2022年中考数学二轮热点题型演练专题07 统计与概率

这是一份2022年中考数学二轮热点题型演练专题07 统计与概率，共55页。试卷主要包含了考点归纳，最新模考题组练2等内容，欢迎下载使用。

专题07 统计与概率
目录
一、考点归纳
【考点01】 统计
【考点02】 概率
二、最新模考题组练 2


【考点01】 统计
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查．并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据以上信息解决下列问题：   
（1）参加问卷调查的学生人数为______名．补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占______%；
（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？

2.（2020·江苏苏州·中考真题）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是__________．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
93.5


100
80
分数段统计（学生成绩记为）
分数段





频数
0
5
25
30
40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．

【提分秘籍】
1.扇形图：用整个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形图.扇形图主要是反映具体问题中的部分与整体的数量关系。
2.条形图：用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少画成长短不同的条形，条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，这样的统计图叫做条形图.它可以表示出每个项目的具体数量。
3.折线图：用一个单位长度表示一定的数据，根据数量的多少描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来，这样的统计图叫做折线图。
4.绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差
②决定组距和组数：把所有数据分成若干组，分成的组的个数称为组数，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.一般数据越多分的组数也越多，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5-12个组。
③列频数分布表：对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数），对频数进行整理可得频数分布表。
④画频数分布直方图：按照频数分布表，在平面直角坐标系中，横轴表示数据，在横轴的正方向标出每个组的端点，纵轴表示频数与组距的比值，容易看出，小长方形面积=组距x频数+频数，可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实情况，学校学生会就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在学校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（小时）进行分组（A组：，B组：，C组：，D组：），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题：

（1）补全条形统计图；
（2）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有________人．
（3）根据调查，学生会的小明认为：大部分人锻炼时间超过了1小时，所以锻炼时间的平均数一定超过了1小时．你同意他的观点吗？试说明理由．
2.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）教育部颁发的《中小学教育惩戒规则（试行）》并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取了_________名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是_________．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2000名学生家长，估计该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有多少人？
（4）D类不支持的家长中有两人是女性，一人是男性，现从这三个人中抽取两人，用树状图或者列表的方式求抽取的两人都是女性的概率．
3.（2021·江苏苏州·一模）抗击疫情，人人有责．某校成立教师志愿者分队，共分宣传、测温、清理（主要厨余垃圾清理）、统计（师生疫情信息统计）四组，为了解教师对这四个小组的参与意愿情况调查，对教师进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表。
最有意向参与小组调查问卷（样表）

统计表
选项
小组
请选择
小组
频数
频率
A
宣传

A

0.35
B
测温

B
18
0.30
C
清理

C
15
b
D
统计

D
6

老师您好！请选择一个（只能选一个）您最有意向参与的小组，在其后空格内打“√”，谢谢您的配合．
合计
a
1



请你根据统计表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的_________，_________；
（2）根据调查结果，请你估计该市4000名教师中最有意向参与清理小组的人数；
（3）王老师和李老师选择参与小组，若他们每人从A、B、C、D四个小组中随机选取一个，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一个的概率．
【考点02】 概率
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
2.（2020·江苏苏州·中考真题）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、 2，它们除数字外都相同.小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标，请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率.

【提分秘籍】
1.直接列举法：求简单随机事件的概率，容易得到所有等可能的结果总数n和事件A包含的结果数m，可直接套用公式 PA=mn求出其概率。
2.用列表法求概率：列表法是指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
3.用树状(形)图法求概率：树状（形）图法是指用树状（形）图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
①树状（形）图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；
②在求可能事件的概率用列表法或画树状（形）图法时，应注意各种情况出现的可能性务必相同；
③在列表或画树状（形）图求概率时，各种情况出现的可能性不能重复，也不能遗漏。
【变式演练】
1.（2021·江苏·高港实验学校二模）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．

（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．

2.（2021·江苏苏州·一模）春节期间，波波和小言相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没·狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没·狂野大陆》表示为D．

（1）波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是__________；
（2）波波和小言制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），两人分别转动转盘一次，如果指针转到相同的区域，那他们就看这个区域所代表的电影．请用树状图或列表法表示两人观看同一部电影的概率是多少？
3.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）一个不透明的布袋里装有6个白球，2黑球和若干个红球．它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球的个数________；
（2）小亮和小丽将布袋中的白球取出5个，利用剩下的球进行摸球游戏．他们约定：先摸出1个球后不放回，再摸出1个球，若两个球中有红球则小亮胜，否则小丽胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图说明理由．

【训练题组1】
1．（2021·江苏·张家港市梁丰初级中学一模）某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级
频数（人）
频率
优秀
15
0.3
良好


及格


不及格
5


根据以上信息，解答下列问题
（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为_______人，成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为_______；
（2）被测试男生的总人数为_______人，在扇形统计图中成绩等级为“不及格”的男生所对应圆心角度数为_______；
（3）若该校八年级共有180名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．
2．（2021·江苏·苏州市相城区春申中学一模）某校决定对学生感兴趣的球类项目（：足球，：篮球，：排球，：羽毛球，：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．

（1）该班学生人数有________人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生3500名，请估计有多少人选修足球？
（4）该班班委5人中，1人选修篮球，3人选修足球，1人选修排球，李老师要从这5人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
3．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校二模）某校为了了解七年级学生“校本课程”的选修情况，在该校七年级学生中随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷设置了“文学欣赏”、“球类运动”、“动漫制作”、“其他”四个选项，每名同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
各类“校本课程”选修情况频数分布表
课程类别
频数
文学欣赏
16
球类运动
20
动漫制作
6
其他
a
合计
b

（1）直接写出的值；
（2）若该校七年级共有学生600人，请估计选修“球类运动”的学生人数．
4．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息一：甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表如下：
成绩班级





甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
（说明：为优秀，为良好，为合格，以下为不合格）
信息二：甲班成绩在这一组的是：70，70，70，71，74，75，75，75，76，76，76，76，78．
信息三：甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：
班级
平均分
中位数
众数
甲

n
85
乙

73
84
根据以上信息，回答下列问题：
（1）则表中_________；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是________班的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）假设学校1200名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．
5．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）为了增强环境保护意识，在“世界环境日”当天，在环保局工作人员指导下，若干名“环保小卫士”组成的“控制噪声污染”课题学习研究小组，随机抽查了全市40个噪声测量点在某时刻的噪声声级（单位：），并将抽查得到的数据进行整理（设所测数据是正整数），得频数分布表如下：
组别
噪声声级分组
频数
频率
1

4
0.1
2


0.2
3

10
0.25
4


b
5

6
0.15
合计

a
1.00

根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的______，______；
（2）补充完整频数分布直方图；
（3）这组数据的中位数落在第______小组内；
（4）如果全市共有400个测量点，那么在这一时刻噪声声级小于的测量点约有多少个？
6．（2021·江苏苏州·二模）学校开通了线上教育学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀（每天都用），B级：良好（周末使用），C级：合格（假期使用），D级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频率
人数
A
6

B
12
b
C
c

D
8


请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次调查随机抽取了________名学生；表中________，________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是_________；
（4）若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？
7．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“优秀：；良好：；合格﹔不合格：”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了_______名学生；
（2）扇形统计图中所在扇形的圆心角度数为_________；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数．
8．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对部分学校的九年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，级：对学习很感兴趣；级：对学习较感兴趣；级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了______名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市近80000名九年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括级和级）？
【训练题组2】
1．（2021·江苏·苏州市第十六中学九年级期中）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．

(1)甲坐在①号座位的概率是　 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
2．（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片、、、，每张卡片的正面标有字母、、表示三条线段（如下图）．把四张卡片背面上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．






















（1）李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片的概率等于________；
（2）求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
3．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”小明同学带了4个青团子（除馅不同外，其他均相同），其中有2个豆沙青团、1个芝麻青团和1个肉松青团，他准备从中拿出两个给他的同学小玲．
（1）用画树状图或列表的方法列出小玲拿到2个青团的所有等可能的结果：
（2）请你计算小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率．
4．（2021·江苏省苏州市阳山实验初级中学校二模）一个的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．

（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为__________；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．
5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．
（1）甲同学在A入口处测量体温的概率是　 　；
（2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
6．（2021·江苏苏州·九年级开学考试）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字，0，1，2四个数字，这些小球除了数字不同外，其它都完全相同，袋内小球充分搅匀．
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为______（直接写出答案）；
（2）若先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．请用树状图或表格形式列出所有可能出现的结果，并求出两次摸出的小球球面上数字之和为1的概率．
7．（2021·江苏苏州·二模）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少?
（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是-红一黑，则小李获胜：若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平．

8．（2021·江苏·张家港市梁丰初级中学一模）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为________．
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
专题07 统计与概率
目录
一、考点归纳
【考点01】 统计
【考点02】 概率
二、最新模考题组练 2


【考点01】 统计
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查．并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据以上信息解决下列问题：   
（1）参加问卷调查的学生人数为______名．补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占______%；
（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？
【答案】（1）50，见解析；（2）10；（3）200名
【分析】（1）根据参加“折扇”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数，再用总人数减去参加“折扇”、“刺绣”和“陶艺”的人数即可得到参加“剪纸”的人数，从而可补全条形统计图；
（2）用选择“陶艺”课程的学生人数除以总人数即可得到结果；
（3）先求出样本中参加“刺绣”课程的百分比，再用八年级人数乘以这个百分比即可得到结论．
【解析】解：（1）15÷30%=50（人），
所以，参加问卷调查的学生人数为50名，
参加“剪纸”课程的人数为：50-15-10-5=20（名）
画图并标注相应数据，如下图所示．

故答案为：50；
（2）5÷50=0.1=10%
故答案为10；
（3）由题意得：（名）．
答：选择“刺绣”课程有200名学生．
2.（2020·江苏苏州·中考真题）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是__________．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
93.5


100
80
分数段统计（学生成绩记为）
分数段





频数
0
5
25
30
40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
【答案】（1）方案三；（2）①该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在分数段内；②该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数为840人
【分析】（1）抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的．
（2）①根据中位数的定义，即可求出这次竞赛成绩的中位数所落的分数段；
②用优秀率乘以该校共有的学生数，即可求出答案．
【解析】解：（1）要调查学生的答题情况，需要考虑样本具有广泛性与代表性，就是抽取的样本必须是随机的，则抽取的样本具有代表性的方案是方案三．
答案是：方案三；
（2）①∵由表可知样本共有100名学生，
∴这次竞赛成绩的中位数是第50和51个数的平均数，
∴这次竞赛成绩的中位数落在落在分数段内；
∴该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在分数段内；
②由题意得：（人）．
∴该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数为840人．
【提分秘籍】
1.扇形图：用整个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形图.扇形图主要是反映具体问题中的部分与整体的数量关系。
2.条形图：用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少画成长短不同的条形，条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，这样的统计图叫做条形图.它可以表示出每个项目的具体数量。
3.折线图：用一个单位长度表示一定的数据，根据数量的多少描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来，这样的统计图叫做折线图。
4.绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差
②决定组距和组数：把所有数据分成若干组，分成的组的个数称为组数，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.一般数据越多分的组数也越多，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5-12个组。
③列频数分布表：对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数），对频数进行整理可得频数分布表。
④画频数分布直方图：按照频数分布表，在平面直角坐标系中，横轴表示数据，在横轴的正方向标出每个组的端点，纵轴表示频数与组距的比值，容易看出，小长方形面积=组距x频数+频数，可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实情况，学校学生会就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在学校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（小时）进行分组（A组：，B组：，C组：，D组：），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题：

（1）补全条形统计图；
（2）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有________人．
（3）根据调查，学生会的小明认为：大部分人锻炼时间超过了1小时，所以锻炼时间的平均数一定超过了1小时．你同意他的观点吗？试说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）720人；（3）不同意，理由见解析
【分析】（1）根据条形统计图的数据除以扇形统计图所占的百分比求得总人数，根据总人数乘以扇形统计图所占的百分比，求得组的人数，根据总人数减去组的人数求得组的人数，进而补全统计图；
（2）根据两组人数所占的百分比乘以1200即可得到当天达到国家规定体育活动时间的学生人数；
（3）求得锻炼时间的最小值即可判断．
【解析】（1）条形统计图组的人数为60，扇形统计图所占的百分比为，
总人数为（人），
扇形统计图所占的百分比为，
组人数为（人），
组人数为（人），
补全统计图如图：

（2）依题意，符合国家规定体育活动时间的学生有
人
（3）不同意．由题意可知：
锻炼时间平均数的最小值为
∴平均数不一定超过1小时．
2.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）教育部颁发的《中小学教育惩戒规则（试行）》并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取了_________名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是_________．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2000名学生家长，估计该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有多少人？
（4）D类不支持的家长中有两人是女性，一人是男性，现从这三个人中抽取两人，用树状图或者列表的方式求抽取的两人都是女性的概率．
【答案】（1）60，；（2）补图见解析；（3）1600；（4）
【分析】（1）从两个统计图可知，“C不关心”的频数为9人，占调查人数的15%，渴求出调查人数，求出“D不支持”所占的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（2）求出 “A非常支持”的人数，即可补全条形统计图；
（3）求出 “A非常支持”“ B支持”所占的百分比即可；
（4）树状图或者列表的方式求概率．
【解析】（1）（人），，
故答案为：60，；
（2）60-36-9-3=12（人），补全条形统计如图所示：

（3）（人）
答：该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有1600人；
（3）树状图如下：

由图可知，有9种等可能的情况，抽取的两人都是女性的有4种情况，概率为：．
3.（2021·江苏苏州·一模）抗击疫情，人人有责．某校成立教师志愿者分队，共分宣传、测温、清理（主要厨余垃圾清理）、统计（师生疫情信息统计）四组，为了解教师对这四个小组的参与意愿情况调查，对教师进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表。
最有意向参与小组调查问卷（样表）

统计表
选项
小组
请选择
小组
频数
频率
A
宣传

A

0.35
B
测温

B
18
0.30
C
清理

C
15
b
D
统计

D
6

老师您好！请选择一个（只能选一个）您最有意向参与的小组，在其后空格内打“√”，谢谢您的配合．
合计
a
1



请你根据统计表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的_________，_________；
（2）根据调查结果，请你估计该市4000名教师中最有意向参与清理小组的人数；
（3）王老师和李老师选择参与小组，若他们每人从A、B、C、D四个小组中随机选取一个，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一个的概率．
【答案】（1）60，0.25；（2）1000人；（3）
【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得；
（2）总人数乘以A的对应频率可得；
（3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两人恰好选中同一个的结果数除以总的结果数即可．
【解析】解：（1）a=18÷0.3=60，b=15÷60=0.25，
故答案为：60，0.25；
（2）估计该市4000名小学生中教师中最有意向参与清理小组的人数为：4000×0.25=1000（人）；
（3）根据题意画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一个的结果有4种，
∴两人恰好选中同一个的概率为．
【考点02】 概率
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【答案】（1）；（2）公平，见解析
【分析】（1）列举出所有可能，进而求出概率；
（2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【解析】解：（1）共有4种等可能的结果，其中数字是负数情况占1种
P（数字是负数）=；
（2）用树状图或表格列出所有等可能的结果：

∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，
∴（结果为非负数），
（结果为负数）．
∴游戏规则公平．
2.（2020·江苏苏州·中考真题）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、 2，它们除数字外都相同.小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标，请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率.
【答案】
【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解析】用列表格法表示点A所有可能的情况如下：
　　　　　　　横坐标
纵坐标　
0
1
2
0
(0，0)
(1，0)
(2，0)
1
(0，1)
(1，1)
(2，1)
2
(0，2
(1，2)
(2，2)
共有9种等可能出现的结果，其中点A在坐标轴上有5种，
∴P（点A在坐标轴上）=．
【提分秘籍】
1.直接列举法：求简单随机事件的概率，容易得到所有等可能的结果总数n和事件A包含的结果数m，可直接套用公式 PA=mn求出其概率。
2.用列表法求概率：列表法是指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
3.用树状(形)图法求概率：树状（形）图法是指用树状（形）图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
①树状（形）图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；
②在求可能事件的概率用列表法或画树状（形）图法时，应注意各种情况出现的可能性务必相同；
③在列表或画树状（形）图求概率时，各种情况出现的可能性不能重复，也不能遗漏。
【变式演练】
1.（2021·江苏·高港实验学校二模）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．

（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）用列表法或树状图列举所有可能，再利用概率公式解答即可．
【解析】（1）由题意得：王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为，
故答案为：；
（2）画出树状图如下：

所有出现的等可能性结果有12种，其中满足条件的结果有2种，则两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是．
2.（2021·江苏苏州·一模）春节期间，波波和小言相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没·狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没·狂野大陆》表示为D．

（1）波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是__________；
（2）波波和小言制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），两人分别转动转盘一次，如果指针转到相同的区域，那他们就看这个区域所代表的电影．请用树状图或列表法表示两人观看同一部电影的概率是多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：（1）共有四部电影，分别是《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没•狂野大陆》，
则波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是.
故答案为：；
（2）列表如下：

























由表知共有16种等可能结果，其中两人观看同一部电影的有4种结果，
所以两人观看同一部电影的概率为．
3.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）一个不透明的布袋里装有6个白球，2黑球和若干个红球．它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球的个数________；
（2）小亮和小丽将布袋中的白球取出5个，利用剩下的球进行摸球游戏．他们约定：先摸出1个球后不放回，再摸出1个球，若两个球中有红球则小亮胜，否则小丽胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图说明理由．
【答案】（1）1；（2）公平，理由见解析
【分析】（1）设布袋里红球有个，根据“白球的概率为”可得关于的分式方程，解之可得答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解析】解：（1）设布袋里红球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
所以布袋里有1个红球；
（2）列表如下：

白
黑
黑
红
白

（白，黑）
（白，黑）
（白，红）
黑
（黑，白）

（黑，黑）
（黑，红）
黑
（黑，白）
（黑，黑）

（黑，红）
红
（红，白）
（红，黑）
（红，黑）

由表知，共有12种等可能结果，其中两个球中有红球的有6种情况，两个球中没有红球的有6种情况，
∴P小亮胜=P小丽胜=，
∴这个游戏公平。

【训练题组1】
1．（2021·江苏·张家港市梁丰初级中学一模）某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级
频数（人）
频率
优秀
15
0.3
良好


及格


不及格
5


根据以上信息，解答下列问题
（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为_______人，成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为_______；
（2）被测试男生的总人数为_______人，在扇形统计图中成绩等级为“不及格”的男生所对应圆心角度数为_______；
（3）若该校八年级共有180名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．
【答案】（1）；（2）；（3）72人
【分析】（1）直接从频数分布表和扇形统计图得到信息；
（2）根据成绩等级为“优秀”的频数和频率可求得总人数，总人数=频数÷频率；根据频数分布图中的“不及格”人数除以总人数乘以360°，即可得到成绩等级为“不及格”的男生所对应圆心角度数；
（3）根据样本中成绩等级为“良好”的人数所占总人数的百分比乘以全校男生人数即可．
【解析】（1）从频数分布表可知，成绩等级为“优秀”的男生人数为15人，
从扇形统计图可知，成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为20%；
故答案为：15,20；
（2）被测试的男生总人数为：15÷0.3=50（人）；
在扇形统计图中成绩等级为“不及格”的男生所对应圆心角度数为：,
故答案为：；
（3）优秀人数的百分比为：，
及格人数的百分比为：20%，
不及格人数的百分比为：，
全校男生成绩等级为“良好”的学生人数为：
（人）．
2．（2021·江苏·苏州市相城区春申中学一模）某校决定对学生感兴趣的球类项目（：足球，：篮球，：排球，：羽毛球，：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．

（1）该班学生人数有________人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生3500名，请估计有多少人选修足球？
（4）该班班委5人中，1人选修篮球，3人选修足球，1人选修排球，李老师要从这5人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【答案】（1）50；（2）见详解；（3）1400（人）；（4）．
【分析】（1）由B项目人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数分别乘以C、E项目对应百分比可得其人数，继而根据5个项目的人数之和等于总人数求出A项目人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
（4）将选修足球的记作A、选修篮球记作B、选修排球记作C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．
【解析】解：（1）该班的学生总人数为8÷16%=50（人）；
故答案为：50；
（2）C项目的人数为50×24%=12（人），E项目的人数为50×8%=4（人），
∴A项目的人数为50-（8+12+6+4）=20（人），
补全条形统计图如下：

（3）估计选修足球的人数为：3500× =1400（人）；
（4）将选修足球的记作A、选修篮球记作B、选修排球记作C，画树状图如下：

由树状图知，共有20种等可能结果，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果有6种，
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为：．
3．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校二模）某校为了了解七年级学生“校本课程”的选修情况，在该校七年级学生中随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷设置了“文学欣赏”、“球类运动”、“动漫制作”、“其他”四个选项，每名同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
各类“校本课程”选修情况频数分布表
课程类别
频数
文学欣赏
16
球类运动
20
动漫制作
6
其他
a
合计
b

（1）直接写出的值；
（2）若该校七年级共有学生600人，请估计选修“球类运动”的学生人数．
【答案】（1）；（2）选修“球类运动”的学生人数为240人．
【分析】（1）根据频数分布表和扇形统计图可得选修“文学欣赏”的人数为16人，所占百分比为32％，进而可得b的值，然后可求a、m的值；
（2）由（1）及题意可得“球类运动”所占百分比为20÷50×100％=40％，然后根据样本估计总体可求解．
【解析】解：（1）由题意可得：
，
∴，，即m=16；
（2）由（1）及题意得：
（人）；
答：选修“球类运动”的学生人数为240人．
4．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息一：甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表如下：
成绩班级





甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
（说明：为优秀，为良好，为合格，以下为不合格）
信息二：甲班成绩在这一组的是：70，70，70，71，74，75，75，75，76，76，76，76，78．
信息三：甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：
班级
平均分
中位数
众数
甲

n
85
乙

73
84
根据以上信息，回答下列问题：
（1）则表中_________；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是________班的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）假设学校1200名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）74.5；（2）乙；（3）420．
【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；
（2）根据这名学生的成绩为74分，大于甲班样本数据的中位数72.5分，小于乙班样本数据的中位数76分可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解析】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n＝＝74.5，
故答案为：74.5；
（2）这名学生的成绩为74分，小于甲班样本数据的中位数74.5分，大于乙班样本数据的中位数73分，说明这名学生是乙班的学生，
故答案为：乙；
（3）1200×＝420（人），
答：学校1200名学生中成绩优秀的大约有420人．
5．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）为了增强环境保护意识，在“世界环境日”当天，在环保局工作人员指导下，若干名“环保小卫士”组成的“控制噪声污染”课题学习研究小组，随机抽查了全市40个噪声测量点在某时刻的噪声声级（单位：），并将抽查得到的数据进行整理（设所测数据是正整数），得频数分布表如下：
组别
噪声声级分组
频数
频率
1

4
0.1
2


0.2
3

10
0.25
4


b
5

6
0.15
合计

a
1.00

根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的______，______；
（2）补充完整频数分布直方图；
（3）这组数据的中位数落在第______小组内；
（4）如果全市共有400个测量点，那么在这一时刻噪声声级小于的测量点约有多少个？
【答案】（1）40；0.3；（2）答案见解析；（3）3；（4）120个.
【分析】（1）根据各组数据的频率和为1可以计算出b，根据总数为40可以得到a的值；
（2）根据频数=总数×频率算出剩余数据，然后进行补充频数分布直方图即可；
（3）根据中位数的定义即可得到答案；
（4）利用样本估计总体，用样本中噪声声级小于75dB的测量点的频率乘以总数即可求解．
【解析】解：（1）∵各组数据的频率和为1
∴b=1-0.1-0.2-0.25-0.15=0.3
∵一共有40个噪声测量点
∴a=40
（2）∵频数=总数×频率
∴59.5−74.5这一级的频数=40×0.2=8，89.5−104.5这一级的频数=40×0.3=12
∴补全频数分布直方图如下

（3）由频数分布表中的数据可知一共有40个数据
∴中位数为第20和第21个数据的平均数
∵第20和第21个数据均在第3组
∴中位数落在第3小组；
（4）由题意可得样本中噪声声级小于75dB的测量点的频率=0.1+0.2=0.3
∴总体中噪声声级小于75dB的测量点个数=400×0.3=120个
答：噪声声级小于75dB75dB的测量点个数为120个.
6．（2021·江苏苏州·二模）学校开通了线上教育学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀（每天都用），B级：良好（周末使用），C级：合格（假期使用），D级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频率
人数
A
6

B
12
b
C
c

D
8


请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次调查随机抽取了________名学生；表中________，________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是_________；
（4）若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？
【答案】（1）40人，0.3，14；（2）补图见解答；（3）72°；（4）810人．
【分析】（1）根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，用良好的人数除以总人数求出b，用总人数乘以合格的人数所占的百分比求出c；
（2）根据（1）求出合格的人数，再补全统计图即可；
（3）用360°乘以“不合格”的人数所占的百分比即可；
（4）用总人数乘以“优秀”和“良好”等级的学生所占的百分比即可．
【解析】解：（1）本次调查随机抽取的学生数是：6÷0.15=40（名），
=0.3，c=0.35×40=14；
故答案为：40，0.3，14；
（2）C级的人数有14人，补全统计图如下：

（3）“不合格”等级所对应的圆心角的度数是：360°×0.2=72°．
故答案为：72°；
（4）1800×（0.15+0.3）=810（人），
答：该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有810人．
7．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“优秀：；良好：；合格﹔不合格：”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了_______名学生；
（2）扇形统计图中所在扇形的圆心角度数为_________；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数．
【答案】（1）120；（2）54°；（3）见解析；（4）375人
【分析】（1）用B等级的人数除以对应百分比可得结果；
（2）用D等级的人数除以样本人数，再乘以360即可；
（3）求出A等级和C等级的人数，从而补全统计图；
（4）用样本中A等级的人数除以样本人数，再乘以该校总人数．
【解析】解：（1）（25+23）÷40%=120人，
∴此次共调查了120名学生；
（2）（10+8）÷120×360°=54°，
∴D所在扇形的圆心角度数为54°；
（3）120×20%=24，24-12=12，
120-16-25-23-12-12-10-8=14，
补全统计图如下：

（4）（14+16）÷120×1500=375人，
∴估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数有375人．
8．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对部分学校的九年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，级：对学习很感兴趣；级：对学习较感兴趣；级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了______名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市近80000名九年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括级和级）？
【答案】（1）200；（2）见详解；（3）68000
【分析】（1）通过对比条形统计图和扇形统计图可知：学习态度层级为A级的有50人，占25%，即可求得总人数；
（2）由（1）可知：C级人数为：200−120−50＝30人，将图补充完整即可；
（3）从扇形统计图可知，达标人数占得百分比为：25%＋60%＝85%，再估计该市近80000名九年级学生中达标的学习态度的人数即可．
【解析】解：（1）50÷25%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）C级人数：200−120−50＝30（人）．
条形统计图如图所示：

（3）80000×（25%＋60%）＝68000（名）．
答：估计该市近80000名九年级学生中大约有68000名学生学习态度达标．
【训练题组2】
1．（2021·江苏·苏州市第十六中学九年级期中）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．

(1)甲坐在①号座位的概率是　 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据概率公式直角计算即可；
（2）画树状图可知共有6种等可能的结果，而甲与乙相邻而坐的结果有4种，最后用概率公式求解即可．
【解析】(1)解：∵丙坐了一张座位，
∴甲坐在①号座位的概率是．
故答案是．
(2)解：根据题意画树状图如图：

共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为=．
2．（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片、、、，每张卡片的正面标有字母、、表示三条线段（如下图）．把四张卡片背面上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．






















（1）李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片的概率等于________；
（2）求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三条线段都能组成三角形的情况数，然后根据概率公式即可求得答案．
【解析】解：（1）(1)∵有四张卡片，背面标有A、B、C、D，
∴李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于；
（2）根据题意画图如下：

共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中，每张卡片上的三条线段都能组成三角形有种结果，
∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为．
3．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”小明同学带了4个青团子（除馅不同外，其他均相同），其中有2个豆沙青团、1个芝麻青团和1个肉松青团，他准备从中拿出两个给他的同学小玲．
（1）用画树状图或列表的方法列出小玲拿到2个青团的所有等可能的结果：
（2）请你计算小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；
（2）根据（1）中的树状图可以得到小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率．
【解析】解：（1）豆沙青团记为A、芝麻青团记为B、肉松青团记为C，由题意可得，

（2）由（1）可得：
共有12种等可能的结果，其中小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的有2种，
∴小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率为=．
4．（2021·江苏省苏州市阳山实验初级中学校二模）一个的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．

（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为__________；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）利用列表法列出所有可能的情况数，即可得到仅有三枚棋子恰好在同一条直线上的结果数，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）棋盘内已有两枚棋子，剩余的方格数为9-2=7个，则在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在一条直线上的概率为，
故答案为：；
（2）解：如图，棋盘中剩余的方格分别记为1，2，3，4，5，

在这五个方格中随机放入2枚棋子，所有可能出现的结果有：
，，，，，，，，，，共有10种，他们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足“仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上”（记为事件）的结果有4种，
即，，，，
所以．
5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．
（1）甲同学在A入口处测量体温的概率是　 　；
（2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）列树状图计算即可；
【解析】解：（1）∵学校有A、B、C三个大门入口，
∴甲同学在A入口处测量体温的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：

由图可知共有9种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有3种，
则P（甲、乙两位同学在同一入口处测量体温）＝．
6．（2021·江苏苏州·九年级开学考试）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字，0，1，2四个数字，这些小球除了数字不同外，其它都完全相同，袋内小球充分搅匀．
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为______（直接写出答案）；
（2）若先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．请用树状图或表格形式列出所有可能出现的结果，并求出两次摸出的小球球面上数字之和为1的概率．
【答案】（1）；（2）树状图或列表见解析，
【分析】（1）用数字是2的球的个数除以球的总数得到概率；
（2）画出树状图，找出所有可能性中符合条件的情况，求出概率．
【解析】解：（1）4个球其中有1个是数字2的球，概率是，
故答案是：；
（2）树状图如图所示：

一共有12种可能性，其中数字之和是1的有4种，
∴概率是．
7．（2021·江苏苏州·二模）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少?
（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是-红一黑，则小李获胜：若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到-红一黑，以及两个球都是白色的情况数，求出它们的概率，即可做出判断．
【解析】解：（1）4个小球中有1个红球，
则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是：
（2）列表如下：

红
       白
白
黑
红
---
（白，红）
（白，红）
（黑，红）
白
（红，白）
---
（白，白）
（黑，白）
白
（红，白）
（白，白）
---
（黑，白）
黑
（红，黑）
（白，黑）
（白，黑）
---
所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到一红一黑有2种可能，摸出的两个球都是白色的有有2种可能，
则P（小李获胜）=，P（小王获胜）=，
故游戏公平．
8．（2021·江苏·张家港市梁丰初级中学一模）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为________．
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据公式求解．
【解析】（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，
所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．