江西省上饶市广丰区东昌学校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份江西省上饶市广丰区东昌学校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了5，则△ABC的周长是，【答案】C，【答案】B，【答案】D，【答案】x≤3，【答案】5，【答案】−2x等内容，欢迎下载使用。
江西省上饶市广丰区东昌学校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（本题共6小题，共18分）下列各式中，是二次根式的是A.  B.  C.  D. 下列计算正确的是A.  B.  C.  D. 已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为A.  B.  C.  D. 下列命题中正确的是A. 矩形的对角线相等且互相垂直
B. 对角线相等的平行四边形是菱形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D. 矩形的对角线平分一组对角如图，是的边的中点，平分，且，垂足为，且，，，则的周长是A.
B.
C.
D. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，二．填空题（本题共6小题，共18分）如果二次根式有意义，那么的取值范围是______．如图，点在数轴上所表示的数为，于点，且，以点为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点，那么点表示的数是______．若，则等于______．如图，矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，，则的长为______．

  如图，是以为斜边的直角三角形，，，为上一动点，且于，于，则线段长度的最小值是______．

  如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为______．
三．解答题（本题共12小题，共84分）计算：．已知，如图、是四边形的对角线上的两点，，，，四边形是平行四边形吗？请说明理由．已知的三边长、、满足，试判断的形状，并说明理由．如图，在矩形中，、相交于点，于点若，求的度数．
如图，、是不同边上的高，点、分别是、的中点，试证明．

  如图，平行四边形中，点在上，且，试分别在两个图中按要求使用无刻度直尺画图保留作图痕迹
在图中，画出的平分线；
在图中，画出的平分线．
若，，求：
；
．如图，在长方形中，将沿对折至位置，与交于点．
试说明：；
如果，，求的长．

  如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．
求证：；
如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点．
求度数；
连，取中点，连接，若，，求的长．
阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦--秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
求的面积；
设边上的高为，边上的高为，求的值．如图，在矩形中，，，，分别是，边上的点，且，，，分别是对角线上的四等分点，顺次连接，，，，．求证：四边形是平行四边形；
填空：当______时，四边形是矩形；
当______时，四边形是菱形；
求四边形的周长的最小值．
答案和解析 1.【答案】【解析】解：、是二次根式，故此选项正确；
B、，根号下不能是负数，故不是二次根式；
C、是立方根，故不是二次根式；
D、，根号下不能是负数，故不是二次根式；
故选：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
 2.【答案】【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C.，此选项计算正确；
D.，此选项计算错误；
故选：．
根据二次根式的加减运算法则和乘除运算法则逐一判断即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 3.【答案】【解析】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，
根据勾股定理得：，
，
，即，
则．
故选B．
设出直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，利用勾股定理列出关系式，再由三边的平方和为，列出关系式，联立两关系式，即可求出斜边的长．
此题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 4.【答案】【解析】解：、矩形的对角线相等且互相平分，不一定垂直，故不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故符合题意；
D、矩形的对角线不一定平分所在的对角，故不符合题意；
故选：．
根据特殊平行四边形的定义及性质逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握特殊平行四边形的定义及性质是解答此题的关键．
 5.【答案】【解析】解：延长线段交于．
平分，
，，，
≌，
，，
又是的边的中点，
，
的周长是，
故选：．
延长线段交于，从而构造出全等三角形，≌，进而证明是中位线，从而求出的长．
本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．
 6.【答案】【解析】解：五种正方形纸片，面积分别是，，，，，
五种正方形纸片的边长分别是，，，，，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的三角形是直角三角形，面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的三角形是直角三角形，面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的直角三角形的面积是，
，
所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是，，，
故选：．
根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 7.【答案】【解析】解：二次根式有意义，则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 8.【答案】【解析】解：在中，，，
．
以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点，
，
点表示的实数是．
故答案为：．
根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
 9.【答案】【解析】解：，


．
故答案为：．
首先计算开平方和开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．
此题主要考查了算术平方根和立方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：算术平方根本身是非负数．
 10.【答案】【解析】解：设，则．
根据折叠的性质，得
．
，
．
．
．
在直角三角形中，根据勾股定理，得

．
故答案为：．
设，则根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，根据勾股定理即可求解．
此题主要是运用了折叠的性质、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理．
 11.【答案】【解析】解：连接．

，，
；
又，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
即当时，最小，
，，
，
，
．
线段长的最小值为；
故答案是：．
先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．
本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出时，取最小值是解答此题的关键．
 12.【答案】或或【解析】解：如图，作于．

，，
，
点是的中点，
，
，
，，
当时，可得，，，
当时，，
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 13.【答案】解：


．【解析】先化简，再算乘法与除法，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 14.【答案】解：结论：四边形是平行四边形，
证明：，
，
又  ，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形．【解析】首先根据条件证明≌，可得到，，可证出，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出≌．
 15.【答案】解：为直角三角形，理由如下：
由题意得，，，
所以，，，
因为，
所以，
为直角三角形．【解析】根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形．
此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出，，的值．
 16.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
；
故的度数为．【解析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 17.【答案】证明：如图，连接、，
、分别是的、边上的高，点是的中点，
，
点是的中点，
．【解析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
 18.【答案】解：如图所示，平分．
如图，平分．
 【解析】如图所示，连接，则平分．
如图所示，连接，，交于点，连接，则平分．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 19.【答案】解：，，
，，
原式；
原式．【解析】由与的值求出与的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，再利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 20.【答案】证明：将沿对折至位置，
，
又在矩形中，，
，
，
；
解：设，则，，
在直角中，，
，即，
解得：，
即的长为．【解析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
根据平行线的性质以及折叠的性质可以证明，然后根据等角对等边即可证得；
设，则，，在直角中根据勾股定理即可列方程求得的长．
 21.【答案】证明：
，
，
是的中点，
，
，
≌，
，
，
；

四边形是矩形．
理由：
，是的中点，
，

，
过点作的平行线交的延长线于点，即，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．【解析】先由，利用平行线的性质可证，而是中点，那么，，利用可证≌，那么有，又，从而有；
四边形是矩形．由于平行等于，易得四边形是平行四边形，又，，利用等腰三角形三线合一定理，可知，即，那么可证四边形是矩形．
本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
 22.【答案】解：、、分别是、、的中点，
，．
，．
．
如图所示：连接、．

、分别是和的中点，
，．
同理：，．
四边形为平行四边形．
、、分别是、、的中点，
，，
由可知：，
四边形为矩形．
．
．【解析】首先证明，，由平行线的性质可知，，从而可证明；
连接、首先证明四边形为矩形，然后利用勾股定理求解即可．
本题主要考查的是三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、平行线的性质的综合应用，证得四边形是矩形是解题的关键．
 23.【答案】解：根据题意知，
所以，
的面积为；
，
，
，，
．【解析】根据题意先求，再将，，，的值代入题中所列面积公式计算即可；
按照三角形的面积底高分别计算出和的值，再求和即可．
本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，分别是对角线上的四等分点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
当时，四边形是矩形．理由如下：
连接，如下图，

，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，分别是对角线上的四等分点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
故答案为：；
当时，四边形是菱形．理由如下：
连接、、，如下图，

，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
四边形是菱形，
，即，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：；
解：过作于，延长到点，使得，连接，，过作于点，如下图，

则，，，
，
，
，
，
，
当、、三点共线，的值最小，其值为，
四边形的周长的最小值为：．
证明≌，进而得，，便可得结论；
连接，证明四边形为平行四边形，得，进而得四边形是矩形；
连接、、，证明四边形是菱形，得，便可得四边形是菱形；
过作于，连接到点，使得，连接，与交于点，过作于点，求得的最小值为，进而便可求得四边形的周长的最小值．
本题主要考查了矩形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，菱形的性质与判定，将军引马的应用，关键是综合应用矩形、菱形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，将军引马原理等知识解决问题．