专题02 图形规律

1．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是 　112　个．

【解答】解：因为第1个图形中一共有（个圆，

第2个图形中一共有（个圆，

第3个图形中一共有（个圆，

第4个图形中一共有（个圆；

可得第个图形中圆的个数是（个；

所以第10个图形中圆的个数（个．

故答案为：112．

2．如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多 　　个小正方形．

【解答】解：第1个正方形需要4个小正方形，，

第2个正方形需要9个小正方形，，

第3个正方形需要16个小正方形，，

，

第个正方形有个小正方形，

第个正方形有个小正方形，

故拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形．

故答案为：．

3．将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，则第个图形中，共有 　　个正六边形．

【解答】解：分析可得：将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，增加了3个正六边形，共4个；再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，又增加了3个正六边形，共个；故每次分割，都增加3个正六边形，那么第个图形中，共有．

4．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形；；如此下去．则图⑨中共有 　25　个正方形．

【解答】解：根据题意：从图1开始，每次分割，都会增加3个正方形．

故图⑨中共有个正方形．

5．观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2021个图形中共有 　6064　个〇，第个图形中共有 　　个〇．

【解答】解：观察图形的变化可知：

第1个图形中共有个〇；

第2个图形中共有个〇；

第3个图形中共有个〇；

所以第个图形中共有个〇；

所以第2021个图形中共有〇的个数为：．

故答案为：6064，．

6．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；如此进行下去．利用上述图形，能得出　　．

【解答】解：根据把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，

再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，

再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，

，

所以原式

．

故答案为：．

7．如图，长方形中，，，在直线上，将长方形向右无滑动的滚动下去，（如①为第1次、②为第2次、③为第3次则第2022此滚动后得到的长方形最右侧边与边的距离为　3034　．

【解答】解：四边形是矩形，

，，

第1次滚动后得到的长方形最右侧边与边的距离，

第2次滚动后得到的长方形最右侧边与边的距离，

第3次滚动后得到的长方形最右侧边与边的距离，

第4次滚动后得到的长方形最右侧边与边的距离，

第2022次滚动后得到的长方形最右侧边与边的距离，

故答案为：3034．

8．如图图案均是用相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需7根小木棒，拼搭第2个图案需12根小木棒依此规律，拼搭第个图案需小木棒 　　根．

【解答】解：分析可得：第1个图形中，有根木棒；

第2个图形中，有根木棒；

第3个图形中，有根木棒；

第个图形中，共用木棒的根数是．

故答案为：．

9．如图，从左至右，第1个图案中有6个等边三角形和6个正方形，第2个图案中有10个等边三角形和11个正方形，第3个图案中有14个等边三角形和16个正方形，从第2个图案开始，每个图案比前一个图案多4个等边三角形和5个正方形，则第个图案中等边三角形和正方形的个数之和为 　　个．

【解答】解：第1个图案中有6个等边三角形和6个正方形，

第2个图案中有10个等边三角形和11个正方形，

第3个图案中有14个等边三角形和16个正方形，

，

第个图案中等边三角形的个数为：，

第个图案中正方形的个数为：，

则其和为：，

故答案为：．

10．如图所示，下列各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，，按此规律，那么图8中黑点的个数是 　79　．

【解答】解：由图形的变化规律可知，第个图的正方形边长是，

第个图形中黑点的个数为，

图8中黑点的个数是，

故答案为：79．

11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是 　66　．

【解答】解：第1个图形是，

第2个图形是，

第3个图形是，

第10个图形是．

故答案为：66．

12．如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：

①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为 　　．

【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，

第一次：余下面积，

第二次：余下面积，

第三次：余下面积，

当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，

故答案为：．

13．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形按此规律摆下去，第2021个图案有 　6064　个三角形．

【解答】解：第1个图案三角形的个数为：4，

第2个图案三角形的个数为：，

第3个图案三角形的个数为：，

，

第个图案需要三角形的个数为：，

第2021个图案中三角形的个数为：（个．

故答案为：6064．

14．“数形结合思想”是数学中常用的思想方法之一，它可以借助于数的精确性来阐明图形的某些属性，或者借助图形的几何直观性来阐明数之间某种关系．如图是一组有规律的点阵图案，根据图案显示的规律，可以得到　　．为正整数）

【解答】解：由题意可得，，，，，

，

故答案为：．

15．如图是一组有规律的图案，它是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第个图案中有 　　个涂有阴影的小正方形（用含有的代数式表示）．

【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为，

第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为，

第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为，

，

第个图案涂有阴影的小正方形的个数为．

故答案为：．

16．在庆祝建党“100周年”的活动中，围棋社的同学用棋子摆成如图所示的“100”图案，其中第1个“100”图案用11个棋子，第2个“100”图案用16个棋子，第3个“100”图案用21个棋子按这种规律，第个“100”图案用 　　个棋子．

【解答】解：第①个“100”字中的棋子个数是；

第②个“100”字中的棋子个数是；

第③个“100”字中的棋子个数是；

第④个“100”字中的棋子个数是；

．

第个“100”字中的棋子个数是．

故答案为：．

17．如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，△、△、△均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为．以此类推，若，则　　．

【解答】解：如图，

△是等边三角形，

，，

，

，

又，

，

，

，

，

△是等边三角形，

同理可得：

，

，

同理：，

，

，

，

以此类推：

所以．

故答案是：．

18．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第1个图形一共有5个实心圆点，第2个图形一共有8个实心圆点，第3个图形一共有11个实心圆点，．按此规律排列下去，第个图形中实心圆点的个数为　 　　（用含的代数式表示）．

【解答】解：第①个图形中实心圆点的个数：，

第②个图形中实心圆点的个数：，

第③个图形中实心圆点的个数：，

第⑥个图形中实心圆点的个数：，

第个图形中实心圆点的个数为：，

故答案为：．

19．下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个六边形，那么摆100个六边形，需要火柴棍 　501　根．

【解答】解：根据题意分析可得：搭第1个图形需6根火柴；

此后，每个图形都比前一个图形多用5根；

那么摆100个六边形，需要火柴棍根．

故答案为：501．

20．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．

按上面方法继续下去，第2个图有5个三角形，第3个图有 　5　个三角形；第个图中有 　　个三角形．（用的代数式表示结论）

【解答】解：图（1）中三角形的个数为1个，

图（2）中三角形的个数为5个，

图（3）中三角形的个数为9个，

．

由于每次三角形递增4个，

所以第个图形中有个三角形，

故答案为：5，．