2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市八年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市八年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑。）
1．（3分）16的平方根是（　　）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2
4．（3分）若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
5．（3分）已知点，在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
6．（3分）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
7．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
8．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣3 B．x＞﹣2 C．x＞1 D．x＞2
9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（　　）

A． B．3 C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　）

A． B．2 C． D．
二、填空题：（本大题共8小题，每空3分，共30分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上.）
11．（3分）点（2，1）关于x轴对称的点坐标为　 　．
12．（3分）2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高度﹣﹣8848.86米，把8848.86精确到百位的近似数是 　 　．
13．（3分）已知函数y＝kx的图象经过二、四象限，且不经过（﹣2，2），请写出一个符合条件的函数解析式 　 　．
14．（3分）如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 　 　．（只需写出一个条件即可）

15．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，则∠ECD＝　 　，BD与EC之间的数量关系是 　 　．

16．（3分）已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是 　 　．
17．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 　 　．

18．（6分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合．连接DE，请你探究：＝　 　；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为 　 　．


三、解答题（本大题共10小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算
（1）；
（2）．
20．（8分）求下列各式中的x
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）27+（1﹣2x）3＝0．
21．（8分）如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若AC＝13，DE＝5，求DB的长．

22．（8分）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数；
（2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．

23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+3分别交x轴，y轴于点A、B．将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A'OB'．
（1）求直线A'B'的解析式；
（2）若直线A'B'与直线l相交于点C，求△A'BC的面积．

24．（8分）某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如表：
类别
价格
A种产品
B种产品
成本价（元/件）
400
300
销售价（元/件）
560
450
（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？
（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
25．（10分）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km；两车相遇后休息了24分钟，再同时继续行驶．设两车之间的距离为y（km），货车行驶时间为x（h），请结合图象信息解答下列问题：
（1）货车的速度为 　 　km/h，轿车的速度为 　 　km/h；
（2）求y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围），并把函数图象画完整；
（3）货车出发 　 　h，与轿车相距30km．

26．（10分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）①请在图1中用圆规和无刻度的直尺作出点O，使O到△ABC三边距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，则△ABC中BC边上的高＝　 　，O到△ABC三边距离＝　 　．
（2）在△ABC中，若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PB≤PA，请在图2中用圆规和无刻度的直尺作出所有符合条件的点P组成的区域（用阴影表示）．（不写作法，保留作图痕迹）


27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA；
（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；
（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．

28．（12分）已知：如图，一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
（1）直线CD的函数表达式为 　 　；点D的坐标 　 　；（直接写出结果）
（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑。）
1．（3分）16的平方根是（　　）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称．
【解答】解：A．是轴对称图形，共有1条对称轴；
B．不是轴对称图形，没有对称轴；
C．不是轴对称图形，没有对称轴；
D．是轴对称图形，共有2条对称轴．
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2
【分析】求出＝2，＝2，再逐个判断即可．
【解答】解：A．＝2，故本选项符合题意；
B．＝2，故本选项不符合题意；
C．＝2，故本选项不符合题意；
D．＝2，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点M在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，
∴点M的横坐标是﹣1，纵坐标是2，
∴点M的坐标是（﹣1，2）．
故选：C．
5．（3分）已知点，在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＜，即可得出m＞n．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵点，在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，且＜，
∴m＞n．
故选：A．
6．（3分）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
【分析】由勾股定理得，另一条直角边长为：，即可计算面积．
【解答】解：由勾股定理得，另一条直角边长为：，
∴这个直角三角形的面积为5×12÷2＝30，
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
【分析】利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
【解答】解：A．∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；
CD＝BE，故D选项不符合题意；
B．∵△DAC≌△EAB，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠ACD＝∠ABE＝36，
∵∠DCA＝∠CBA＝36°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
故B选项不符合题意；
C．根据已知条件无法证明DE＝GE，故C选项符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣3 B．x＞﹣2 C．x＞1 D．x＞2
【分析】先把（﹣1，0）代入y＝kx+b得b＝k，则k（x﹣2）+b＞0化为k（x﹣2）+k＞0，然后解关于x的不等式即可．
【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得﹣k+b＝0，解b＝k，
则k（x﹣2）+b＞0化为k（x﹣2）+k＞0，
即k（x﹣2+1）＞0，
而k＞0，
所以x﹣2+1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
方法二：
一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移2个单位得y＝k（x﹣2）+b，
∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），
∴一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＞0）的图象过点（1，0），
由图象可知，当x＞1时，函数y＝k（x﹣2）+b＞0，
∴不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是x＞1，
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（　　）

A． B．3 C． D．
【分析】在Rt△BCE中，由BE2＝CE2+BC2，得到（8﹣x）2＝x2+62，即可求解．
【解答】解：设AE＝BE＝x，则CE＝4﹣x，
在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2，
即x2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝，
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】根据∠CBP＝∠BAD，得∠ABD+∠BAD＝90°，则∠ADB＝90°，可知点D在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于D，此时CD最小，利用勾股定理求出OC的长，从而得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于D，此时CD最小，

∴BO＝AB＝4，
∴OC＝OB＝4，
∴CD的最小值为4﹣4，
故选：D．
二、填空题：（本大题共8小题，每空3分，共30分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上.）
11．（3分）点（2，1）关于x轴对称的点坐标为　（2，﹣1）　．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点（2，1）关于x轴对称的点坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
12．（3分）2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高度﹣﹣8848.86米，把8848.86精确到百位的近似数是 　8.8×103　．
【分析】先用科学记数法表示，然后把十位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：8848.86精确到百位的近似数是8.8×103．
故答案为：8.8×103．
13．（3分）已知函数y＝kx的图象经过二、四象限，且不经过（﹣2，2），请写出一个符合条件的函数解析式 　y＝﹣2x（答案不唯一，合理即可）　．
【分析】先将点（﹣2，2）代入函数解析式求得k＝﹣1，然后取一个不为﹣1的数即可．
【解答】解：将点（﹣2，2）代入y＝kx得，﹣2k＝2，
解得：k＝﹣1，
∵函数不经过（﹣2，2），且经过二、四象限，
∴k≠﹣1，且k＜0，
取k＝﹣2，得函数的解析式为y＝﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x（答案不唯一，合理即可）．
14．（3分）如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 　AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）　．（只需写出一个条件即可）

【分析】先证明∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，则根据全等三角形的判断方法可添加条件．
【解答】解：∵∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC+BAD＝∠EAB+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加AB＝AE时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED；
当添加∠B＝∠E时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED，
∴要使△ABC≌△AED，应添加的条件是AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．
故答案为：AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．
15．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，则∠ECD＝　22.5°　，BD与EC之间的数量关系是 　BD＝2CE　．

【分析】由BD平分∠ABC，得∠ABD＝，可得∠ECD＝∠ABD＝22.5°，延长BA，CE相交于点F，利用ASA证明△ABD≌△ACF，得BD＝CF，再证明点E为CF的中点即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝，
又∵∠E＝90°，∠CDE＝∠BDA，
∴∠ECD＝∠ABD＝22.5°，
延长BA，CE相交于点F，

∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD与△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
在Rt△BCE与Rt△BFE中，
∵BD平分∠ABC，
∴BCF＝∠F，
∵∠BEC＝90°，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△BEF与△BEC中，
，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴EF＝CE，
∴CF＝2CE，
即BD＝2CE．
故答案为：22.5°，BD＝2CE．
16．（3分）已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是 　2034　．
【分析】根据绝对值的性质进行化简，然后数字代入求和即可求出答案．
【解答】解：当x≤4时，
∴x﹣4≤0，
∴＝|x﹣4|＝﹣（x﹣4）＝4﹣x，
∴y＝4﹣x﹣x+5＝9﹣2x，
当x＞4时，
∴x﹣4＞0，
∴＝|x﹣4|＝x﹣4，
∴y＝x﹣4﹣x+5＝1，
当x分别取1，2，3，…，2022时，
所对应y值的总和是（9﹣2）+（9﹣4）+（9﹣6）+（9﹣8）+2018×1
＝7+5+3+1+2018
＝2034．
故答案为：2034．
17．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 　（﹣2，4﹣2）　．

【分析】先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
y＝x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4，
∴AO＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2，
∵PD＝BD＝2，
∴P（﹣2，4﹣2），
故答案为（﹣2，4﹣2）．

18．（6分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合．连接DE，请你探究：＝　　；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为 　　．


【分析】由折叠的性质可得AD＝BD，BC＝BD，则有AB＝2BC；作P点关于OM的对称点P'，作P'N⊥PM交于N点，交OM于G'点，＝P'G'+G'N≥P'N，此时的值最小，求出P'N的长即为所求．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵点C沿BE折叠与AB上的点D重合，
∴∠DBE＝∠CBE＝30°，
∴∠A＝∠ABE，
∵∠BDE＝∠C＝90°，
∴AD＝BD，
∵BC＝BD，
∴AB＝2BC，
∴＝，
作P点关于OM的对称点P'，作P'N⊥PM交于N点，交OM于G'点，
∴PG'＝P'G'，
∵∠M＝30°，
∴NG'＝G'M，
∴＝P'G'+G'N≥P'N，此时的值最小，
∵OM＝2，
在Rt△OPM中，OP＝OM＝1，
∴PM＝，
在Rt△PDM中，PD＝PM＝，
∴PP'＝，
∵∠P'＝30°，
∴PN＝，
在Rt△PP'N中，P'N＝，
∴的最小值为，
故答案为：，．

三、解答题（本大题共10小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用立方根、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣3+1
＝﹣4；

（2）原式＝2﹣3﹣（2﹣）
＝2﹣3﹣2+
＝﹣3+．
20．（8分）求下列各式中的x
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）27+（1﹣2x）3＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义解决此题．
（2）根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣9＝0，
∴（x﹣1）2＝9．
∴x﹣1＝±3．
∴x＝4或x＝﹣2．
（2）∵27+（1﹣2x）3＝0，
∴（1﹣2x）3＝﹣27．
∴1﹣2x＝﹣3．
∴﹣2x＝﹣4．
∴x＝2．
21．（8分）如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若AC＝13，DE＝5，求DB的长．

【分析】（1）证出∠BAC＝∠DCE．即可得出△ABC≌△CDE（AAS）．
（2）求出CE＝13．在Rt△CDE中，由勾股定理得出DC＝12．由全等三角形的性质得出BC＝DE＝5．即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°．
∵AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，即∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
（2）解：∵AC＝CE，AC＝13，
∴CE＝13．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DC＝＝＝12．
∵△ABC≌△CDE，
∴BC＝DE＝5．
∴DB＝DC﹣BC＝12﹣5＝7．
22．（8分）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数；
（2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ACB，根据直角三角形的性质求出∠ACD，计算即可；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣42°）＝69°，
在Rt△ADC中，∠A＝42°，
则∠ACD＝90°﹣42°＝48°，
∴∠DCB＝69°﹣48°＝21°；
（2）设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣1，
在Rt△ADC中，AC2＝CD2+AD2，即x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，即AC＝5，
在Rt△ADC中，M为AC的中点，
则DM＝AC＝2.5，
答：DM的长为2.5．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+3分别交x轴，y轴于点A、B．将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A'OB'．
（1）求直线A'B'的解析式；
（2）若直线A'B'与直线l相交于点C，求△A'BC的面积．

【分析】（1）由直线l的函数解析式求得A、B两点坐标，旋转后找出A'、B'两点坐标，计算直线A'B'的解析式；
（2）联立两直线的解析式，求出C点坐标，再计算出△A'BC的面积．
【解答】解：（1）由直线l：y＝﹣x+3分别交x轴，y轴于点A、B．
可知：A（2，0），B（0，3）；
∵△AOB绕点O顺时针旋转90°而得到△A′OB′，
∴△AOB≌△A′OB′，故A′（0，﹣2），B′（3，0）．
设直线A′B′的解析式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），
∴有，解得：，
∴直线A′B′的解析式为y＝x﹣2；

（2）由题意得：，
解得：，
∴C（，﹣），
又∵A′（0，﹣2），B（0，3）．
∴A′B＝5，
∴S△A′BC＝×5×＝．
24．（8分）某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如表：
类别
价格
A种产品
B种产品
成本价（元/件）
400
300
销售价（元/件）
560
450
（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？
（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设生产了A种产品x件，B种产品y件，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A种产品生产m件，总利润为w元，由题意：工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．列出一元一次不等式，得m≤1000，再求出w＝10m+450000，然后由一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设生产了A种产品x件，B种产品y件，
由题意得：，
解得：，
答：生产了A种产品400件，B种产品200件；
（2）设A种产品生产m件，
由题意得：m≤（3000﹣m），
∴m≤1000，
设总利润为w元，
由题意得：w＝（560﹣400）m+（450﹣300）（3000﹣m）＝10m+450000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝1000时，w最大＝460000，
此时3000﹣m＝2000，
答：生产A种产品1000件，B种产品200件，才能获得最大利润，最大利润是460000元．
25．（10分）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km；两车相遇后休息了24分钟，再同时继续行驶．设两车之间的距离为y（km），货车行驶时间为x（h），请结合图象信息解答下列问题：
（1）货车的速度为 　80　km/h，轿车的速度为 　100　km/h；
（2）求y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围），并把函数图象画完整；
（3）货车出发 　h或　h，与轿车相距30km．

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以分别计算出货车的速度和轿车的速度；
（2）根据题意和函数图象中的数据，可以分别计算出各段对应的函数解析式；
（3）由题意可得，分两种情况，相遇前和相遇后，然后分别计算出相应的x的值即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
货车的速度为（360÷2﹣20）÷2＝80（km/h），轿车的速度为：（360÷2+20）÷2＝100（km/h），
故答案为：80，100；
（2）设当0≤x≤2时，y与x的函数解析式为y＝kx+b，
∵点（0，360），（2，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当0≤x≤2时，y与x的函数解析式为y＝﹣180x+360；
∵24分钟＝0.4小时，
∴当2＜x≤2.4时，y＝0；
轿车从乙地到甲地用的时间为：360÷100＝3.6（小时），
货车从甲地到乙地用的时间为：360÷80＝4.5（小时），
∴当2.4＜x≤4时，y与x的函数解析式为y＝（100+80）（x﹣2.4）＝180x﹣432；
当4＜x≤4.9时，y与x的函数解析式为y＝80×（x﹣0.4）＝80x﹣32；
由上可得，y与x的函数解析式为y＝，
补充完整的函数图象如右图所示；
（3）当0≤x≤2时，令30＝﹣180x+360，
解得x＝；
当2.4＜x≤4时，令180x﹣432＝30，
解得x＝；
答：货车出发h或h，与轿车相距30km，
故答案为：h或．

26．（10分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）①请在图1中用圆规和无刻度的直尺作出点O，使O到△ABC三边距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，则△ABC中BC边上的高＝　12　，O到△ABC三边距离＝　4　．
（2）在△ABC中，若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PB≤PA，请在图2中用圆规和无刻度的直尺作出所有符合条件的点P组成的区域（用阴影表示）．（不写作法，保留作图痕迹）


【分析】（1）①作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；
②过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，利用面积法求解即可；
（2）作线段BC，线段AB的垂直平分线交于点O，线段AB的垂直平分线交BC于点F，线段BC的垂直平分线交BC于点E，△OEF即为所求．
【解答】解：（1）①如图1中，点O即为所求；


②如图3中，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，则OE＝OF＝OG，

设CH＝x，则BH＝14﹣x，则有152﹣（14﹣x）2＝132﹣x2，
解得，x＝5，
∴AH＝＝12，
∵S△ABC＝•BC•AH＝•（AB+BC+AC）•OE，
∴OE＝＝4，
故答案为：12，4；

（2）如图2中，△OEF即为所求．

27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA；
（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；
（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．

【分析】（1）由点B关于直线CD的对称点为E，得BC＝CE，再根据AC＝BC，可知CA＝CE，从而证明结论；
（2）找到两个临界状态：当点D在初始点B时，∠AFC＝∠ABC＝45°，当BD＝AD时，D是AB的中点，A点与E点重合，∠AFC＝0°，从而得出答案；
（3）当AD＝AC，则∠ADC＝67.5°，得∠BCD＝22.5°，由轴对称的性质得∠ECD＝∠DCB＝22.5°，从而∠ACE＝∠ACB﹣∠ECD﹣∠DCB＝45°，再利用SAS证明△AEC≌△ADC即可．
【解答】（1）证明：∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴BC＝CE，
∵AC＝BC，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE＝∠CEA；
（2）解：当点D在初始点B时，∠AFC＝∠ABC＝45°，
当BD＝AD时，D是AB的中点，A点与E点重合，∠AFC＝0°，
故当BD＜AD时，0°＜∠AFC＜45°；
（3）解：相等，证明如下：
由（1）知，AD＝AC＝CE，
∵AD＝CD，
∴∠ADC＝67.5°，
又∵∠ADC＝∠DCB+∠ABC，
∴∠DCB＝22.5°，
又∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴∠ECD＝∠DCB＝22.5°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECD﹣∠DCB＝45°，
在△AEC与△ADC中，
，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE＝CD．
28．（12分）已知：如图，一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
（1）直线CD的函数表达式为 　y＝x+3　；点D的坐标 　（﹣4，﹣6）　；（直接写出结果）
（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，根据题意，得出点C和点E的坐标，用待定系数法可求出直线CD的解析式，联立直线CD和直线AB的解析式可求出点D的坐标；
（2）①过点D向x轴作DF⊥x轴于点F，先求出△ACD的面积，直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，需要分两种情况：当点P在线段CD上时，则有S△BDP＝S△ACD，表达△BDP的面积，建立方程求解即可；当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，则S△ABQ＝S△ACD，表达△ABQ的面积，建立方程求解即可；
②将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，需要分三种情况：当点D落在x轴负半轴上；当点D落在y轴上；当点D落在x轴正半轴上，画出图形，求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴A（4，0），B（0，﹣3），
∴OA＝4，
∵E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
∴E（0，3），OC＝，
∴C（﹣，0）．
把点C和点E的坐标代入一次函数y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线CD的解析式为：y＝x+3；
令x+3＝x﹣3，解得x＝﹣4，
∴y＝×（﹣4）﹣3＝﹣6，
∴点D的坐标为（﹣4，﹣6）．
故答案为：y＝x+3；（﹣4，﹣6）；
（2）①如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BC，

∴DF＝6，
∵OA＝4，OC＝，
∴AC＝，
∴S△ACD＝•AC•DF＝××6＝16．
∵A（4，0），B（0，﹣3），D（﹣4，﹣6），
∴点B是线段AD的中点，
∴S△DBC＝S△ACB．
当点P在线段CD上时，则有S△BDP＝S△ACD，
∵S△BDP＝（xP﹣xD）•BE，
∴（xP+4）•6＝×16，解得xP＝﹣，
∴P（﹣，﹣）．
当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，如图2，此时有S△ABQ＝S△ACD，

∵S△ABQ＝•AQ•BO，
∴AQ•3＝7，解得AQ＝，
∴OQ＝﹣3＝，
∴Q（﹣，0）．
∴直线BQ的解析式为：y＝﹣x﹣3，
令x+3＝﹣x﹣3，解得x＝﹣，
∴P（﹣，1）．
综上所述，若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，点P的坐标为（﹣，﹣）；（﹣，1）．
②存在，理由如下：
将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，需要分三种情况：
当点D落在x轴负半轴上D1处，如图3，

由折叠可知，∠DBP＝∠D1BP，BD＝BD1，
由题意可知，OB＝3，OA＝4，则AB＝5，
∴BD＝AB＝5，
∴BD1＝5，
∴OD1＝4，
∴△ABO≌△D1BO（SSS），
∴∠OAB＝∠OD1B，
∵∠DBD1＝∠OAB+∠OD1B，
∴∠OD1B＝∠D1BP，
∴BP∥x轴，
∴点P的纵坐标为﹣3，
∴P（﹣，﹣3）．
当点D落在y轴上D2处，如图4，过点P作PG⊥AD于点G，作PH⊥y轴于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，

由折叠可知，BP平分∠DBD2，
∴PG＝PH，
∵S△BDP＝S△BEP+S△BDE，
∴•BE•DM＝•BD•PG+•BE•PH，即×6×4＝×5•PG+×6•PH，
解得PG＝PH＝；
∴P（﹣，﹣）．
当点D落在x轴正半轴上D3处，如图5，此时点A和点D3重合，不符合题意，舍去．

综上所述，存在点P，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，此时点P的坐标为：（﹣，﹣3）或（﹣，﹣）．