中考数学压轴题--二次函数--专题04 胡不归求最小值

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中考数学压轴题--二次函数
第4节 胡不归求最小值

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方法点拨
从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？

一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
，记，
即求BC+kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

胡不归模型问题解题步骤如下：
1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决）。
2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题


例题演练

题组1：PA+k•PB
例1．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为Q，连接BC．

（1）求直线BC的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；
【解答】解：（1）令y＝0，﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝0，y＝2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．

（2）如图1中，作PM∥y轴交BC于M．

∵∠DPM是定值，
∴当PM的值最大时，PD的值最大，设P（m，﹣m2+m+2），则M（m，﹣m+2），
∴PM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴m＝2时，PM的值有最大值，即PD的值最大，此时P（2，3）．

在y轴上取一点G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，
∵sin∠GBK＝＝，设GK＝k，BG＝3k，则BK＝2k，
∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，
∴△CKG∽△COB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CK＝k，CG＝k，
∵CK+BK＝BC，
∴k+2k＝2，
∴k＝，
∴OG＝OC﹣CG＝，
∴G（0，），
∴直线BG的解析式为y＝﹣x+，
∵PM+BM＝PM+ME，
∴当P．M，E共线，且PE⊥BG时，PM+PE的值最小，
∵PE⊥BG，
∴直线PE的解析式为y＝y＝x﹣2，
由，解得，
∴E（，），
∴PE＝＝，
∴PM+BM的最小值为．

练1.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B（﹣3，0），A（0，）
（1）求抛物线解析式及D点坐标；
（2）如图1，P为线段OB上（不与O、B重舍）一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK与△MPB的面积相等时，在X轴上找一动点Q，使得CQ+QN最小时，求点Q的坐标及CQ+QN最小值；

【解答】解：（1）把B（﹣3，0），A（0，）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+，
顶点D的坐标为（﹣1，）．

（2）如图1中，设P（m，0）则N（m，＝﹣m2﹣m+）．

∵A（0，），B（﹣3，0），
∴直线AB的解析式为y＝x+，AB用PN的交点M（m，m+），
∵∠NMK＝∠BMP，∠NKM＝∠MPB＝90°，
∴△NMK∽△BMN，
∵△MNK与△MPB的面积相等，
∴△NMK≌△BMN，
∴MN＝BM，
在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，
∴BM＝2PM＝MN，
∴﹣m2﹣m+﹣m﹣＝2（m+），
解得m＝﹣2或﹣3（舍弃），
∴N（﹣2，），
在y轴上取一点F，使得∠OCF＝30°，作QH⊥CF于H，
∵QH＝CQ，
∴NQ+CQ＝NQ+QH，
根据垂线段最短可知，当N、Q、H共线，且NH⊥CF时，NQ+CQ＝NQ+QH的值最小．
∵直线CF的解析式为y＝x﹣，直线NH的解析式为y＝﹣x﹣，
∴Q（﹣1，0），
由，解得，
∴H（﹣，﹣），
∴NH＝＝3，
∴NQ+CQ＝NQ+QH的最小值为3．

练1.2如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求直线BD的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+EB的值最小，求E的坐标和最小值．

【解答】解：（1）当y＝0时，x2+x+3＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0）、B（6，0），
当x＝0时，y＝3，则C（0，3）．
∵点 D 与点 C 关于 x 轴对称，
∴点D为（0，﹣3）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，将D（0，﹣3）和B （6，0）分别代入得，
解得：k＝，b＝﹣3．
∴直线BD的解析式为y＝x﹣3．
（2）设点P 的坐标为（m，0），则点Q（m，m2+m+3），M（m，m﹣3）．
△QBD的面积＝QM•OB＝×6×（m2+m+3﹣m+3）＝﹣（m﹣2）2+24，
∴当m＝2时，△QBD的面积有最大值，此时Q（2，6）．
如图1所示：过点E作EF⊥BD，垂足为F．

在Rt△OBD中，OB＝6，OD＝3，则BD＝3，
∴tan∠EBF＝tan∠OBD＝＝．
∴EF＝BE．
∴QE+EB＝QE+EF．
∴当点Q、E、F在一条直线上时，QE+EB有最小值．
过点Q作QF′⊥BC，垂足为F′，QF′交OB与点E′．
设QF′的解析式为y＝﹣2x+b，将点Q的坐标代入得：﹣4+b＝6，解得b＝10，
∴QF′的解析式为y＝﹣2x+10．
由，解得x＝，
∴F（，﹣）
当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，
∴点E′的坐标为（5，0）．即点E的坐标为（5，0）时QE+EB有最小值．
∴QE+EB的最小值＝QF＝＝．
练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．

（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使PE+BE的值最小，求点P的坐标和PE+BE的最小值；
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，
∴点C的坐标为（0，）；
当y＝0时，有﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（3，0）、C（0，）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+．
（2）如图2中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F．
EN⊥x轴

设P（a，﹣a2+a+），则F（a，﹣a+）
∴PF＝﹣a2+a
∴S△PBC＝×PF×3＝﹣a2+a
∴当，a＝时，S△PBC最大
∴P（，）
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+．
∴∠CBO＝30°，EN⊥x轴
∴EN＝BE
∴PE+BE＝PE+EN
∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+BE值最小．
∴PE+BE＝PE+EN＝PN＝

题组2：PA+QB+k•PQ
例2．如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．
（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．


【解答】解：（1）如图1，

当x＝0时，y＝3．
当y＝0时，．
∴
∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且
设D（a，），则E（）
∴DE＝a﹣
∴当a＝﹣时，DE最大．此时D（）
∵AP平分∠CAB，
∴∠PAB＝∠CAB＝30°，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝60°，
∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝60°，
∴AQ＝PQ，
∴＝，
将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．
当Q运动到Q′时，有＝DM，
过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，
DN＝Dy＝，AN＝
∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝
∴Q′M＝，
∴DM＝DQ′+Q′M＝
＝DM＝．

练2.1如图1，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AD、BD．

（1）求△ABD的面积；
（2）如图2，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，将△PQE沿着直线AC平移，记移动中的△PQE为△P′Q′E′，连接CP′，求△PQE的周长的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；
【解答】解（1）对于抛物线y＝﹣x2+x+2，令y＝0，得到x＝6或﹣2，
∴A（6，0），B（﹣2，0），
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）2+，
∴D（2，）．
∴S△ABD＝×8×＝．

（2）∵A（6，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），则Q（m，﹣m+2），
∴PQ＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣（m﹣3）2+，
∵△PEQ∽△AOC，
∴＝＝，
∴PQ的值最大时，△PEQ的周长最大，
∵m＝3时，PQ有最大值，
此时：＝＝，
∴PE＝，QE＝，
∴△PQE周长的最大值＝++＝．
此时P（3，），E（，）．
在Rt△BOC中，tan∠BCO＝＝，
∴∠BCO＝30°，同法可得：∠ACO＝60°，
∴∠ACB＝90°，如图2中，作P′M⊥BC于M，E′H⊥AB于H，MH′⊥AB于H′，连接ME′、CP′．

∵四边形MCE′P′是矩形，
∴CP′＝ME′，
∵E′H＝AE′，
∴CP′+P′E′+AE′＝ME′+E′H+P′E′，
∴当M，E′，H共线时，CP′+P′E′+AE′的值最小，最小值＝MH+P′E′，
易知M（，），
∴CP′+P′E′+AE′的最小值＝+＝．

练2.2在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．
（1）求点D的坐标及直线BD的解析式；
（2）如图1，连接CD、AD、BD，点E为线段CD上一动点．过E作EF∥BD交线段AD于F点，当△CEF的面积最大时，在x轴上找一点P，在y轴上找一点Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；

【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则x＝2或﹣，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣，0）、（2，0）、（0，﹣2），
∴抛物线的对称轴x＝（﹣）＝，
∵点C关于抛物线对称轴对称的点为D，
∴点D（，﹣2）；
设直线BD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线BD的表达式为：y＝2x﹣4①；

（2）设点E（m，﹣2），
∵EF∥BD，
∴直线EF表达式中的k值和直线BD表达式中的k值相同，
设直线EF的表达式为：y＝2x+b′，
将点E的坐标代入上式并解得：b′＝﹣2m﹣2，
直线EF的表达式为：y＝2x﹣2m﹣2②，
联立①②并解得：，
故点F的坐标为：（，﹣），
△CEF的面积S＝×CE×（yF﹣yE）＝m×（﹣+2）＝﹣m2+m，
∵﹣＜0，故S有最大值，此时m＝，故点E（，﹣2）；
过点B作直线BH使tan∠HBO＝，则sin∠HBO＝，
作点E关于y轴的对称点E′（﹣，﹣2），过点E′作E′H⊥BH交y轴于Q，交x轴于P，则点P、Q为所求点，此时EQ+PQ+BP最小，

∵sin∠HBO＝，则PH＝PBsin∠HBO＝PB，
EQ+PQ+BP＝E′Q+PQ+PH＝E′H为最小，
∵tan∠HBO＝，故tan∠HPB＝2，即直线E′H表达式中的k值为2，
设直线E′H的表达式为：y＝2x+b″，
将点E′的坐标代入上式并解得：b″＝﹣，
故直线E′H的表达式为：y＝2x﹣，
令x＝0，则y＝﹣，令y＝0，则x＝，
故点P、Q的坐标分别为：（，0）、（0，﹣），
E′P＝＝，
PH＝×（2）＝，
故EQ+PQ+BP最小值为：；
练2.3如图①，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．
（1）过点A且平行于BC的直线交于y轴于点D，求AD的解析式；
（2）如图②，P是直线BC上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴l上有一动点M，在x轴上有一动点N，连接PM、MN，当△PAD的面积最大时，求PM+MN+BN的最小值；

【解答】解：（1）针对于抛物线y＝﹣x2+x+2，
令y＝0，则，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0）
当x＝0，得y＝2
∴C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵AD∥BC，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣；

（2）由（1）知，直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，
∴D（0，﹣），
过点P作直线l∥AD，当直线l与抛物线只有一个交点时，S△PAD最大，
设直线l的解析式为y＝﹣x+b①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，
联立①②得，x2﹣4x+2b﹣4＝0，
∴△＝16﹣4（2b﹣4）＝0，
∴b＝4，
∴x1＝x2＝2，
∴P（2，3），
如图1，
在y轴负半轴取一点K，使＝，
设OK＝m，则BK＝5m，
在Rt△BOK中，（5m）2﹣（m）2＝16，
∴m＝或m＝﹣（舍），
∴BK＝2，
∴OK＝2，
∴点K（0，﹣2），
则sin∠OBK＝＝，cos∠OBK＝＝＝，
过点N作NT⊥BK于T，
在Rt△BTN中，sin∠OBT＝＝，
∴NT＝BN，作点P（2，3）关于抛物线对称轴x＝的对称的P'，
∴P'（1，3），
∴点P'，M，N，T在同一条线时，PM+MN+BN最小，最小为P'T，
∵B（4，0），
∴直线BK的解析式为y＝x﹣2，
过P'作P'W⊥x轴交BK与W，
∴W（1，﹣），
∴P'W＝3+＝，
∵∠BNT＝∠P'NO，
∴∠WP'T＝∠OBK，
∴cos∠WP'T＝cos∠OBK＝，
∴P'T＝P'W•cos∠WP'T＝×＝，
即：PM+MN+BN的最小值为；