人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第二课时学案

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[例1] (1)函数y＝lg2|x－2|在区间(2，＋∞)上的单调性为( )
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
(2)函数y＝lg(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是________．
[解析] (1)当x>2时，函数f(x)＝lg2|x－2|＝lg2(x－2)．又函数y＝lg2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数，故y＝lg2|x－2|在区间(2，＋∞)上是一个单调增函数，故选C.
(2)由－x2＋2x＋3>0得－1设u(x)＝－x2＋2x＋3，
则u(x)在区间(－1，1]上单调递增，在区间[1，3)上单调递减．
所以函数y＝lg(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是(－1，1]．
[答案] (1)C (2)(－1，1]
eq \a\vs4\al()
形如y＝lgaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝lgaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
[注意] 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
[跟踪训练]
1．若y＝lg(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝lg(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
2．讨论函数y＝lga(3x－1)的单调性．
解：由3x－1>0，得函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3))))).
当a>1，x>eq \f(1,3)时，
函数f(x)＝lga(3x－1)为增函数；
当0eq \f(1,3)时，
函数f(x)＝lga(3x－1)为减函数．
[例2] 求下列函数的值域：
(1)y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(－x2＋2x＋1)；
(2)f(x)＝lg2eq \f(x,4)·lg2eq \f(x,2)(1≤x≤4)．
[解] (1)设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))t为减函数，且0(2)∵f(x)＝lg2eq \f(x,4)·lg2eq \f(x,2)＝(lg2x－2)·(lg2x－1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，
又∵1≤x≤4，∴0≤lg2x≤2，
∴当lg2x＝eq \f(3,2)，
即x＝2eq \s\up6(\f(3,2))＝2eq \r(2)时，f(x)取最小值－eq \f(1,4)；
当lg2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2，
∴函数f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).
eq \a\vs4\al()
求对数型函数值域的方法
(1)求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数型函数进行换元，把复杂问题简单化．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝3lgeq \s\d9(\f(1,3))x的定义域为[3，9]，则函数f(x)的值域是________．
解析：∵y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))x在(0，＋∞)上是减函数，
∴当3≤x≤9时，lgeq \s\d9(\f(1,3))9≤lgeq \s\d9(\f(1,3))x≤lgeq \s\d9(\f(1,3))3，
即－2≤lgeq \s\d9(\f(1,3))x≤－1，
∴－6≤3lgeq \s\d9(\f(1,3))x≤－3，
∴函数f(x)的值域是[－6，－3]．
答案：[－6，－3]
2．函数y＝2x－lgeq \s\d9(\f(1,2))(x＋1)在区间[0，1]上的最大值为________，最小值为________．
解析：因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(x＋1)在[0，1]上单调递减，所以y＝f(x)＝2x－lgeq \s\d9(\f(1,2))(x＋1)在[0，1]上单调递增，所以y的最大值为f(1)＝21－lgeq \s\d9(\f(1,2))2＝2－(－1)＝3，最小值为f(0)＝20－lgeq \s\d9(\f(1,2))1＝1－0＝1.
答案：3 1
[例3] 已知函数f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．
[解] (1)要使此函数有意义，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1>0，
x－1>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1<0，
x－1<0，))
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝lgaeq \f(－x＋1,－x－1)＝lgaeq \f(x－1,x＋1)＝－lgaeq \f(x＋1,x－1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x－1)))，
令u＝1＋eq \f(2,x－1)，则函数u＝1＋eq \f(2,x－1)在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0eq \a\vs4\al()
解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧；
(2)解答问题时应注意定义域优先的原则；
(3)由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论．
[跟踪训练]
已知f(x)＝lg4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域．
解：(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此lg4(4x1－1)即f(x1)(3)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上递增，
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝lg415，
因此f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域为[0，lg415]．
1．已知函数f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )
A．－1 B．1
C．12 D．2
解析：选A ∵由y＝f(x)＝2x，得x＝lg2y，
∴原函数的反函数为g(x)＝lg2x，
则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.故选A.
2．已知函数f(x)＝lg2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是( )
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
解析：选B f(x)＝lg2(1＋2－x)，∵1＋2－x>1，
∴lg2(1＋2－x)>0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.
3．函数f(x)＝lg5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：因为y＝lg5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝lg5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
4．已知函数f(x)＝|lgeq \s\d9(\f(1,2))x|的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，值域为[0，1]，求m的取值范围．
解：作出f(x)＝|lgeq \s\d9(\f(1,2))x|的图象(如图)可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
∴m的取值范围为[1，2]．
对数型函数的单调性
对数型函数的最值与值域
对数函数性质的综合应用