，∠CAD=∠FAD，
∴ AE=AF=AC，
∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠DAC+∠DAF=2∠BAC+∠DAC=2∠BAD，
∵ ∠BAD=30∘，
∴ ∠EAF=60∘，
∴ △EAF是等边三角形，
∴ AE=EF=BE+BD+DF=AC，
∵ BC=a,DC=b,AC=c,BD=d，
∴ a+b+d=c.