湖北华中师大附中2021-2022学年高一下学期期中复习（新定义专题）数学试题（含答案）

期中复习新定义专题参考答案

1．ABCD

【分析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.

【解析】根据定义可知：若有不动点，则有解.

A．令，所以，所以，故是“不动点”函数；

B．令，所以或，所以是“不动点”函数；

C．当时，令，所以或，所以是“不动点”函数；

D．令，所以，所以是“不动点”函数.

故选：ABCD.

2．ACD

【分析】结合正弦函数的图象变换性质分析函数的图象，据此依次分析选项是否正确，综合可得答案．

【解析】解：根据题意，，其定义域为，有，则函数为偶函数，

对于，当时，，

当时，，

又由为偶函数，而，则、的图象如图，

据此依次分析选项：

对于A，易得的值域为，，则的值域为，1，，A正确；

对于B，不是周期函数，为周期函数，则不是周期函数，函数也不是周期函数，B错误；

对于C，为偶函数，则，函数为偶函数，C正确；

对于D，函数的零点个数就是函数与函数的交点的个数，

设，当时，，当时，，则与只有的1个交点，即只有一个零点，D正确，

故选：ACD．

3．B

【分析】将问题转化为有解，利用换元法，令，进一步将问题转化为在时有解，根据可得范围.

【解析】根据“局部奇函数”定义知：有解，

即方程有解，

则有解；

设，则（当且仅当时取等号），

方程等价于在时有解，在时有解；

在上单调递增，，，

即实数的取值范围为.

故选：B.

4．ACD

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．

【解析】对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；

对于B，取，则，，故选项B错误；

对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；

对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．

综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．

故选：．

【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．

5．BD

【分析】对新定义进行变形得出函数为增函数，然后根据新定义检验各选项可得．

【解析】根据题意，对于任意的不相等实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数.

对于A，f(x)＝sin x为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；

对于B，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意；

对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，，在R上不是增函数，不符合题意；

对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意，

故选：BD.

6．ACD

【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算法则，结合向量的新定义，逐项判定，即可求解.

【解析】若平行四边形的面积为4，则，所以A正确；

设正的边的中点为，则，则，

故，所以B不正确；

由，，得，，则，

可得，当且仅当时，等号成立，

故的最小值为，所以C正确；

若，，且为单位向量，

则当，，，时，可以等于，

此时.所以D正确.

故选：ACD

7．BD

【分析】根据新定义运算，结合向量数量积的运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【解析】对于A选项，在方向上的投影向量为，A错误.

对于B选项，，B正确.

对于C选项，由于，而，所以C错误.

对于D选项，若，则，所以或，则与平行，D正确.

故选：BD

8．AD

【分析】根据题设条件可先判断出、、、四点共线，从而判断出选项A，然后可设、、、，结合题设条件可得，然后对各选项一一判断即可.

【解析】∵，

∴，

∴、、、四点共线

∵平面上的点C，D调和分割点A，B

∴A、B、C、D四点共线，故A正确；

由题意可设、、、，则，.

∴，

∵

∴

对于B，若D是线段的中点，则，代入到，不存在，故B错误；

对于C，若C、D同时在线段上，则，，代入到，可得，此时C、D重合，与题意不符，故C错误；

对于D，若C、D同时在线段的延长线上，则，，所以，与矛盾，故C、D不可能同时在线段的延长线上，故D正确.

故选：AD.

9．ABD

【分析】由向量的外积的性质逐个分析判断即可

【解析】A选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错，

B选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，

不可能相等，故B错，

C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形的面积为，则与正方体表面积的数值相等，故C对，

D选项，与的方向相反，则，故D错，

故选：ABD.

10．(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）先化简函数解析式，再由定义可得答案；

（2）由定义得，再由已知得及，最后利用正弦的两角差可求解；

（3）根据定义得，再化简，设，利用向量的数量积建立方程可求解.

(1)，

所以函数的相伴向量.

(2)

向量的相伴函数为，

，.

，，.

.

(3)由为的相伴向量知：.

所以.

设，，，

，，

又，，.

，

.

，，

.

又，

∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立．

∴在图像上存在点，使得.

11．(1)证明见解析

(2)（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”

【分析】（1）利用来证得结论成立.

（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.

（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.

(1)

由已知当时，，

得，

所以当时，.

(2)

（i）时，假设存在，则由知，注意到，

故，所以在单调递增，

于是，即是方程的两个不等实根，

易知不是方程的根，

由已知，当时，，令，则有时，，即，

故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.

（ii）时，假设存在，则由知

若，则由，知，与值域是矛盾，

故不存在“和谐区间”，

同理，时，也不存在，

下面讨论，

若，则，故最小值为，于是，

所以，

所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.

若，当时，同理可得，舍去，

当时，在上单调递减，所以

，于是，

若即，则，故，

与矛盾；

若，同理，矛盾，

所以，即，

由（1）知当时，，

因为，所以，从而，，从而，矛盾，

综上所述，有唯一的“和谐区间”.

【点睛】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.

12．(1) ；(2) 当时,;当时, .其中且；(3) ,证明见解析

【分析】(1)由新定义得,再利用得即可.

(2)由特征值的定义可得,由此可得的特征值,及相应的

(3) 解方程组,再利用平行向量的方法求解证明即可.

【解析】(1)由于此时,又因为是在的条件下,有,当时取最大值,所以此时有;

(2)由,可得：,

解此方程组可得：,从而.

当时,解方程组,此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为 (写出一个即可),其中且.

当时,同理可得,相应的 (写出一个即可),其中且 (3)解方程组,可得从而向量与平行,从而有、、、应满足：.

当时,有唯一的特征值,且.具体证明为：

由的定义可知：,所以为特征值.

此时满足：,所以有唯一的特征值.

在的条件下,从而有.

【点睛】本题主要考查了新定义的内容,需要根据新定义的方法列出对应的关系式,再化简求解出对应的参数满足的条件进行分析.属于难题.

13．（1）；（2）存在，；（3）；

【分析】（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得与的关系；

（2）由题意求出解析式，写出向量，利用向量列方程求出的值；

（3）利用对称性和函数的奇偶性求出函数的解析式，根据方程在，上有两个不同的实数解时，转化为两个函数在同一坐标系下有两个交点，从而求出实数的取值范围．

【解析】（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得：

，

又由，；

，解得，

关于的函数解析式；

（2）当，时，，

，，又，，

，，；

又，且，则，

，

，，

故存在满足条件；

（3）当，时，，又由条件得，

．

当，时，，，

，，

从而；

由得．

设，，在同一直角坐标系中作出两函数的图象，

当函数图象经过点时，．

由图象可知，当，时，与的图象在，有两个不同交点，因此方程在，上有两个不同的解；

实数的取值范围是．

【点睛】本题考查平面向量与函数、数列问题知识的交会，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．

14．(1)不是“有趣的”，单调递增区间为，单调递减区间为；是“有趣的”，单调递增区间为，，单调递减区间为，

(2)

【分析】(1) 根据函数的新定义判断即可，结合复合函数的单调性可得函数的单调区间.

(2)由题意，得出的单调区间，分析出，的范围，从而可得存在，使得成立，然后分离参数七届即可.

(1)

的定义域满足，解得

所以的定义域为，不具有奇偶性，所以不是“有趣的”.

在上单调递减，在上单调递增.

所以单调递增区间为，单调递减区间为

的定义域为，，满足

又，则为偶函数.

所以是“有趣的”

在，上单调递增，在，上单调递减

所以单调递增区间为，，单调递减区间为，

(2)

的定义域满足，解得解得

所以的定义域为，

则，且在上单调递减，在上单调递增.

当时，(不可同时取得0或1)

则

由，则

存在，使得成立

即存在，使得成立

即存在，使得成立.

即存在，使得成立.

设

则原命题等价于，存在，成立.

令，.

，，

，，.

15．

【分析】由题设知：，横坐标相等且，在上，即有，结合的范围及基本不等式，求的最大值即可得的最小值.

【解析】由题意：，横坐标相等，恒成立，即，

由函数解析式知：，，且在：上，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：由题设，向量的线性关系及M点横坐标与A、B横坐标的数量关系易得，横坐标相等且N、A、B共线，则为，纵坐标之差的绝对值.

16．(1)详见解析；(2)

【分析】（1）利用同比不减函数的定义证明；

（2）根据同比不减函数的定义，由恒成立求解.

(1)

因为，

所以，

，

因为与0的大小不确定，

所以对任意正常数，都不是“同比不减函数”；

(2)

因为函数是“同比不减函数”，

所以，

，恒成立，

即恒成立，

因为，

所以，

所以的取值范围是

17．(1)证明见解析

(2)存在，

(3)

【分析】（1）根据新定义，求在上的值域即可得证；

（2）根据“翻倍区间”的定义，得到函数需满足的方程，求解方程组即可得解；

（3）由题意转化为单调递增且，再转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式求解即可.

(1)

证明：由函数在上单调增函数知，的值域为，

故是函数的一个“翻倍区间”；

(2)

假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数，有 

解得，，

由知所有“翻倍区间”为；

(3)

由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，

而，

可得，解得，

由知可得，是方程的两个根，

等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，

即方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，

则有或，

解得或，

综上，实数的取值范围为．

18．(1)

(2)

(3)存在点，使得.

【分析】（1）利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；（2）根据向量得到，利用利用凑角法得到；（3）先求出，再设出P点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当时，和同时等于，此时.

(1)

，故；

(2)

由题意得：，故，由于，所以，所以，所以

.

(3)

，所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得.

19．（1）是；（2）①；②见解析

【分析】（1）按照定义，只需判断在区间上是否恒成立；

（2）①由题意解不等式组即可；②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，即，即，只需求出函数在区间上的最值，解不等式组即可.

【解析】（1）由已知，，因为时，

，所以恒成立，故

与在区间上是“友好”的.

（2）①与在区间上都有意义，

则必须满足，解得，又且，

所以的取值范围为.

②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，

则，即，

因为，则，，所以在的右侧，

又复合函数的单调性可得在区间上为减函数，

从而，，

所以，解得，

所以当时，与与在区间上是“友好”的；

当时，与与在区间上是“不友好”的.

【点睛】本题考查函数的新定义问题，主要涉及到不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.

20．(1)不是“㖡赖函数"，理由见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据“依赖函数”的定义，由时不存在使，即可判断；

（2）由题设可得，进而有且，结合二次函数的性质求范围；

（3）根据“依赖函数”的定义易得，结合的区间单调性求得，再将题设恒(能)成立转化为上，即可求的最大值.

(1)

对于函数的定义域内存在此时无解，故不是“依赖函数".

(2)

因为在上递增，故，即，

由，故，得，

从而在上单调递增，故.

(3)

①若，故在上最小值为0，此时不存在使，舍；

②若，故在上单调递减，从而，解得（舍）或，

从而存在，使得对任意的有恒成立，即恒成立，

由，得.

由，可得，又在单调递减，

故当时，，从而，解得，

综上，实数的最大值为.

【点睛】关键点点睛：第三问，根据二次函数的性质及“依赖函数”的定义求出参数a，再将不等式转化为关于t的一元二次不等式恒成立，判别式、参变分离法进一步化为上.