专题10 动点与函数关系

1．如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒，，则关于的函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：如图，过作于点，

则，，

①当点在上时，，，，

，

该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；由此可排除，，．

②当时，即点在线段上时，；

则，

该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；

③当时，即点在线段上，此时，，

则，

该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；

故选：．

2．如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：①当时，点在上，

，，

过作交于点，

中，，，，

，

，

，

，

②当时，点在上，

，

综上所述，正确的图象是．

故选：．

3．如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间变化的关系图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：如图，

当点在边上运动时，

的面积保持不变，

当点在边上运动时，

过点作于点，

所以，

因为的长不变，

所以是的一次函数，

的长随着时间增大而减小，

所以的值随的增大而减小．

所以符合条件的图象为．

故选：．

4．如图①，在矩形中，动点从出发，以恒定的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为．面积为，若与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为　　

A．36 B．54 C．72 D．81

【解答】解：由题意及图②可知：

，，

矩形的面积为．

故选：．

5．如图，在矩形中，，，动点，同时从点出发，点沿的路径运动，点沿的路径运动，点，的运动速度相同，当点到达点时，点也随之停止运动，连接．设点的运动路程为，为，则关于的函数图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：当时，在中，，，

．

；

当时，，，

；

当时，，，

．

故选：．

6．如图①，在矩形中，为边上的一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，若点、同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是　　

①当时，是等边三角形．

②在运动过程中，使得为等腰三角形的点一共有3个．

③当时，．

④当时，．

⑤当时，．

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤

【解答】解：由图②可知：点、两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动，如图，

①点、两点的运动速度为，

，

四边形是矩形，

．

当时，，

．

．

当时，且保持不变，

点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒，

，即点为的中点．

．

，

为等边三角形．

．

点、同时开始运动，速度均为1 ，

，

当时，为等边三角形．

故①正确；

②如图，当点在的垂直平分线上时，为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；

当时，为等腰三角形，如图：

当时，为等腰三角形，如图：

综上所述，在运动过程中，使得为等腰三角形的点一共有4个．

②不正确；

③过点作于点，如图，

由题意：，

由①知：．

在中，

，

，

．

③正确；

④当时，，如图，

由①知：，

．

，

，

．

，

．

．

，

．

④正确；

⑤当时，此时点在边上，如图，

此时，

．

⑤不正确；

综上，结论正确的有：①③④．

故选：．

7．如图1，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是1厘米秒．现，两点同时出发，设运动时间为（秒，的面积为（厘米，若与的对应关系如图2所示，则矩形的面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，秒，，

过点作于，

由三角形面积公式得：，

解得，

，

由图2可知当时，点与点重合，

，

矩形的面积为．

故选：．

8．如图所示，点是上一动点，它从点开始逆时针旋转一周又回到点，点所走过的路程为，的长为，根据函数图象所提供的信息，的度数和点运动到弧的中点时所对应的函数值分别是　　

A．， B．，2 C．， D．，2

【解答】解：由函数图象可得：的最大值为4，即的最大值为4，

的直径为4，，

观察图象，可得当时，，

，

如图，点是的中点，连接交于点，

则，，，

，

，

，

，，

是等边三角形，

，

故选：．

9．如图①，在等边三角形中，点是边上一动点（不与点，重合），以为边向右作等边，边与相交于点，设，，若与的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为　　

A．3 B． C． D．

【解答】解：，为等边三角形，

，

，

，

又，

，

，

设，

，，

，即．

当时，取得最大值为，

，

等边三角形的面积为．

故选：．

10．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如下图所示，

①当点在点处时，即当时，，

②当点到达边高的位置时，，此时最小，即，

③当时，点对应图2末端时，即，则，

则：，

，

，

．

综上所述，选项、、不合题意，选项符合题意．

故选：．

11．如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：在中，，，

，，

于点，

，

，，

四边形是矩形，

，，

点运动的路程为，

当点从点出发，沿路径运动时，

即时，

，

则，

，

四边形的面积为，

，

当时，抛物线开口向下；

当点沿路径运动时，

即时，

是的平分线，

，

四边形是正方形，

，，

，

．

当时，抛物线开口向上，

综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．

故选：．

12．如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是　　

A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④

【解答】解：根据图（2）可得，当点到达点时，点到达点，

点、的运动的速度都是秒，

，

，故①小题正确；

又从到的变化是2，

，

，

在中，，

，故②小题错误；

过点作于点，

，

，

，

，

当时，，故③小题正确；

当秒时，点在上，此时，，

，

，，

，

又，

，故④小题正确．

综上所述，正确的有①③④．

故选：．

13．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：①当时，

正方形的边长为，

；

②当时，

，

所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有选项图象符合．

故选：．

14．如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动，另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动，设点运动时间为，的面积为，则关于的函数图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题可得，，

当时，在边上，，，则

，

，故选项错误；

当时，点在边上，则

，

，故选项错误；

当时，在边上，，

，

，故选项错误；

故选：．

15．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．

，即．

当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，

．

则，代入，得，解得或3，

因为，即，

所以，．

故选：．

16．如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动，到点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是　　

A．10 B．12 C．20 D．24

【解答】解：根据图象可知，点在上运动时，此时不断增大，

由图象可知：点从向运动时，的最大值为5，即，

点从向运动时，的最小值为4，

即边上的高为4，

当，，

此时，由勾股定理可知：，

由于图象的曲线部分是轴对称图形，

，

，

的面积为：，

故选：．

17．如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点，设点运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意当时，

，

当时，

．

故选：．

18．如图，在正方形中，，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为（秒，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，

到的时间为：，

分两部分：

①当时，如图1，此时在上，

，

②当时，如图2，此时在上，

，

，

．

故选：．

19．如图（1），四边形中，，，从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图（2）所示，当运动到中点时，的面积为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：根据题意得：四边形是梯形，，，

，

，

又，

，

，

当时，，

当时，，，

设当时，与的函数关系式为，

把、代入得：，

解得：，

，

当运动到中点时，，

当时，；

即的面积；

故选：．

20．如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：四边形是边长为1的正方形，

，，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

四边形是平行四边形，

四边形的面积的面积，

设，四边形的面积为，

当时，；

当时，；

综上可知，当时，函数图象是开口向下的抛物线；当时，函数图象是开口向上的抛物线，

符合上述特征的只有，

故选：．