高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册3 带电粒子在匀强磁场中的运动学案设计

3.带电粒子在匀强磁场中的运动

学习目标：1.[物理观念]了解带电粒子在匀强磁场中的运动规律。　2.[科学思维]掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式及应用。　3.[科学态度和责任]了解电磁现象在现代科技中的应用。

带电粒子在匀强磁场中的运动

1．洛伦兹力的特点

(1)洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。

(2)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。

2．带电粒子在匀强磁场中的运动

(1)运动特点：沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。

(2)半径和周期公式

质量为m、带电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。

①半径：由qvB＝m得r＝。

②周期：由T＝得T＝。

由此可知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟速率v和半径r无关。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关。              (√)

(2)电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速率越大，周期越大。

  (×)

(3)带电粒子进入匀强磁场中一定做匀速圆周运动。 (×)

(4)带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场，若只考虑洛伦兹力，则粒子的加速度不变 。               (×)

2．在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场中，则(　　)

A．粒子的速率加倍，周期减半

B．粒子的速率不变，轨道半径加倍

C．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的

D．粒子的速率不变，周期减半

D　[因为洛伦兹力对运动电荷不做功，所以速率不变，由轨道半径公式r＝和周期公式T＝可判断，选项D正确。]

3．有三束粒子，分别是质子(H)、氚核(H)和α(He)粒子束，如果它们均以相同的速度垂直射入匀强磁场(磁场方向垂直于纸面向里)，图中能正确表示这三束粒子的运动轨迹的是(　　)

A　 　　　B　　　　C　　　　D

C　[由粒子在磁场中运动的半径r＝可知，质子、氚核、α粒子轨迹半径之比r1∶r2∶r3＝∶∶＝∶∶＝1∶3∶2，所以三种粒子的轨道半径应该是质子最小，氚核最大，选项C正确。]

1．轨迹圆心的两种确定方法

(1)已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心，如图所示。

(2)已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图所示。

2．三种求半径的方法

(1)根据半径公式r＝求解。

(2)根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。

(3)根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝。

3．四种角度关系

(1)如图所示，速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。

(2)圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。

(3)相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。

(4)进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。

4．两种求时间的方法

(1)利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝T。

(2)利用弧长s和速度v求解，t＝。

【例1】　如图所示，质量为m，电荷量为q的负离子，以速度v垂直于荧光屏S经过小孔O射入匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。求：

(1)离子打在荧光屏上的位置离O点的距离是多少？

(2)若离子进入磁场后经过一段时间到达P点，已知OP连线与入射方向的夹角为θ，求离子从O到P所经历的时间？

[解析]　(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，作出其运动轨迹，如图

由牛顿第二定律可得：Bqv＝m

解得：r＝

如图所示，离子回到屏S上的位置与O点的距离为：d＝2r＝。

(2)当离子到位置P时，圆心角：α＝2θ

离子运动的时间为t＝T，而周期T＝

所以联立以上三式得：离子运动时间t＝。

[答案]　(1)　(2)t＝

分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点

(1)确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。

(2)掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。

1．如图所示，一束电子(电荷量为e)以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是___________，在磁场中的运动时间是________。

[解析]　电子在磁场中运动只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为F⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力方向的交点，如题图所示的O点。

由几何知识可知，CD间圆心角θ＝30°，OD为半径。

r＝＝2d，又由r＝得m＝

电子在磁场中的运动时间t＝T

解得t＝×＝。

[答案]　　

现代科技中的应用

【例2】　如图所示为一速度选择器，也称为滤速器的原理图。K为电子枪，由枪中沿KA方向射出的电子，速率大小不一。当电子通过方向互相垂直的匀强电场和匀强磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进，并通过小孔S。设产生匀强电场的平行板间的电压为300 V，间距为5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T，问：

(1)磁场的指向应该向里还是向外？

(2)速率为多大的电子才能通过小孔S?

[解析]　(1)由题图可知，平行板间的电场强度E的方向向下，电子受到的静电力FE＝eE，方向向上。若没有磁场，电子将向上偏转，为了使电子能够穿过小孔S，所加的磁场施于电子的洛伦兹力必须是向下的。根据左手定则分析得出，B的方向应该垂直于纸面向里。

(2)电子受到的洛伦兹力FB＝evB，它的大小与电子的速度v有关。只有那些速度的大小刚好使得洛伦兹力与静电力平衡的电子，才可沿直线KA通过小孔S。

据题意，能够通过小孔S的电子，其速度满足：evB＝eE，

解得v＝。

又因为E＝，所以v＝。

将U＝300 V，B＝0.06 T，d＝0.05 m代入上式，解得v＝105 m/s，即只有速度为105 m/s的电子才可以通过小孔S。

[答案]　(1)磁场方向垂直于纸面向里　(2)105 m/s

1带电粒子在速度选择器中若做曲线运动，则曲线运动不是“类平抛”运动。

2速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计都利用了力的平衡知识。

2．(多选)为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计。该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口。在垂直于上下表面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两极间的电压U。若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是(　　)

A．N端的电势比M端的高

B．若污水中正、负离子数相同，则前后表面的电势差为零

C．电压表的示数U跟a和b都成正比，跟c无关

D．电压表的示数U跟污水的流量Q成正比

AD　[由左手定则可知，不管污水带何种电性，都有φN>φM，选项A正确，选项B错误。当电荷受力平衡时有qvB＝q，得v＝，流量Q＝Sv＝，选项C错误，选项D正确。]

1．如图所示，美国物理学家安德森在研究宇宙射线时，在云雾室里观察到有一个粒子的径迹和电子的径迹弯曲程度相同，但弯曲方向相反，从而发现了正电子，获得了1936年的诺贝尔物理学奖，已知云雾室中磁场方向与纸面垂直，下列说法正确的是(　　)

A．云雾室中磁场方向垂直纸面向外

B．云雾室中磁场方向垂直纸面向里

C．若增大磁感应强度，正电子运动半径增大负电子运动半径减小

D．若增大磁感应强度，正电子运动半径减小负电子运动半径增大

B　[由图可知，向下运动的正电荷受到的洛伦兹力的方向向右，由左手定则可知，磁场的方向垂直于纸面向里。选项B正确，A错误；根据r＝ 可知，若增大磁感应强度，正电子和负电子运动半径均减小，选项C、D错误。故选B。]

2．下列各图反映的是带电粒子在匀强磁场中沿垂直于磁场方向做匀速圆周运动的情况，其中正确的是(　　)

A．　　　　　　B．

C．　　　　　　　D．

D　[带电粒子在匀强磁场中沿垂直于磁场方向做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供，由左手定则可判断D正确。]

3.如图所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　)

A．沿路径a运动，轨迹是圆

B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大

C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小

D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小

B　[由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲。又由r＝知，B逐渐减小，r越来越大，故电子的径迹是a。故选B。]

4．质量和电荷量都相等的带电粒子M和N以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是(　　)

A．M带负电，N带正电

B．M的速率小于N的速率

C．洛伦兹力对M、N做正功

D．M的运行时间大于N的运行时间

A　[根据左手定则可知，N带正电，M带负电，A正确；因为r＝，而M的轨道半径大于N的轨道半径，所以M的速率大于N的速率，B错误；洛伦兹力不做功，C错误；M和N的运行时间都为t＝，D错误。]

5．如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来的射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间。

[解析]　过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N做OM的垂线，垂足为P，如图所示。由直角三角形OPN知，电子运动的

半径为r＝＝d　 ①

由牛顿第二定律知evB＝m　 ②

联立①②式解得m＝

电子在无界磁场中运动的周期为

T＝·＝

电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为α＝θ＝60°

故电子在磁场中的运动时间为

t＝T＝×＝。

[答案]