第12讲 最值问题

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例2.六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学至少得了多少分？
例3.有一类自然数，各位数字之和为8888，这类自然数中最小的是多少？
例4.有四袋糖块，其中任意三袋的，总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？
例5.(1)把17分成两个自然数的和，使得它们的乘积最大，应该怎样分？
(2)把17分成几个自然数的和，再求这几个自然数的乘积，问应怎样分才能使所得的乘积最大？
例6.有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选若干个小孩子，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选多少个孩子？
例7.已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个不互不相同的大于0的自然数，要使下列等式都成立：
B+C=A，D+E=B，E+F=C，G+H=D，H+I=E，I+K=F
问：A的值最小是多少？
例8. 表示一个四位数， 表示一个三位数，A、B、C、D、E、F、G代表1至9中的不同的数字，已知 ，问：乘积的最大值与最小值差多少？
例9.图中，将1~13分别城人四个圆相互分制成的13个区域，然后把每个圆
内七个数相加，最后把四个圆的和再相加，总和最大是多少？
例10.一个长方形的周长是22厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积（单位是平方厘米)有多少种可能值？最大、最小各是多少？
例11.有一农户利用一堵墙用篱笆围一个长方形的鸭圈，篱笆长度只有20
米，怎样围才能使面积最大？
例12.考场有20排座位，第一排有20个座位，以后各排都比前一排多一个座位。如果允许考生任意坐，但是不能坐在其他考生的旁边，该考场最多可容纳多少个考生？
例13.120名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人。选举时，每人只能投票选举其中1人。开票途中累计前100张选票中，甲得45票，乙得20票，丙得35票。如果这次选举没有弃权票，也没有废票，得票最多的1人当选，那么，尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就能当选？
例14.图书馆有100本书，借阅图书者需在图书上签名，已知这100本书中有甲、乙、丙签名的图书分别为33本，44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本。问：这批图书中至少多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
例15.一次考试共有5道试题。考后成绩统计如下：有81%的同学做对第1题，91%的同学做对第2题，85%的同学做对第3题，79%的同学做对第4题，74%的同学做对第5题。如果做对三道以上（包括三道）题目的同学为考试合格。试间这次参加考试同学的考试合格率，最多能达到百分之几？至少是百分之几？
同步练习
1.
(1)用1至8这八个数码组成两个四位数，要使这两个数的差尽量小，这个差是几？
(2)将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成三个三位数，一个一位数，并使这四个数的和为99，要求最大的三位数尽可能小，则这个最大的三位数是多少？
(3)有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如246,1347，等等这类数中最大的自然数是几？
2.
(1)A=8888123×8888456,B=8888234×8888345,在A,B两数中，较大的是哪一个？
(2)有两个三位数，构成它们的六个数码互不相同。已知这两个三位数之和等于1771，这两个三位数的乘积最大能是几？
(3)一个三位数除以37，要使商与余数的乘积尽量大，这个三位数是几？
3.某幼儿园的孩子中，任意5个孩子的年龄之和不大于20，所有孩子的年龄之和是140。这个幼儿园至少有多少个孩子？
4.电视台要播放一部30集电视连续剧。如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视剧最多可以播放几天？
5.五人参加一次数学竞赛，一共得了434分，获第一名是100分，其余各人所得分数都是整数，并且每人所得分数都不相同，那么获第五名的最多得多少分？
6.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克。请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为130克。写出你的取法。需要多少个砝码？其中3克、5克和7克的砝码各有几个？
7.把12、37、65、29、46分别填在五个○内。再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个口中的数的平均值填在△中，找出一个填法，使△中的数尽可能小，那么△中填的数是多少？
8.图中的十个圆中填人十个不同的自然数，并且上边圆中的数等于它下方两个与它有短线相连的圆中数之和。最上面的圆中的数最小是多少？
9.在下图的八个小圆中分别填上1~8八个数字，使得图中用线段连接的两个小圆内的数字之差（大数减小数)恰好是1,2,3,4,5,6,7七个数字。不同的填法有很多种，位于中间直线上的四个小圆内的数字之和最大是多少？
10.一千克汽油恰好装满一瓶，一千克机油恰好装半瓶，满装的汽油和机油，两种共10千克，不混装，最多装多少瓶？最少装多少瓶？
11.有六块岩石标本，它们的重量分别是8.5千克、6千克、4千克，4千克、3千克、2千克.要把它们分别装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一点。请写出最重的背包里的岩石标本是多少千克？
12.
①一排椅子共有15个座位，部分座位有人就座。张明来后一看，他无论坐在何处，都要与己就座的相邻。在张明之前已就座的最少有几人？
②在大圆周上有16个小圆圈，小明将其中一些不相邻的小圆圈涂成红色。这时无论再将哪个小圆圈涂成红色，都会使圆周上出现两个相邻的红色小圆圈。问：小明最少涂红了几个小圆圈？说明理由。
13.图中是一个6×6的方格棋盘，现将部分1×1的小方格涂成红色。如果随意划掉3行3列，都要使得剩下的小方格中一定有一个是红色的，那么至少要涂多少个小方格？
14.将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：
123456789101112……9899100
从中划去170个数字，剩下的数字形成一个22位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？
15.某学习小组有4名女生，两名男生。在一次考试中，他们做对试题的数量各不相同，最多对10题，最少对4题，女生中做对最多的比男生中做对最少的多4题，男生中做对最多的比女生中做对最少的多4题，男生中做对最多的人对了几题？
16.甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中有100个故事，每人都从某一个故事开始按顺序往后读.已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有多少个？
17.51个同学投票选一名班长。统计其中40张选票数的结果是：甲得18票，乙得12票，丙得10票，甲至少再得多少张票，才能保证以得票数最多当选班长。
18.有100名选手参加数学奥林匹克竞赛决赛，考试共有5道试题，考后成绩统计如下：有81名同学做对第一题，91名同学做对第二题，85名同学做对第三题，79名同学做对第四题，74名同学做对第五题。如果做对3道以上（包括3道）题的同学可以获奖。
(1)最多有多少名同学可以获奖？
(2)最少有多少名同学可以获奖？
19.已知算术式,其中 、 均为四位数；a、b、c、d、e、f、g、h是0~9中的8个不同整数，且a≠0，c≠0.那么与 之和的最大值是多少？最小值是多少？
20.有一个四位，各位上的数字各不相同，它和它的反序数（所谓反序数就是将原来的数字顺序倒过来排列，例如1234的反序数为4321)之和为一个五位数，且这个五位数的数字排列是以当中的数字为对称的。这样的四位数最大可以是多少？