2022年中考数学二轮热点题型演练专题04 填空题压轴突破

这是一份2022年中考数学二轮热点题型演练专题04 填空题压轴突破，共61页。试卷主要包含了考点归纳，最新模考题组练2等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、考点归纳
\l "_Tc17993" 【考点01】 几何图形的性质
\l "_Tc26924" 【考点02】 图形的平移、翻折、旋转变换
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练2
【考点01】 几何图形的性质
【典例分析】（2020·江苏苏州·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．
【提分秘籍】
1.在解答等腰三角形的有关问题时，若题目中没有特别说明腰与底边或顶角与底角，常要对有关情况进行分类讨论。
2.在解有关三角形或四边形问题时，当有关点的位置不确定时，应根据不同的位置进行分类讨论。
3.由给定的几何图形写出一个代数恒等式和将给定的代数恒等式用几何图形表示出来，一般通过表示面积相等来完成。前者只要从图形中找出一个关于面积相等的关系式即可。后者一般根据给定的代数恒等式一边相乘的式子，取适当单位长度，使两个因式分别为矩形两边长，画出图形即可。
4.解斜三角形时，通常作高将斜三角形转化为直角三角形，通过解直角三角形求解.斜三角形可作三条高，要注意选择恰当的高求解。
5.在一些图形中有关点的运动问题，通常利用图形面积及三角形相似等得到有关函数关系式，然后利用函数的性质解决。
6.经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形是全等三角形，根据两个三角形之间的变换关系，可以抽象出全等三角形模型，运用全等三角形模型解决问题，规律明显，一目了然。
7.对于两个相似三角形，根据已经存在的条件可把这两个三角形抽象出相似三角形模型，利用相似三角形模型证明两个三角形相似，可使问题变得既有规律，又简单明了。
8.解决几何图形的计算或证明问题时，常根据已知条件分析解决问题的方法思路，还要由结论出发分析结论成立所需的条件，从而拉近已知与未知的距离，使问题得到解决。
【变式演练】
1.（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝_____．
2.（2021·江苏苏州·一模）如图，矩形中，与相交于点E，，将沿折叠，点A的对应点为F，连接交于点G，且，在边上有一点H，使得的值最小，此时_______．
3.（2020·江苏·苏州市金阊实验中学校九年级期中）如图，已知，是的平分线，A是射线上一点，动点P从点A出发，以的速度沿向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿向上做匀速运动，连接，交于点B．经过O，P，Q三点作圆，交于点C，连接，．若，则线段的长度最大值为______．
【考点02】 图形的平移、翻折与旋转变换
【典例分析】（2021·江苏苏州·中考真题）如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______．
【提分秘籍】
1.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换就是平移。
2.图形平移具有以下性质：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上)且相等，对应角相等。
3.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，这种图形变换称为图形的旋转。
4.图形旋转具有以下性质：
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前后的图形全等.图形的平移和旋转都不改变图形的形状和大小。
5.解图形的平移问题时，一要弄清平移的方向，二要注意平移的距离；解图形的旋转问题时，要注意图形旋转的三要素（旋转方向、旋转中心、旋转角度）和性质。
6.几何中的最短路径问题，实质就是构建和转化“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”的问题，关键是找相关点关于直线的对称点实现转化。
7.线段和最短的问题，往往把几条线段转化成一条线段，利用“两点之间，线段最短”解决.通常将涉及的几点中的任一点作出其关于直线的对称点解决。
【变式演练】
1.（2021·江苏扬州·一模）如图，矩形中，，，为边上一个动点，连结，取的中 点，点绕点逆时针旋转得到点，连结，则面积的最小值是__________.
2.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）两块等腰直角三角形纸片和按图1所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转．当与在同一直线上（如图2）时，的正切值等于_________．
3.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）如图1，，，．小红想用包裹矩形，她包裹的方法如图2所示，则矩形未包裹住的面积为_______．
【训练题组1】
1．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB的中点，F是BC边上一动点，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B′处，矩形内有一动点P，连接PB'、PC、PD，则PB′+PC+PD的最小值为 ___．
2．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，DF＝，G，H分别是AE，EF的中点，在点E的整个运动过程中，当AE⊥EF时，点E的运动时间为____秒，线段GH扫过的图形面积为____．
3．（2021·江苏·无锡市东林中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以AB为边向右作等边ABE，F为边CD上一点，DF＝2，连接EF，则EF的最小值为___．
4．（2021·江苏·沭阳县修远中学二模）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图（2）所示；第三步：沿EB'折叠折痕为EF，且AF交B'N的延长线于点G，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，S△AB'G为__________．
5．（2021·江苏无锡·九年级期末）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，的值是_____．
6．（2021·江苏泰州·一模）如图在菱形中，，是、的交点，是线段上的动点（不与点、重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在边上，若要使得，则的范围为________．
【训练题组2】
1．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为_________．
2．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH的中点，连接GM，若AB＝3，BC＝2，设BE＝x，则CF＝____（用x表示）；则GM的最小值为_____．
3．（2021·江苏无锡·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点Р为边AD上一个动点，连接CP，点Р绕点C顺时针旋转90°得到点，连接并延长到点E，使，以CP、CE为邻边作矩形PCEF，连接DE、DF，则和面积之和的最小值为______________．
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．
5．（2021·江苏·二模）如图，在中，，将沿对角线翻折至与相交于点，连接，则的值为_____________．
6．（2021·江苏盐城·三模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为__．
【训练题组3】
1．（2021·江苏盐城·二模）如图，点是边长为2的正方形的中心，在中，，，，，点为正方形边上的一动点，在的右侧作且，则的最大值为______．
2．（2021·江苏泰州·一模）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D、E分别在边AB、AC上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为_．
3．（2021·江苏·江阴市华士实验中学二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于____________．
4．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值________________．
5．（2021·江苏宿迁·九年级期末）如图，在凸四边形中，，，则线段的长等于______．
6．（2021·江苏无锡·九年级期末）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．
专题04 填空题压轴突破
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、考点归纳
\l "_Tc17993" 【考点01】 几何图形的性质
\l "_Tc26924" 【考点02】 图形的平移、翻折、旋转变换
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练2
【考点01】 几何图形的性质
【典例分析】（2020·江苏苏州·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．
【答案】
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．
【解析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，
∴OH⊥AB，AH=BH，
∵，
∴DE∥AB，
∵，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，
∴AH=6，
∴OH=，
∵OB∙AG=AB∙OH，
∴AG===，
∴=．
故答案是：．
【提分秘籍】
1.在解答等腰三角形的有关问题时，若题目中没有特别说明腰与底边或顶角与底角，常要对有关情况进行分类讨论。
2.在解有关三角形或四边形问题时，当有关点的位置不确定时，应根据不同的位置进行分类讨论。
3.由给定的几何图形写出一个代数恒等式和将给定的代数恒等式用几何图形表示出来，一般通过表示面积相等来完成。前者只要从图形中找出一个关于面积相等的关系式即可。后者一般根据给定的代数恒等式一边相乘的式子，取适当单位长度，使两个因式分别为矩形两边长，画出图形即可。
4.解斜三角形时，通常作高将斜三角形转化为直角三角形，通过解直角三角形求解.斜三角形可作三条高，要注意选择恰当的高求解。
5.在一些图形中有关点的运动问题，通常利用图形面积及三角形相似等得到有关函数关系式，然后利用函数的性质解决。
6.经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形是全等三角形，根据两个三角形之间的变换关系，可以抽象出全等三角形模型，运用全等三角形模型解决问题，规律明显，一目了然。
7.对于两个相似三角形，根据已经存在的条件可把这两个三角形抽象出相似三角形模型，利用相似三角形模型证明两个三角形相似，可使问题变得既有规律，又简单明了。
8.解决几何图形的计算或证明问题时，常根据已知条件分析解决问题的方法思路，还要由结论出发分析结论成立所需的条件，从而拉近已知与未知的距离，使问题得到解决。
【变式演练】
1.（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝_____．
【答案】
【分析】连接，延长交于点，连接，先根据圆周角定理和圆的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而可得，作，交于点，从而可得，然后在中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，设，从而可得，利用直角三角形的面积公式可求出的值，由此即可得．
【解析】解：如图，连接，延长交于点，连接，
都是的直径，
，
，
，
在中，，
，
平分，且，
，
，
，
，
如图，作，交于点，
，
在中，，
，
设，则，
，
，
解得或（不符题意，舍去），
则，
故答案为：．
2.（2021·江苏苏州·一模）如图，矩形中，与相交于点E，，将沿折叠，点A的对应点为F，连接交于点G，且，在边上有一点H，使得的值最小，此时_______．
【答案】
【分析】首先证明，从而得到，，，再证明△ADF为等边三角形得到△CDF≌△BAF从而求出FC的长，E点关于AD的对称点E´，连接B E´与AD交于H，求出BH的长即可得到答案.
【解析】解：设BD与AF交于M，AB=a，则AD=
∵四边形ADCD是矩形
∴∠DAB=90°，
∴，∠ABD=60°
∴△ABE，△CDE都是等边三角形
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a
∵将△ABD沿BD折叠，A的对应点为F
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=
∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2
∴，
∴
∵在矩形ABCD中，BC∥AB
∴
∴即
∴
∴，，
∵∠GBM+ABM=90°=∠BAM+∠ABM
∴∠BAM=∠GBM=30°
∴
∴
又∵∠ADF=90°-∠BAM=60°
∴△ADF为等边三角形
∴FD=FA，∠ADF=60°
∴∠CDF=30°
∴△CDF≌△BAF
∴FC=BF=
如图作E点关于AD的对称点E´，连接B E´与AD交于H，连接EH，此时EH+BH的值最小
∴EN= E´N
∵∠BAD=END=90°，E为BD的中点
∴AB∥EE´
∴EN为三角形ABD的中位线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
3.（2020·江苏·苏州市金阊实验中学校九年级期中）如图，已知，是的平分线，A是射线上一点，动点P从点A出发，以的速度沿向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿向上做匀速运动，连接，交于点B．经过O，P，Q三点作圆，交于点C，连接，．若，则线段的长度最大值为______．
【答案】
【分析】过点C分别作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点N，由题意易得CD=CE，AP=OQ=t，进而可证△CDP≌△CEQ，则有DP=EQ，然后可得△CDO≌△CEO，可得OE=OD，即，所以有，则OD=OE=6cm，，最后根据△QCB∽△OCQ可进行求解．
【解析】解：过点C分别作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点N，由题意得AP=OQ=t，如图所示：
∴∠CEQ=∠CDP=90°，
∵是的平分线，，
∴，，
∴，
∴CQ=CP，
∴△CDP≌△CEQ（HL），
∴DP=EQ，
∵OC=OC，
∴△CDO≌△CEO（HL），
∴OE=OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴OD=OE=6cm，
∴，，
∴在Rt△CDP中，，即，
∵，
∴，
∵，
∴△QCB∽△OCQ，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴当t=6时，OB有最大值，即最大值为；
故答案为．
【考点02】 图形的平移、翻折与旋转变换
【典例分析】（2021·江苏苏州·中考真题）如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______．
【答案】
【分析】添加辅助线，连接，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离．
【解析】如图所示，连接，过点作交ON与点P．
∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段
∴，
∴
即
∵点在线段的垂直平分线上
∴，
∵
∴
∴
∴
【提分秘籍】
1.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换就是平移。
2.图形平移具有以下性质：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上)且相等，对应角相等。
3.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，这种图形变换称为图形的旋转。
4.图形旋转具有以下性质：
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前后的图形全等.图形的平移和旋转都不改变图形的形状和大小。
5.解图形的平移问题时，一要弄清平移的方向，二要注意平移的距离；解图形的旋转问题时，要注意图形旋转的三要素（旋转方向、旋转中心、旋转角度）和性质。
6.几何中的最短路径问题，实质就是构建和转化“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”的问题，关键是找相关点关于直线的对称点实现转化。
7.线段和最短的问题，往往把几条线段转化成一条线段，利用“两点之间，线段最短”解决.通常将涉及的几点中的任一点作出其关于直线的对称点解决。
【变式演练】
1.（2021·江苏扬州·一模）如图，矩形中，，，为边上一个动点，连结，取的中 点，点绕点逆时针旋转得到点，连结，则面积的最小值是__________.
【答案】15
【解析】解析：解：过点作的垂线交的延长线于点,则，在矩形中，
,,,,由旋转知：,
,,,,
∽,,设，，,
，
，
当时，有最小值，最小值为，故答案为：.
2.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）两块等腰直角三角形纸片和按图1所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转．当与在同一直线上（如图2）时，的正切值等于_________．
【答案】
【分析】当BD与CD在同一直线上时，根据三角形AOB和COD是等腰直角三角形，可得OA＝OB，OC＝OD，由旋转可得∠AOC＝∠DOB，证明△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得tan∠ABC＝＝，再根据∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC证明∠ABC＝α，进而求出α的正切值．
【解析】解：当BD与CD在同一直线上（如图2）时，
∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，
由旋转可知：∠AOC＝∠DOB=α，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
∵∠DBO＋∠ABC+∠BAO＝90°，
∴∠CAO+∠OAB+∠ABC=90°
∴∠ACB=90°
在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，
∴BC＝CD＋BD＝4＋x，
∵AB=2，
∴根据勾股定理，得x2＋（4＋x）2＝（2）2，
解得x＝2或x＝−6（舍去），
∴AC＝2，BC＝6，
∴tan∠ABC＝＝，
∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，
∴∠CDO＝∠ABO＝45°，
∴∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC，
∴∠ABC＝∠DOB，
由旋转可知：∠AOC＝∠DOB＝α，
∴∠ABC＝α，
∴tanα＝，
故答案为：．
3.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）如图1，，，．小红想用包裹矩形，她包裹的方法如图2所示，则矩形未包裹住的面积为_______．
【答案】16
【分析】将矩形ABCD和Rt△ECF分别以AD、BC为轴翻折，再利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质及三角形的面积公式得结果．
【解析】如图，将矩形ABCD和Rt△ECF分别以AD、BC为轴翻折，
则∠MBE=∠MB′C′=90°，∠BME=∠B′MC′，
∴Rt△MBE∽Rt△MB′C′，
∴，即，解得：，
∴，
即未包裹住的面积为16．
故答案为：16．
【训练题组1】
1．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB的中点，F是BC边上一动点，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B′处，矩形内有一动点P，连接PB'、PC、PD，则PB′+PC+PD的最小值为 ___．
【答案】
【分析】将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC′．由作图可知，△PDP′，△DCC′都是等边三角形，推出DP＝PP′，由CP＝P′C′，推出PB′＋PD＋PC＝PB′＋PP′＋P′C′，根据EB′＋PB′＋PP′＋P′C′≥EC′，可得结论．
【解析】解：将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC′，由题意，AE＝EB＝EB′，
∴点B′在上运动，
由作图可知，△PDP′，△DCC′都是等边三角形，
∴DP＝PP′，
∵CP＝P′C′，
∴PB′＋PD＋PC＝PB′＋PP′＋P′C′，
∵EB′＋PB′＋PP′＋P′C′≥EC′，
如图，连接，交于点，
中，
又
∴PB′＋PP′＋P′C′≥12＋-4，
∴PB′＋PP′＋P′C′≥8＋，
∴PB′＋PC＋PD的最小值为8＋，
故答案为：8＋．
2．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，DF＝，G，H分别是AE，EF的中点，在点E的整个运动过程中，当AE⊥EF时，点E的运动时间为____秒，线段GH扫过的图形面积为____．
【答案】 2
【分析】答题空1：设当AE⊥EF时，点E的运动时间为t秒，则 ，由矩形的性质可证出，再证出进而得到即可求解；
答题空2：点E的运动时间为2秒；此时，线段GH扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、H的初始位置，则可证出四边形MNHG是平行四边形，延长HN交AB于点P，则PN⊥AB，且，利用点H是EF中点， ，即可求出进而得到即可求解．
【解析】解：设当AE⊥EF时，点E的运动时间为t秒，则 ，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴ ，
∴ ，
∵DF＝，
∴ ，
∵AE⊥EF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，解得： ,
即当AE⊥EF时，点E的运动时间为2秒；
此时，线段GH扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、H的初始位置，如图：
则点M、点G、点N、点H分别为AB、AE、BF、EF的中点，
∴MG、NH分别是△ABE、△FBE的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形MNHG是平行四边形，
延长HN交AB于点P，如图，
则PN⊥AB，且 ，
∵点H是EF中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即线段GH扫过的图形面积为 ,
故答案为:2；．
3．（2021·江苏·无锡市东林中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以AB为边向右作等边ABE，F为边CD上一点，DF＝2，连接EF，则EF的最小值为___．
【答案】-6
【分析】在AB上取点O，使得AO=2，可得四边形AOFD是平行四边形，点F在以O为圆心，6为半径的圆上，连接OE，当点F恰好在OE上时，EF最小，利用勾股定理即可求解．
【解析】解：如图，在AB上取点O，使得AO=2，则AO=DF，
∵AO∥DF，
∴四边形AOFD是平行四边形，
∴OF=AD=6，即：点F在以O为圆心，6为半径的圆上，
连接OE，当点F恰好在OE上时，EF最小，
过点E作EH⊥AB，
在等边ABE中，AB=AE=8，AH=4，
∴HE=，
∵在RtOHE中，OH=4-2=2，
∴OE=，
∴EF=-6，即EF的最小值为-6．
4．（2021·江苏·沭阳县修远中学二模）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图（2）所示；第三步：沿EB'折叠折痕为EF，且AF交B'N的延长线于点G，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，S△AB'G为__________．
【答案】3
【分析】如图2中，延长EB′交AD于F．求出△AB′F的面积即可解决问题．
【解析】解：如图2中，延长EB′交AD于F．
由题意AM=AB′，
∵∠M=90°，
∴∠AB′M=30°，
∵MB′∥AF，
∴∠AB′M=∠B′AF=30°，
∴B′F=AB′•tan30°=2，
∴S△AFB′=•AB′•FB′= ，
∵AG=GF，
∴S△AGB′=S△AB′F=3．
故答案为：3．
5．（2021·江苏无锡·九年级期末）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，的值是_____．
【答案】
【分析】由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB=90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=PB，即可求解．
【解析】解：由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP=180°，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB=180°，
∵∠DQR+∠CQR=180°，
∴∠DQA+∠CQP=90°，
∴∠AQP=90°，
∴∠B=∠AQP=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，
由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD=PC，
∴AR=PR，
又∵∠AQP=90°，
∴QR=AP，
∵∠PAB=30°，∠B=90°，
∴AP=2PB，AB=PB，
∴PB=QR，
∴=，
故答案为：．
6．（2021·江苏泰州·一模）如图在菱形中，，是、的交点，是线段上的动点（不与点、重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在边上，若要使得，则的范围为________．
【答案】45°＜α＜60°
【分析】连接PC，先证明Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，从而得∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝180°−2α，结合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，即可求出α的范围．
【解析】解：连接PC，
∵在菱形中，BD所在直线是对称轴，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在边上，即：PQ＝PA，
∴PQ＝PC＝PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ=∠APQ=，
∴∠CDB＝90°−α；
∵PQ＝QD，
∴∠PQC＝2∠CDB＝180°−2α，
∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝180°−2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°−2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案是：45°＜α＜60°．
【训练题组2】
1．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为_________．
【答案】①②③④
【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论①正确；
②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④如图，延长至，使，连接，通过，，可分析得出点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，从而得出结论④正确；
【解析】解：①，，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论①正确；
②如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
故结论②正确；
③，
，即，
故结论③正确；
④如图，延长至，使，连接，
，，
点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，
，
点运动的路程是，
故结论④正确；
故答案是：①②③④．
2．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH的中点，连接GM，若AB＝3，BC＝2，设BE＝x，则CF＝____（用x表示）；则GM的最小值为_____．
【答案】
【分析】根据，根据相似三角形的性质求得；连接，根据直角三角形的性质可得，判断出最小时，最小，再利用勾股定理表示出，利用二次函数的性质即可求解．
【解析】解：∵四边形为矩形，
∴，即
∵
∴，
∴
又∵
∴
∴，即
∴
连接，如下图：
∵四边形是平行四边形，为的中点
∴三点共线，且
又∵
∴
∴最小，即最小
，则
由勾股定理得，
设，，开口向上
∴时，取最小值为
∴的最小值为
故的最小值为
故答案为，．
3．（2021·江苏无锡·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点Р为边AD上一个动点，连接CP，点Р绕点C顺时针旋转90°得到点，连接并延长到点E，使，以CP、CE为邻边作矩形PCEF，连接DE、DF，则和面积之和的最小值为______________．
【答案】
【分析】过点D作DH⊥PC于H，设PD=x，然后利用勾股定理求出PC，CH，EF的长，然后表示出面积，利用二次函数的性质求解即可．
【解析】解：如图，过点D作DH⊥PC于H，设PD=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2cm，∠PDC=90°，
∴，
∵DH⊥PC，
∴
∴，
∴，
∵四边形PCEF是矩形，
∴，
∵，
∴
∴当时，有最小值，
故答案为：．
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．
【答案】．
【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决问题．
【解析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，
又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值为．
故答案为．
5．（2021·江苏·二模）如图，在中，，将沿对角线翻折至与相交于点，连接，则的值为_____________．
【答案】
【分析】利用全等三角形三角形，得到对应边相等，得出等腰三角形，再利用三角形相似，对出对应边成比例，建立等式，再通过等量代换进行求解．
【解析】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
设，
过点作于点，如图
，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
故答案是：．
6．（2021·江苏盐城·三模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为__．
【答案】
【分析】连接AA'，先证明△ABA'为等边三角形，得∠ABM=30°，从而求出AB、CD，再在Rt△BOC中求出OC，即可得到答案．
【解析】解：连接AA'，如图：
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AA'=A'B，,，则，
∴，
又∵EN＝1，
∴AM=2，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，
∴A'B=AB，∠ABM=∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA'=∠BA'A=∠A'AB=60°，
又∵∠ABC=∠BAM=90°，
∴∠ABM=∠A'BM=∠A'BC=30°，
∵AM=2，
∴BM=2AM=4，，
在Rt△BOC中，∠C=90°，∠OBC=30°，
∴，
∴，
故答案为：．
【训练题组3】
1．（2021·江苏盐城·二模）如图，点是边长为2的正方形的中心，在中，，，，，点为正方形边上的一动点，在的右侧作且，则的最大值为______．
【答案】
【分析】连接BD，连接BG并延长到，且使，易得，由此可得当点P在DG上运动时，点H在过点且垂直于BC的线段 上运动，且=-4，仿此，可得点H在以点C为中心的边长为4的正方形上运动，可得当点P与点F重合时，AH取得最大值，在Rt△ 中，利用勾股定理即可求得AH的长．
【解析】如图，当点P在线段DG上时，连接BD，连接BG并延长到，且使
∵BC∥DG，∠ABC=90°
∴AB⊥DG
∵四边形DEFG是正方形，且A为正方形的中心，AB=DG=2
∴AB、DG相互垂直平分
∴BD=BG，∠DBG=90°
∴
∵BH=2PB
∴
∵∠DBG=∠PBH=90°
∴
∴△
∴，
∵∠BDG=∠BGD=45°，∠DGF=90°
∴∠，
∴FG∥
∵DG⊥FG
∴DG⊥
故当点P在边DG上运动时，点H则在线段上运动，且DG=4
由此可得，当点P在四边形DEFG上运动时，点H在以C为中心的正方形上运动，且其边长为4
当点P与点F重合，点H与点重合时，AH最长，此时连接，则=2
∴
在Rt中，由勾股定理得：
故答案为：
2．（2021·江苏泰州·一模）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D、E分别在边AB、AC上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为_．
【答案】6
【分析】过点D作DF∥AE，根据平行线分线得出相似可得，根据已知，可得DO＝2OC，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：6×3＝9，即可求出此时△ABO的最大面积．
【解析】解：如图，过点D作DF∥AE，
∵DF∥AE
∴△DBF∽△ABE
∴，
∵，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DODC，
∴S△ADOS△ADC，S△BDOS△BDC，
∴S△ABOS△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：6×3＝9，
此时△ABO的面积最大为：9=6．
故答案为：6．
3．（2021·江苏·江阴市华士实验中学二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于____________．
【答案】72．
【分析】过作的垂线交于，连接，容易证得，，则有，；根据，， ，可证得四边形是矩形，即、、三点共线，根据AAS可证，则有，，可得，则，据此求解即可．
【解析】解：如图示，过作的垂线交于，连接，
∵，，
∴
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴，，
则有
∵
∴，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
、、三点共线，
∵
∴
又∵，，
∴
∴，，并有：,
∵，，
∴
∵，，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
即：
,
故答案为：72．
4．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值________________．
【答案】
【分析】连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当、、三点共线时，最小，在中，，，求出即可．
【解析】解：连接，过点作交延长线于点，
，且，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
，
，
点在的射线上运动，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
，
点在的延长线上，
当、、三点共线时，最小，
在中，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
5．（2021·江苏宿迁·九年级期末）如图，在凸四边形中，，，则线段的长等于______．
【答案】12
【分析】连接AC，由，则把△ACD逆时针旋转120°得到△BCE，使得BC与CD重合，可得和是全等，然后可得AC=CE=BC=CD，进而求证和是全等的，最后问题可求解．
【解析】解：连接AC，BD，由，则把△ACD逆时针旋转120°得到△BCE，使得BC与CD重合，连接BE、AE，如图所示：
∴△ACD≌△ECB，∠ACE=120°，
∴AC=CE，BE=AD，∠CBE=∠ADC，
∵，
∴∠ABC+∠ADC=120°，
∴∠ABC+∠CBE=120°，即∠ABE=120°，
∴∠ABE=∠BAD，
在△ABE与△BAD中，
，
∴△ABE△BAD（SAS），
∴∠BAE=∠ABD，
∵BC=CD，，
∴，
∵AC=EC，，
∴，
∴
∴
∴AC=BC=12cm
故答案为12．
6．（2021·江苏无锡·九年级期末）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．
【答案】
【分析】根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴AD=2CD=6，
∴图中阴影部分的面积=S四边形ADEF+S扇形DAD′-S四边形AF′E′D′，
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∴S四边形ADEF=S四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积=S扇形DAD′=
故答案为：3π．